高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末歸納總結(jié)課件 新人教A版選修2-2.ppt

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成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教A版 選修2 2 推理與證明 第二章 章末歸納總結(jié) 第二章 1 進(jìn)行類比推理時(shí) 可以從 問(wèn)題的外在結(jié)構(gòu)特征 圖形的性質(zhì)或維數(shù) 處理一類問(wèn)題的方法 事物的相似性質(zhì)等入手進(jìn)行類比 要盡量從本質(zhì)上去類比 不要被表面現(xiàn)象迷惑 否則 只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比 就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤 2 進(jìn)行歸納推理時(shí) 要把作為歸納基礎(chǔ)的條件變形為有規(guī)律的統(tǒng)一的形式 以便于作出歸納猜想 3 推理證明過(guò)程敘述要完整 嚴(yán)謹(jǐn) 邏輯關(guān)系清晰 不跳步 4 注意區(qū)分演繹推理和合情推理 當(dāng)前提為真時(shí) 前者結(jié)論一定為真 而后者結(jié)論可能為真也可能為假 合情推理得到的結(jié)論其正確性需要進(jìn)一步推證 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)要有依據(jù) 5 用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí) 必須把反設(shè)作為推理依據(jù) 書寫證明過(guò)程時(shí) 一定要注意不能把 假設(shè) 誤寫為 設(shè) 還要注意一些常見(jiàn)用語(yǔ)的否定形式 6 分析法的過(guò)程僅需要尋求結(jié)論成立的充分條件即可 而不是充要條件 分析法是逆推證明 故在利用分析法證明問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性 一般地 用分析法書寫解題步驟的基本格式是 要證 只需證 只需證 顯然成立 所以 成立 7 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)自然數(shù)n的命題時(shí) 第一步驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí) 必須注意項(xiàng)數(shù) 第二步從n k到n k 1的過(guò)渡必須注意兩點(diǎn) 一是n k 1的證明必須用上歸納假設(shè) 二是弄清n k與n k 1時(shí)命題 等式 不等式 幾何命題等 的變化 1 異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是 A 兩條平行直線B 兩條相交直線C 一點(diǎn)與一直線D 同一條直線 答案 D 解析 若兩條直線在同一平面的射影是同一直線 則這兩條直線的位置關(guān)系為平行或相交或重合 這均與異面矛盾 故異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能為一條直線 故應(yīng)選D 2 2014 東北四校聯(lián)考 根據(jù)下面一組等式S1 1 S2 2 3 5 S3 4 5 6 15 S4 7 8 9 10 34 S5 11 12 13 14 15 65 S6 16 17 18 19 20 21 111 S7 22 23 24 25 26 27 28 175 可得S1 S3 S5 S2n 1 答案 n4 解析 根據(jù)所給等式組 不難看出 S1 1 14 S1 S3 1 15 16 24 S1 S3 S5 1 15 65 81 34 S1 S3 S5 S7 1 15 65 175 256 44 由此可得S1 S3 S5 S2n 1 n4 3 對(duì)于平面幾何中的命題 夾在兩條平行線之間的平行線段相等 在立體幾何中 類比上述命題 可以得到命題 這個(gè)類比命題是 命題 填 真 或 假 答案 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等 真 解析 類比推理要找兩類事物的類似特征 平面幾何中的線 可類比立體幾何中的面 故可類比得出真命題 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等 歸納是通過(guò)對(duì)特例的觀察和綜合去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律 一般通過(guò)觀察圖形或分析式子尋找規(guī)律 歸納過(guò)程的典型步驟是 先在諸多特例中發(fā)現(xiàn)某些相似性 再把相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題 最后對(duì)該命題進(jìn)行檢驗(yàn)或論證 合情推理 歸納推理 觀察下列等式 1 113 11 2 313 23 91 2 3 613 23 33 361 2 3 4 1013 23 33 43 1001 2 3 4 5 1513 23 33 43 53 225 可以推測(cè) 13 23 33 n3 n N 用含有n的代數(shù)式表示 類比是提出新問(wèn)題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉 是一種較高層次的信息遷移 應(yīng)用類比的關(guān)鍵就在于如何把相關(guān)對(duì)象在某些方面的一致性說(shuō)清楚 合情推理 類比推理 如圖 所示 在 ABC中 射影定理可表示為a b cosC c cosB 其中a b c分別為角A B C的對(duì)邊 類比上述定理 寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想 從思維過(guò)程的指向來(lái)看 演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提 而作出關(guān)于某個(gè)該類事物的判斷的思維過(guò)程 因此是從一般到特殊的推理 數(shù)學(xué)中的演繹推理一般是以三段論的格式進(jìn)行的 三段論由大前提 小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成 大前提是一個(gè)一般性原理 小前提給出了適合這個(gè)原理的一個(gè)特殊場(chǎng)合 結(jié)論是大前提和小前提的邏輯結(jié)果 演繹推理 綜合法是我們?cè)谝呀?jīng)儲(chǔ)存了大量的知識(shí) 積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上所用的一種方法 是從已知條件和某些定義 定理 公理 公式等出發(fā) 通過(guò)推理得出要證明的結(jié)論的思維方式 綜合法 分析法是一種從未知到已知的邏輯推理方法 在探求問(wèn)題的證明時(shí) 它可以幫助我們構(gòu)思 因而在一般分析問(wèn)題時(shí) 較多地采用分析法 只是找到思路后 往往用綜合法加以敘述 正如恩格斯所說(shuō) 沒(méi)有分析就沒(méi)有綜合 在數(shù)學(xué)證明中不能把分析法和綜合法絕對(duì)分開(kāi) 分析法 反證法不是去直接證明結(jié)論 而是先否定結(jié)論 在此基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理 導(dǎo)出矛盾 從而肯定結(jié)論的真實(shí)性 反證法 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法 它是一種完全歸納法 它的證明共分兩步 其中第一步是命題成立的基礎(chǔ) 稱為 歸納奠基 或稱特殊性 第二步解決的是延續(xù)性 又稱傳遞性 問(wèn)題稱為歸納遞推 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題要注意以下幾點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法 1 兩個(gè)步驟缺一不可 2 第二步中 證明 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論正確 的過(guò)程里 必須利用 歸納假設(shè) 即必須用上 當(dāng)n k時(shí)結(jié)論正確 這一結(jié)論 數(shù)學(xué)歸納法可以用來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式 三角恒等式 不等式 整除性問(wèn)題及幾何問(wèn)題