高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何課件 湘教版.ppt

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第八章解析幾何 8 1直線的方程8 2兩直線的位置關(guān)系8 3圓的方程8 4直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系8 5橢圓8 6雙曲線8 7拋物線8 8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系8 9曲線與方程 1 直線的傾斜角與斜率 1 直線的傾斜角 定義 當(dāng)直線l與x軸相交時(shí) 我們?nèi)軸作為基準(zhǔn) x軸 與直線l 方向之間所成的角 叫做直線l的傾斜角 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí) 規(guī)定它的傾斜角為 傾斜角的范圍為 8 1直線的方程 2 直線的斜率 定義 一條直線的傾斜角 的叫做這條直線的斜率 斜率常用小寫(xiě)字母k表示 即k 傾斜角是90 的直線斜率不存在 過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直線的斜率公式為k 正切值tan 思考探究 直線的傾斜角 越大 斜率k就越大 這種說(shuō)法正確嗎 2 直線方程的五種形式 3 過(guò)P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直線方程的特例 1 若x1 x2 且y1 y2時(shí) 直線垂直于x軸 方程為 2 若x1 x2 且y1 y2時(shí) 直線垂直于y軸 方程為 3 若x1 x2 0 且y1 y2時(shí) 直線即為y軸 方程為 4 若x1 x2 且y1 y2 0時(shí) 直線即為x軸 方程為 x x1y y1x 0y 0 1 若直線l與直線y 1 x 7分別交于點(diǎn)P Q 且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 則直線l的斜率為 AB C D 5 過(guò)點(diǎn)M 3 4 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為 直線的傾斜角與斜率 直線方程有五種形式 在設(shè)所求直線的方程時(shí) 一定要注意所設(shè)方程的適用范圍 如用點(diǎn)斜式時(shí) 要考慮到直線的斜率不存在的情況 以免解答不嚴(yán)密或漏解 又如直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積問(wèn)題 常設(shè)直線的截距式方程 注意最后的結(jié)果一般要將方程化為一般式 直線的方程 根據(jù)所給條件求直線的方程 1 直線過(guò)點(diǎn) 4 0 傾斜角的正弦值為 2 直線過(guò)點(diǎn) 3 4 且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12 3 直線過(guò)點(diǎn) 5 10 且到原點(diǎn)的距離為5 4 過(guò)點(diǎn)A 1 1 與已知直線l1 2x y 6 0相交于B點(diǎn) 且 AB 5 解析 1 由題設(shè)知 該直線的斜率存在 故可采用點(diǎn)斜式 設(shè)傾斜角為 則sin 0 從而cos 則k tan 故所求直線方程為y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由題設(shè)知截距不為0 設(shè)直線方程為 1 又直線過(guò)點(diǎn) 3 4 從而 1 解得a 4或a 9 故所求直線方程為4x y 16 0或x 3y 9 0 3 當(dāng)斜率不存在時(shí) 所求直線方程為x 5 0 當(dāng)斜率存在時(shí) 設(shè)其為k 則所求直線方程為y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 由點(diǎn)線距離公式 得 10 5k k2 1 5 解得k 34 故所求直線方程為3x 4y 25 0 綜上知 所求直線方程為x 5 0或3x 4y 25 0 變式訓(xùn)練 2 求適合下列條件的直線方程 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 3 2 且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 1 3 傾斜角等于直線y 3x的傾斜角的2倍 直線方程的應(yīng)用 1 利用直線方程解決問(wèn)題時(shí) 選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式 可以簡(jiǎn)化運(yùn)算 1 已知一點(diǎn) 通常選擇點(diǎn)斜式 2 已知斜率 選用斜截式 3 已知截距或兩點(diǎn)選用截距式或兩點(diǎn)式 如求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí) 設(shè)直線的斜截式或截距式比較方便 2 在利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中 要善于將所求的量 用坐標(biāo)表示 然后通過(guò)坐標(biāo)滿足的方程進(jìn)行消元 最終將目標(biāo)表示為x的函數(shù) 再利用求函數(shù)最值的方法來(lái)解決問(wèn)題 3 使用直線方程時(shí) 一定要注意限制條件以免解題過(guò)程中丟解 如點(diǎn)斜式的使用條件是直線必須有斜率 截距式的使用條件是截距存在且不為零 兩點(diǎn)式的使用條件是直線不與坐標(biāo)軸垂直 4 兩個(gè)相互獨(dú)立的條件確定一條直線 因此 求直線方程時(shí) 首先分析是否具備兩個(gè)相互獨(dú)立的條件 然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式 準(zhǔn)確地寫(xiě)出直線方程 要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí) 應(yīng)對(duì)k的存在與否加以討論 通過(guò)對(duì)近兩年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出 