高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.2平面向量的基本定理及向量坐標運算課件 .ppt

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第二節(jié)平面向量的基本定理及向量坐標運算 知識梳理 1 平面向量基本定理 1 基底 平面內(nèi) 的向量e1 e2叫做表示這一平面內(nèi)的所有向量的一組基底 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量 那么對于這個平面內(nèi)的任意向量a 有且只有一對實數(shù) 1 2 使a 不共線 1e1 2e2 2 平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個單位向量i j作為基底 由平面向量基本定理知 該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a xi yj 由于a與數(shù)對 x y 是一一對應(yīng)的 把有序數(shù)對 x y 叫做向量a的坐標 記作a 其中a在x軸上的坐標是x a在y軸上的坐標是y x y 3 平面向量的坐標運算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 考點自測 1 思考 給出下列命題 平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底 在 ABC中 向量的夾角為 ABC 同一向量在不同基底下的表示是相同的 設(shè)a b是平面內(nèi)的一組基底 若實數(shù) 1 1 2 2滿足 1a 1b 2a 2b 則 1 2 1 2 其中正確的是 A B C D 解析 選D 平面內(nèi)不共線的兩個向量可以組成一組基底 平面內(nèi)同一向量在不同基底下的表示形式是不同的 故 不正確 向量是有方向的 故在 ABC中 與的夾角應(yīng)是 ABC的補角 故 不正確 根據(jù)平面向量基本定理 同一向量在基底a b下的表現(xiàn)形式是唯一的 故 正確 2 已知A x 1 B 2 y 3 4 則x y A 3B 3C 4D 4 解析 選C 由題意 得解得所以x y 4 3 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 則c A 3a bB 3a bC a 3bD a 3b 解析 選B 設(shè)c xa yb 則所以故c 3a b 4 下列各組向量中 能作為基底的是 a 1 2 b 2 4 a 1 1 b 1 1 a 2 3 b 3 2 a 5 6 b 7 8 A B C D 解析 選C 對于 顯然b 2a 對于 b a 故 不能作為基底 對于 因為2 2 3 3 0 所以a b不共線 故 能作為基底 對于 因為5 8 6 7 0 所以a b不共線 故 能作為基底 綜上應(yīng)選C 5 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 則實數(shù)m 解析 a b 1 m 1 因為 a b c 所以2 1 m 1 0 所以m 1 答案 1 考點1平面向量基本定理及其應(yīng)用 典例1 1 2014 紹興模擬 若a與b不共線 已知下列各組向量 a與 2b a b與a b a b與a 2b 其中可以作為基底的是 只填序號即可 2 2014 萊蕪模擬 如圖 已知 OCB中 A是CB的中點 D是將分成2 1的一個內(nèi)分點 DC和OA交于點E 設(shè) 用a和b表示向量 若求實數(shù) 的值 解題視點 1 由共線向量定理及基底的定義進行判斷 2 由向量加法的平行四邊形法則及三角形法則求解 由平面向量基本定理及共線向量定理求解 規(guī)范解答 1 因為a與b不共線 所以 對于 顯然a與 2b不共線 對于 假設(shè)a b與a b共線 則存在實數(shù) 使a b a b 則 1且 1 由此得 1且 1矛盾 故假設(shè)不成立 即a b與a b不共線 同理 對于 a b與a 2b也不共線 對于 故與共線 由基向量的定義知 都可以作為基底 不可以 答案 2 由題意知 A是BC的中點 且由平行四邊形法則 得所以 由題意知 故設(shè)因為所以 因為a與b不共線 由平面向量基本定理 得解得故 互動探究 本例 1 中 若將條件a與b不共線省去 則情況如何 解析 若a與b共線 不妨令a 0 b 0 則所給4組向量都共線 故4組向量都不能作為基底 規(guī)律方法 1 構(gòu)成平面一組基底的條件 1 一組基底有兩個向量 2 這兩個向量不共線 其中沒有零向量 2 應(yīng)用平面向量基本定理的注意事項 1 選定基底后 通過向量的加 減 數(shù)乘以及向量平行的充要條件 把相關(guān)向量用這一組基底表示出來 2 強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用 