高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題8 第39練 隨機變量及其分布列課件 理.ppt

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專題8概率與統(tǒng)計 第39練隨機變量及其分布列 題型分析 高考展望 隨機變量及其分布列是高考的一個必考熱點 主要包括離散型隨機變量及其分布列 期望與方差 二項分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布 對本部分知識的考查 一是以實際生活為背景求解離散型隨機變量的分布列和期望 二是獨立事件概率的求解 三是考查二項分布 常考題型精析 高考題型精練 題型一條件概率與相互獨立事件的概率 題型二離散型隨機變量的期望和方差 題型三二項分布問題 ?？碱}型精析 題型一條件概率與相互獨立事件的概率 例1 1 2014 課標全國 某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明 一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0 75 連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0 6 已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良 則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 A 0 8B 0 75C 0 6D 0 45 解析已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0 6 那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下 要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率 答案A 2 2014 山東 乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲 乙兩部分 如圖 甲上有兩個不相交的區(qū)域A B 乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C D 某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球 規(guī)定 回球一次 落點在C上記3分 在D上記1分 其他情況記0分 對落點在A上的來球 隊員小明回球的落點在C上的概率為 在D上的概率為 對落點在B上的來球 小明回球的落點在C上的概率為 在D上的概率為 假設(shè)共有兩次來球且落在A B上各一次 小明的兩次回球互不影響 求 小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率 解記Ai為事件 小明對落點在A上的來球回球的得分為i分 i 0 1 3 記Bj為事件 小明對落點在B上的來球回球的得分為j分 j 0 1 3 記D為事件 小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上 由題意 D A3B0 A1B0 A0B1 A0B3 由事件的獨立性和互斥性 得P D P A3B0 A1B0 A0B1 A0B3 P A3B0 P A1B0 P A0B1 P A0B3 P A3 P B0 P A1 P B0 P A0 P B1 P A0 P B3 兩次回球結(jié)束后 小明得分之和 的分布列與數(shù)學(xué)期望 解由題意 隨機變量 可能的取值為0 1 2 3 4 6 由事件的獨立性和互斥性 得 P 1 P A1B0 A0B1 P A1B0 P A0B1 P 3 P A3B0 A0B3 P A3B0 P A0B3 P 4 P A3B1 A1B3 P A3B1 P A1B3 可得隨機變量 的分布列為 點評 1 利用定義 分別求P A 和P AB 得P B A 這是通用的求條件概率的方法 2 借助古典概型概率公式 先求事件A包含的基本事件數(shù)n A 再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù) 即n AB 得P B A 3 相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查 這類問題具有一個明顯的特征 那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值 解題時先要判斷事件的性質(zhì) 是互斥還是相互獨立 再選擇相應(yīng)的公式計算求解 變式訓(xùn)練1 1 從1 2 3 4 5中任取2個不同的數(shù) 事件A 取到的2個數(shù)之和為偶數(shù) 事件B 取到的2個數(shù)均為偶數(shù) 則P B A 等于 B 2 2014 陜西 在一塊耕地上種植一種作物 每季種植成本為1000元 此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性 且互不影響 其具體情況如下表 設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤 求X的分布列 解設(shè)A表示事件 作物產(chǎn)量為300kg B表示事件 作物市場價格為6元 kg 由題設(shè)知P A 0 5 P B 0 4 利潤 產(chǎn)量 市場價格 成本 X所有可能的取值為500 10 1000 4000 500 6 1000 2000 300 10 1000 2000 300 6 1000 800 1 0 5 0 4 0 5 1 0 4 0 5 P X 800 P A P B 0 5 0 4 0 2 所以X的分布列為 若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物 求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率 解設(shè)Ci表示事件 第i季利潤不少于2000元 i 1 2 3 由題意知C1 C2 C3相互獨立 由 知 P Ci P X 4000 P X 2000 0 3 0 5 0 8 i 1 2 3 3季的利潤均不少于2000元的概率為P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 83 0 512 3季中有2季的利潤不少于2000元的概率為 所以 這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為0 512 0 384 0 896 題型二離散型隨機變量的期望和方差 例2 2015 山東 若n是一個三位正整數(shù) 且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字 十位數(shù)字大于百位數(shù)字 則稱n為 三位遞增數(shù) 如137 359 567等 在某次數(shù)學(xué)趣味活動中 每位參加者需從所有的 三位遞增數(shù) 中隨機抽取1個數(shù) 且只能抽取一次 得分規(guī)則如下 若抽取的 三位遞增數(shù) 的三個數(shù)字之積不能被5整除 參加者得0分 若能被5整除 但不能被10整除 得 1分 若能被10整除 得1分 1 寫出所有個位數(shù)字是5的 三位遞增數(shù) 解個位數(shù)是5的 三位遞增數(shù) 有125 135 145 235 245 345 2 若甲參加活動 求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E X 隨機變量X的取值為 0 1 1 所以X的分布列為 點評離散型隨機變量的期望和方差的求解 