直線方程在近幾年高考中多以中低檔題出現(xiàn) 主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法 對(duì)直線傾斜角和斜率的考查 主要考查傾斜角與斜率的關(guān)系 考查直線斜率的幾何意義 而直線方程 主要考查用定義法和待定系數(shù)法求方程 是常考題型 閱后報(bào)告 1 求直線方程時(shí) 要考慮對(duì)斜率是否存在 截距相等時(shí)是否為零以及相關(guān)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論 2 本題需對(duì)斜率k為0和不為0進(jìn)行分類討論 易錯(cuò)點(diǎn)是忽略斜率不存在的情況 2 2014 福建卷 已知直線l過(guò)圓x2 y 3 2 4的圓心 且與直線x y 1 0垂直 則l的方程是 A x y 2 0B x y 2 0C x y 3 0D x y 3 0 解析 由直線l與直線x y 1 0垂直 可設(shè)直線l的方程為x y m 0 又直線l過(guò)圓x2 y 3 2 4的圓心 0 3 則m 3 所以直線l的方程為x y 3 0 故選D 答案 D 8 2兩直線的位置關(guān)系 1 兩條直線平行與垂直的判定 1 兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1 l2 其斜率分別為k1 k2 則有l(wèi)1 l2 特別地 當(dāng)直線l1 l2的斜率都不存在時(shí) l1與l2的關(guān)系為 k1 k2平行 2 兩條直線垂直如果兩條直線l1 l2斜率存在 設(shè)為k1 k2 則l1 l2 思考探究 1 兩條直線l1 l2垂直的充要條件是斜率之積為 1 這句話正確嗎 提示 不正確 由兩直線的斜率之積為 1 可以得出兩直線垂直 反過(guò)來(lái) 兩直線垂直 斜率之積不一定為 1 如果l1 l2中有一條直線的斜率不存在 另一條直線的斜率為0時(shí) l1與l2互相垂直 k1 k2 1 交點(diǎn)坐標(biāo)相交交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)解平行 思考探究 2 使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么 提示 1 直線方程必須化成一般式Ax By C 0的形式 2 兩平行線間的距離公式使用時(shí)還要注意x y的系數(shù)必須相同時(shí)才能讀出C1 C2的值 3 已知直線l過(guò)點(diǎn)P 3 4 且與點(diǎn)A 2 2 B 4 2 等距離 則直線l的方程為 A 2x 3y 18 0B 2x y 2 0C 3x 2y 18 0或x 2y 2 0D 2x 3y 18 0或2x y 2 0 解析 由題意可知所求直線斜率存在 故設(shè)所求直線方程為y 4 k x 3 即kx y 4 3k 0 由已知 得 2k 2 4 3k 1 k2 4k 2 4 3k 1 k2 k 2或 23 所求直線l的方程為2x y 2 0或2x 3y 18 0 答案 D 兩條直線的位置關(guān)系 直線系方程 運(yùn)用直線系方程 有時(shí)會(huì)給解題帶來(lái)方便 常見(jiàn)的直線系方程有 1 與直線Ax By C 0平行的直線系方程是Ax By m 0 m R且m C 2 與直線Ax By C 0垂直的直線系方程是Bx Ay m 0 m R 3 斜率為k 定值 的平行線系方程為y kx b 其中k為常數(shù) b為參數(shù) 求經(jīng)過(guò)直線l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交點(diǎn) 且垂直于直線l3 3x 5y 6 0的直線l的方程 距離問(wèn)題 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線的距離公式處理問(wèn)題時(shí) 直線方程應(yīng)化為一般式 特別是使用兩平行線距離公式時(shí) 兩條直線方程中的x y前的系數(shù)必須分別對(duì)應(yīng)相等 在對(duì)稱問(wèn)題中 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱是最基本也是最重要的對(duì)稱 處理這種問(wèn)題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件 轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解 也可以先求出過(guò)點(diǎn)A與l垂直的直線方程 再求中點(diǎn)坐標(biāo) 處理線關(guān)于線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理 結(jié)合 代入法 求軌跡方程的思想方法解題也是這類問(wèn)題的一個(gè)通法 對(duì)稱問(wèn)題 變式訓(xùn)練 4 一條光線經(jīng)過(guò)P 2 3 點(diǎn) 射在直線l x y 1 0上 反射后穿過(guò)點(diǎn)Q 1 1 1 求入射光線的方程 2 求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度 1 兩條直線平行與垂直的判斷與應(yīng)用 1 兩條直線斜率相等或斜率都不存在是兩直線平行的必要而不充分條件 此處還要注意 不過(guò)同一點(diǎn) 這一條件 2 兩條直線斜率乘積等于 1是兩條直線垂直的充分不必要條件 注意一條直線斜率不存在 一條直線斜率為0的情況 從近兩年的高考試題來(lái)看 兩條直線的位置關(guān)系 點(diǎn)到直線的距離 兩條平行線間的距離 兩點(diǎn)間的距離是高考的熱點(diǎn) 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度為中 低檔題 客觀題主要考查距離公式的應(yīng)用 主觀題主要是在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題 全面考查基本概念 基本運(yùn)算能力 1 2013 重慶卷 設(shè)P是圓 x 3 2 y 1 2 4上的動(dòng)點(diǎn) Q是直線x 3上的動(dòng)點(diǎn) 則 PQ 的最小值為 