用基底表示未知向量 常借助圖形的幾何性質(zhì) 如平行 相似等 3 強化共線向量定理的應(yīng)用提醒 在基底未給出的情況下 合理地選取基底會給解題帶來方便 變式訓(xùn)練 如圖所示 在 ABC中 點M是AB的中點 且BN與CM相交于點E 設(shè)試用基底a b表示向量 解析 易得由N E B三點共線知 存在實數(shù)m 滿足由C E M三點共線知存在實數(shù)n 滿足所以由于a b為基底 所以解得所以 加固訓(xùn)練 1 下列各組向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是 A B C D 2 如圖 在 ABC中 DE BC交AC于E BC邊上的中線AM交DE于N 設(shè)用a b表示向量 解析 1 選A 中的兩向量不共線 中e1 e2 故兩向量共線 中e2 e1 故兩向量共線 綜上 只有 中的兩向量可作為平面的一組基底 2 因為DE BC 所以由 ADE ABC 得又AM是 ABC的中線 DE BC 所以又 因為 ADN ABM 所以 考點2平面向量的坐標運算 典例2 1 2014 杭州模擬 在平行四邊形ABCD中 AC為一條對角線 2 4 1 3 則 A 2 4 B 1 1 C 1 1 D 2 4 2 2013 北京高考 向量a b c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示 若c a b R 則 解題視點 1 先將用表示 再利用向量坐標運算法則求解 2 結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?利用平面向量的坐標運算及平面向量基本定理列方程組求解 規(guī)范解答 1 選C 因為四邊形ABCD為平行四邊形 所以因此 1 3 2 4 1 1 2 以向量a b的交點為原點 原點向右的方向為x軸正方向 正方形網(wǎng)格的邊長為單位長度建立直角坐標系 則a 1 1 b 6 2 c 1 3 根據(jù)c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以 4 答案 4 互動探究 在本例 2 中 試用a c表示b 解析 建立本例 2 規(guī)范解答中的平面直角坐標系 則a 1 1 b 6 2 c 1 3 設(shè)b xa yc 則 6 2 x 1 1 y 1 3 即解得故b 4a 2c 規(guī)律方法 平面向量坐標運算的技巧 1 向量的坐標運算主要是利用向量加 減 數(shù)乘運算的法則來進行求解的 若已知有向線段兩端點的坐標 則應(yīng)先求向量的坐標 2 解題過程中 常利用向量相等則其坐標相同這一原則 通過列方程 組 來進行求解 并注意方程思想的應(yīng)用 變式訓(xùn)練 已知點A 1 2 B 2 8 以及求點C D的坐標和的坐標 解析 設(shè)點C D的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 得 x1 1 y1 2 3 6 1 x2 2 y2 3 6 因為所以有和解得和所以點C D的坐標分別是 0 4 2 0 從而 2 4 加固訓(xùn)練 1 設(shè)平面向量a 3 5 b 2 1 則a 2b A 6 3 B 7 3 C 2 1 D 7 2 解析 選B a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 已知點A 2 1 B 0 2 C 2 1 O 0 0 給出下面的結(jié)論 直線OC與直線BA平行 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 A 1個B 2個C 3個D 4個 解析 選C 由題意得 2 1 2 1 故又無公共點 故OC BA 正確 因為故 錯誤 因為 0 2 故 正確 因為 4 0 4 0 故 正確 所以選C 3 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 且則向量 解析 因為A 2 4 B 3 1 C 3 4 所以 1 8 6 3 所以 3 1 8 3 24 2 6 3 12 6 所以 12 6 3 24 9 18 答案 9 18 考點3平面向量共線的坐標表示及運算 考情 平面向量共線的坐標表示以其承前啟后的連接形式成為高考命題的亮點 作為一種重要的坐標運算 常以選擇題 填空題的形式出現(xiàn) 作為載體有時也在解答題的某一步中出現(xiàn) 考查解方程 函數(shù)式化簡等問題 高頻考點通關(guān) 典例3 1 2013 陜西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 則實數(shù)m等于 A B C D 0 2 2014 金華模擬 已知向量 1 3 3 1 且則點P的坐標為 A 2 4 B C D 2 4 解題視點 1 