一般分兩步 一是定型 即先判斷隨機變量的分布是特殊類型 還是一般類型 如兩點分布 二項分布 超幾何分布等屬于特殊類型 二是定性 對于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解 而對于一般類型的隨機變量 應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算 注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(yīng) 變式訓(xùn)練2 2014 遼寧 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄 繪制了日銷售量的頻率分布直方圖 如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率 并假設(shè)每天的銷售量相互獨立 1 求在未來連續(xù)3天里 有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率 解設(shè)A1表示事件 日銷售量不低于100個 A2表示事件 日銷售量低于50個 B表示事件 在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個 因此P A1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 P A2 0 003 50 0 15 P B 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù) 求隨機變量X的分布列 期望E X 及方差D X 解X可能取的值為0 1 2 3 相應(yīng)的概率為 則X的分布列為 因為X B 3 0 6 所以期望E X 3 0 6 1 8 方差D X 3 0 6 1 0 6 0 72 題型三二項分布問題 例3 2014 湖北 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站 過去50年的水文資料顯示 水庫年入流量X 年入流量 一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 單位 億立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超過120的年份有35年 超過120的年份有5年 將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率 并假設(shè)各年的入流量相互獨立 1 求未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概率 由二項分布 得在未來4年中 至多有1年的年入流量超過120的概率為 2 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行 但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制 并有如下關(guān)系 若某臺發(fā)電機運行 則該臺年利潤為5000萬元 若某臺發(fā)電機未運行 則該臺年虧損800萬元 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺 解記水電站年總利潤為Y 單位 萬元 安裝1臺發(fā)電機的情形 由于水庫年入流量總大于40 故一臺發(fā)電機運行的概率為1 對應(yīng)的年利潤Y 5000 E Y 5000 1 5000 安裝2臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 一臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 800 4200 因此P Y 4200 P 40 X 80 p1 0 2 當X 80時 兩臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 10000 因此P Y 10000 P X 80 p2 p3 0 8 由此得Y的分布列如下 所以 E Y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安裝3臺發(fā)電機的情形 依題意 當40 X 80時 一臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 1600 3400 因此P Y 3400 P 40 X 80 p1 0 2 當80 X 120時 兩臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 2 800 9200 因此P Y 9200 P 80 X 120 p2 0 7 當X 120時 三臺發(fā)電機運行 此時Y 5000 3 15000 因此P Y 15000 P X 120 p3 0 1 由此得Y的分布列如下 所以 E Y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 綜上 欲使水電站年總利潤的均值達到最大 應(yīng)安裝發(fā)電機2臺 點評應(yīng)用公式Pn k Cpk 1 p n k的三個條件 1 在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p 2 n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗 而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的 3 該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率 2 若比賽結(jié)果為3 0或3 1 則勝利方得3分 對方得0分 若比賽結(jié)果為3 2 則勝利方得2分 對方得1分 求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望 解X的可能的取值為0 1 2 3 X的分布列為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析設(shè)甲命中目標為事件A 乙命中目標為事件B 丙命中目標為事件C 則目標被擊中的事件可以表示為A B C 即擊中目標表示事件A B C中至少有一個發(fā)生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p 事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件 答案A 高考題型精練 3 先后擲兩次骰子 骰子的六個面上分別有1 2 3 4 5 6個點 落在水平桌面后 記正面朝上的點數(shù)分別為x y 設(shè)事件A為 x y為偶數(shù) 事件B為 x y中有偶數(shù)且x y 則概率P B A 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 事件A x y為偶數(shù) 包含事件A1 x y都為偶數(shù) 與事件A2 x y都為奇數(shù) 兩個互斥事件 高考題型精練 事件B為 x y中有偶數(shù)且x y 所以事件AB為 x y都為偶數(shù)且x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的分布列為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 某次知識競賽規(guī)則如下 在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中 選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題 