A 6B 4C 3D 2 解析 畫(huà)出已知圓 利用數(shù)形結(jié)合法求解 如圖 圓心M 3 1 與定直線x 3的最短距離為 MQ 3 3 6 又圓的半徑為2 故所求最短距離為6 2 4 答案 B 2 2013 四川卷 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 到點(diǎn)A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是 8 3圓的方程 思考探究 二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圓的條件是什么 求圓的方程 常見(jiàn)的求圓的方程的方法有兩種 一是利用圓的幾何特征 求出圓心坐標(biāo)和半徑 寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 二是利用待定系數(shù)法 它的應(yīng)用關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 求與圓有關(guān)的軌跡時(shí) 根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法 1 直接法 直接根據(jù)題目提供的條件列出方程 2 定義法 根據(jù)圓 直線等定義列方程 3 幾何法 利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程 4 代入法 找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系 代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等 此外還有交軌法 參數(shù)法等 不論哪種方法 充分利用圓與圓的幾何性質(zhì) 找出動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 2 解決軌跡問(wèn)題 應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 1 求方程前必須建立平面直角坐標(biāo)系 若題目中有點(diǎn)的坐標(biāo) 則無(wú)需建系 否則曲線就不可轉(zhuǎn)化為方程 2 一般地 設(shè)點(diǎn)時(shí) 將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為 x y 其他與此相關(guān)的點(diǎn)設(shè)為 x0 y0 等 3 求軌跡與求軌跡方程是不同的 求軌跡方程得出方程即可 而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形 從近兩年的高考試題來(lái)看 求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo) 半徑等是高考的熱點(diǎn) 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 客觀題突出了 小技巧 主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程 主觀題往往在知識(shí)交匯處命題 除考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程外 還考查待定系數(shù)法 方程思想等 8 4直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 思考探究 用兩圓的方程組成的方程組有一解或無(wú)解時(shí)能否準(zhǔn)確判定兩圓的位置關(guān)系 提示 不能 當(dāng)兩圓方程組成的方程組有一解時(shí) 兩圓有外切 內(nèi)切兩種可能情況 當(dāng)方程組無(wú)解時(shí) 兩圓有相離 內(nèi)含兩種可能情況 直線與圓的位置關(guān)系 判斷直線與圓的位置關(guān)系 常用兩種方法 一是判斷直線與圓的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解 根據(jù)解的情況研究直線與圓的位置關(guān)系 二是依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系 圓的切線及弦長(zhǎng)問(wèn)題 圓與圓的位置關(guān)系 討論兩圓的位置關(guān)系 可通過(guò)兩圓方程聯(lián)立的方程組的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)來(lái)討論 但一方面討論實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)本身較繁 另一方面 有時(shí)單從實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)并不能完全反映兩圓的位置關(guān)系 如兩圓相離及內(nèi)含 其對(duì)應(yīng)方程組均無(wú)實(shí)數(shù)解 要區(qū)分它們 還需要驗(yàn)證某個(gè)圓心是否在另一個(gè)圓內(nèi) 簡(jiǎn)單的方法是用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系來(lái)討論 與圓有關(guān)的綜合問(wèn)題 變式訓(xùn)練 4 已知A 2 0 B 2 0 C m n 1 若m 1 n 3 求 ABC的外接圓的方程 2 若以線段AB為直徑的圓O過(guò)點(diǎn)C 異于點(diǎn)A B 直線x 2交直線AC于點(diǎn)R 線段BR的中點(diǎn)為D 試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系 并證明你的結(jié)論 解析 1 方法一設(shè)所求圓的方程為x2 y2 Dx Ey F 0 由題意可得4 2D F 0 4 2D F 0 1 3 D 3E F 0 解得D E 0 F 4 ABC的外接圓方程為x2 y2 4 0 即x2 y2 4 1 求切線時(shí) 若知道切點(diǎn) 則可直接利用公式 若過(guò)圓外一點(diǎn)求切線 一般運(yùn)用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)求 