根據(jù)平面向量共線的坐標表示直接列方程求解 2 設(shè)點P的坐標為 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 解出x y的值 即可得到點P的坐標 規(guī)范解答 1 選C 因為a 1 m b m 2 a b 所以1 2 m2 0 即m2 2 故 2 選C 設(shè)點P的坐標為 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 故有x 1 6 2x 且y 3 2 2y 解得故點P的坐標為 通關(guān)錦囊 通關(guān)題組 1 2014 舟山模擬 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 則2a 3b等于 A 5 10 B 4 8 C 3 6 D 2 4 解析 選B 因為a b a 1 2 b 2 m 所以m 2 2 0 得m 4 所以2a 3b 2 4 6 12 4 8 2 2011 廣東高考 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 為實數(shù) a b c 則 A B C 1D 2 解析 選B 因為a b 1 2 1 0 1 2 c 3 4 又 a b c 所以4 1 2 3 0 解得 3 2014 棗莊模擬 已知平面向量a 1 x b 若a與b共線 則y f x 的最小值是 A B 4C D 3 解析 選C 因為a與b共線 所以即y x2 3x 1 x 3 2 所以當(dāng)x 3時 ymin 加固訓(xùn)練 1 2013 鄭州模擬 已知向量 k 12 4 5 k 10 且A B C三點共線 則k的值是 解析 選A 4 k 7 2k 2 因為A B C三點共線 所以共線 所以 2 4 k 7 2k 解得 2 2014 濟寧模擬 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 則銳角 等于 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 選B 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 為銳角 所以 45 3 2011 北京高考 已知向量a 1 b 0 1 c k 若a 2b與c共線 則k 解析 因為a 1 b 0 1 所以a 2b 1 2 0 1 3 又c k 所以 3k 0 解得k 1 答案 1 易錯誤區(qū)11 平面向量基本定理應(yīng)用的易錯點 典例 2013 廣東高考 設(shè)a是已知的平面向量且a 0 關(guān)于向量a的分解 有如下四個命題 給定向量b 總存在向量c 使a b c 給定向量b和c 總存在實數(shù) 和 使a b c 給定單位向量b和正數(shù) 總存在單位向量c和實數(shù) 使a b c 給定正數(shù) 和 總存在單位向量b和單位向量c 使a b c 上述命題中的向量b c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線 則真命題的個數(shù)是 A 1B 2C 3D 4 解析 選B 對于 因為a與b給定 所以a b一定存在 可表示為c 即c a b 故a b c成立 正確 對于 因為b與c不共線 由平面向量基本定理可知 正確 對于 以a的終點為圓心 以 為半徑作圓 這個圓必須和向量 b有交點 這個不一定滿足 故 錯誤 對于 由向量加法的三角形法則 不共線兩邊的和大于第三邊 即必有 b c a 而給定的 和 不一定滿足此條件 所以 是假命題 誤區(qū)警示 1 處想不到用a b表示c 而直接根據(jù)平面向量基本定理判斷該結(jié)論錯誤 2 處忽略平面向量基本定理成立的條件 而直觀認為 正確 規(guī)避策略 1 明確給定和存在的關(guān)系 另外 注意向量加法三角形法則的應(yīng)用 2 明確平面向量基本定理成立的條件 即 1 給定的向量a與b不共線 2 對平面內(nèi)任一向量c存在唯一確定的有序?qū)崝?shù)對 使c a b 其中 的正負及是否為0不確定 類題試解 在平面直角坐標系中 若O為坐標原點 則A B C三點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數(shù) 使得成立 此時稱實數(shù) 為 向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù) 若已知P1 3 1 P2 1 3 P1 P2 P3三點共線且向量與向量a 1 1 垂直 則 向量關(guān)于和的終點共線分解系數(shù) 為 A 3B 3C 1D 1 解析 選D 由與向量a 1 1 垂直 可設(shè) t t t 0 由得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 所以兩式相加得2 2 0 所以 1