即停止答題 晉級下一輪 假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0 8 且每個問題的回答結(jié)果相互獨立 則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析由題設(shè) 分兩類情況 第1個正確 第2個錯誤 第3 4個正確 由乘法公式得P1 0 8 0 2 0 8 0 8 0 1024 第1 2個錯誤 第3 4個正確 此時概率P2 0 2 0 2 0 8 0 8 0 0256 由互斥事件概率公式得P P1 P2 0 1024 0 0256 0 128 答案0 128 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 求甲在4局以內(nèi) 含4局 贏得比賽的概率 2 記X為比賽決出勝負時的總局數(shù) 求X的分布列和均值 數(shù)學(xué)期望 解用A表示 甲在4局以內(nèi) 含4局 贏得比賽 Ak表示 第k局甲獲勝 Bk表示 第k局乙獲勝 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 P A P A1A2 P B1A2A3 P A1B2A3A4 P A1 P A2 P B1 P A2 P A3 P A1 P B2 P A3 P A4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 X的可能取值為2 3 4 5 P X 2 P A1A2 P B1B2 高考題型精練 P X 3 P B1A2A3 P A1B2B3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P X 4 P A1B2A3A4 P B1A2B3B4 高考題型精練 故X的分布列為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 8 已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球 x y 0 且x y 6 乙箱中只放有2個紅球 1個白球與1個黑球 球除顏色外 無其他區(qū)別 若從甲箱中任取2個球 從乙箱中任取1個球 1 記取出的3個顏色全不相同的概率為P 求當P取得最大值時x y的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 當且僅當x y時等號成立 所以 當P取得最大值時 x y 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 當x 2時 求取出的3個球中紅球個數(shù) 的期望E 解當x 2時 即甲箱中有2個紅球與4個白球 所以 的所有可能取值為0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以 紅球個數(shù) 的分布列為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 9 2014 福建 為回饋顧客 某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵 規(guī)定 每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球 球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 1 若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元 其余3個均為10元 求 顧客所獲的獎勵額為60元的概率 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解設(shè)顧客所獲的獎勵額為X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 依題意 得X的所有可能取值為20 60 高考題型精練 即X的分布列為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元 并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成 或標有面值20元和40元的兩種球組成 為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡 請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計 并說明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解根據(jù)商場的預(yù)算 每個顧客的平均獎勵額為60元 所以 先尋找期望為60元的可能方案 對于面值由10元和50元組成的情況 如果選擇 10 10 10 50 的方案 因為60元是面值之和的最大值 所以期望不可能為60元 如果選擇 50 50 50 10 的方案 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因為60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能為60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 記為方案1 對于面值由20元和40元組成的情況 同理 可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 記為方案2 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 以下是對兩個方案的分析 對于方案1 即方案 10 10 50 50 設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1 則X1的分布列為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 對于方案2 即方案 20 20 40 40 設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2 則X2的分布列為 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求 但方案2獎勵額的方差比方案1的小 所以應(yīng)該選擇方案2 高考題型精練 10 2015 安徽 已知2件次品和3件正品混放在一起 現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分 每次隨機檢測一件產(chǎn)品 檢測后不放回 直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束 1 求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率 解記 第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品 為事件A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元 設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用 單位 元 求X的分布列和均值 數(shù)學(xué)期望 解X的可能取值為200 300 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 P X 400 1 P X 200 P X 300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故X的分布列為