但注意應(yīng)有兩條切線 2 求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題 注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題 即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì) 可以用勾股定理或斜率之積為 1列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算 3 圓外一點(diǎn)P到圓O上任意一點(diǎn)距離的最小值為 PO r 最大值為 PO r 其中r為圓O的半徑 4 若兩圓相交時(shí) 把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程 5 在解題過(guò)程中能適當(dāng)利用圓系方程 有時(shí)可達(dá)到理想效果 圓系是具有某些共同性質(zhì)的圓的集合 從近兩年的高考試題來(lái)看 直線與圓的位置關(guān)系 弦長(zhǎng) 圓與圓的位置關(guān)系等是高考的熱點(diǎn) 三種題型都有可能出現(xiàn) 難度屬中等偏高 客觀題主要考查直線與圓的位置關(guān)系 弦長(zhǎng)等問(wèn)題 主觀題考查較為全面 除考查直線與圓的位置關(guān)系 弦長(zhǎng)等問(wèn)題外 還考查基本運(yùn)算 等價(jià)轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合思想等 1 橢圓的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離之 等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 8 5橢圓 思考探究 2 橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系 提示 離心率越接近1 橢圓越扁 離心率越接近0 橢圓就越接近于圓 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一般分三步完成 1 定型 確定它是橢圓 2 定位 判斷中心在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上 3 定量 建立關(guān)于基本量a b c e的關(guān)系式 解出即得所求標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的幾何性質(zhì) 充分條件與必要條件的應(yīng)用 從近兩年的高考試題來(lái)看 橢圓的定義 橢圓的幾何性質(zhì) 直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的熱點(diǎn) 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 部分解答題為較難題目 客觀題主要考查對(duì)橢圓的基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用 主觀題考查較為全面 在考查對(duì)橢圓基本概念與性質(zhì)的理解及應(yīng)用的同時(shí) 又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 考查學(xué)生分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想 1 雙曲線的定義我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 F2的距離的差的 等于常數(shù) 小于 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的 兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的 8 6雙曲線 思考探究 1 當(dāng)定義中的常數(shù)等于 F1F2 或大于 F1F2 動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別是什么圖形 提示 結(jié)合圖形知 當(dāng)常數(shù)等于 F1F2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線 當(dāng)常數(shù)大于 F1F2 時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在 思考探究 2 雙曲線的離心率的大小與雙曲線 開(kāi)口 大小有怎樣的關(guān)系 提示 離心率越大 雙曲線的 開(kāi)口 越大 1 雙曲線方程為x2 2y2 1 則它的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 A 2 2 0 B 5 2 0 C 6 2 0 D 3 0 雙曲線的定義 1 利用雙曲線的定義求軌跡方程 首先要充分利用幾何條件探求軌跡的曲線類型是否符合雙曲線的定義 2 常用定義解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題 變式訓(xùn)練 1 1 若雙曲線x2 4 y2 12 1上的一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離為8 則點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是 A 4B 12C 4或12D 6 2 已知F是雙曲線x2 4 y2 12 1的左焦點(diǎn) A 1 4 P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn) 則 PF PA 的最小值為 A 5B 5 4 3C 7D 9 3 已知F為雙曲線C 的左焦點(diǎn) P Q為C上的點(diǎn) 若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍 點(diǎn)A 5 0 在線段PQ上 則 PQF的周長(zhǎng)為 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的幾何性質(zhì) 1 雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的 六點(diǎn) 兩個(gè)焦點(diǎn) 兩個(gè)頂點(diǎn) 兩個(gè)虛軸的端點(diǎn) 四線 兩條對(duì)稱軸 兩條漸近線 兩形 中心 焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形 雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形 來(lái)研究它們之間的相互關(guān)系 明確a b c e的幾何意義及它們的相互關(guān)系 簡(jiǎn)化解題過(guò)程 1 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1 定義法 根據(jù)題目的條件 判斷是否滿足雙曲線的定義 若滿足 求出相應(yīng)的a b c即可求得方程 2 待定系數(shù)法 其步驟是 定位 確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上 設(shè)方程 根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程 定值 根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù) 從近兩年的高考試題來(lái)看 雙曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn) 題型大多為選擇題 填空題 難度為中等偏高 主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì) 考查基本運(yùn)算能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 思考探究 當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形 提示 當(dāng)定點(diǎn)F在定直線l上時(shí) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與直線l垂直的直線 1 拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F 距離 的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 點(diǎn)F叫做拋物線的 直線l叫做拋物線的 8 7拋物線 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1 若點(diǎn)P到直線x 1的距離比它到點(diǎn) 2 0 的距離小1 則點(diǎn)P的軌跡為 A 圓B 橢圓C 雙曲線D 拋物線 解析 由題意知 點(diǎn)P到點(diǎn) 2 0 的距離與P到直線x 2的距離相等 由拋物線定義得點(diǎn)P的軌跡是以 2 0 為焦點(diǎn) 以直線x 2為準(zhǔn)線的拋物線 故選D 答案 D 4 已知過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A B兩點(diǎn) O是坐標(biāo)原點(diǎn) AF 2 則 BF OAB的面積是 解析 設(shè)A x0 y0 由拋物線定義知x0 1 2 x0 1 則直線AB x軸 BF AF 2 AB 4 故 OAB的面積S 12 AB OF 1 2 4 1 2 答案 22 拋物線的定義的應(yīng)用 變式訓(xùn)練 1 1 2014 鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè) 已知拋物線x2 4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB 則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為 2 2014 哈爾濱四校統(tǒng)考 已知拋物線方程為y2 4x 直線l的方程為x y 5 0 在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1 到直線l的距離為d2 則d1 d2的最小值為 3 已知拋物線y2 4x 過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A B兩點(diǎn) 過(guò)A B分別作y軸垂線 垂足分別為C D 則 AC BD 的最小值為 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 可以確定拋物線的開(kāi)口方向 焦點(diǎn)的位置及p的值 進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 2 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法 即利用題目中的已知條件確定p的值 拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì) 設(shè)拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為F 經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A B兩點(diǎn) 點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上 且BC x軸 證明 直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O 直線與拋物線的位置關(guān)系 設(shè)拋物線方程為y2 2px p 0 直線Ax By C 0 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 消去x得到關(guān)于y的方程my2 ny q 0 1 若m 0 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí) 直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) 2 若m 0 直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行 物線C y mx2 m 0 焦點(diǎn)為F 直線2x y 2 0交拋物線C于A B兩點(diǎn) P是線段AB的中點(diǎn) 過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q 1 求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo) 2 若拋物線C上有一點(diǎn)R xR 2 到焦點(diǎn)F的距離為3 求此時(shí)m的值 3 是否存在實(shí)數(shù)m 使 ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 說(shuō)明理由 變式訓(xùn)練 4 2014 福州質(zhì)檢 已知曲線y2 2px p 0 在第一象限內(nèi)與圓x2 y2 4x 1 0交于不同的兩點(diǎn)A B 1 求p的取值范圍 2 如果在x軸上只有一個(gè)點(diǎn)M 使MA MB 求p的值及M的坐標(biāo) 通過(guò)分析近兩年的高考試題可以看出 一方面以選擇題 填空題的形式考查拋物線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí) 另一方面以解答題的形式考查拋物線的概念和性質(zhì) 直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題 著力于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的考查 題目的運(yùn)算量一般不是很大 屬于中檔題 4 2014 湖北卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 點(diǎn)M到點(diǎn)F 1 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1 記點(diǎn)M的軌跡為C 1 求軌跡C的方程 2 設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P 2 1 求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn) 兩個(gè)公共點(diǎn) 三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍 8 8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 若a 0 當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí) 直線l與雙曲線的漸近線 當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí) 直線l與拋物線的對(duì)稱軸 2 若a 0 b2 4ac 0時(shí) 直線與圓錐曲線 0時(shí) 直線與圓錐曲線 0時(shí) 直線與圓錐曲線 1 直線y kx 2與拋物線y2 8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 則k的值為 A 1B 1或3C 0D 1或0 解析 由y kx 2 y2 8x 得k2x2 4k 8 x 4 0 若k 0 則y 2 若k 0 若 0 即64 64k 0 解得k 1 因此直線y kx 2與拋物線y2 8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 則k 0或1 答案 D 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù) 可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 也就是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題 這是解析幾何的重要思想方法 方程組消元后要注意所得方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù) 若含參數(shù) 需按二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論 只有二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí) 方程才是一元二次方程 后面才可以用判別式 的符號(hào)判斷方程解的個(gè)數(shù) 從而說(shuō)明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題 求直線被二次曲線截得的弦長(zhǎng) 通常是將直線與二次曲線方程聯(lián)立 得到關(guān)于x 或y 的一元二次方程 然后利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求解 中點(diǎn)弦問(wèn)題 對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題 常用的解題方法是點(diǎn)差法 其解題步驟為 1 設(shè)點(diǎn) 即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo) 2 代入 即代入圓錐曲線方程 3 作差 即兩式相減 再用平方差公式把上式展開(kāi) 4 整理 即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式 然后求解 圓錐曲線中的最值及范圍問(wèn)題 圓錐曲線中求最值與范圍問(wèn)題是高考題中的常考問(wèn)題 解決此類問(wèn)題 一般有兩個(gè)思路 1 構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù) 通過(guò)求函數(shù)的值域來(lái)獲得問(wèn)題的解 2 構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式 通過(guò)解不等式來(lái)獲得問(wèn)題的解 1 直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題 1 直線與圓錐曲線相交是解析幾何中一類重要問(wèn)題 解題時(shí)注意應(yīng)用韋達(dá)定理及 設(shè)而不求 的技巧來(lái)解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 2 運(yùn)用 點(diǎn)差法 的方法解決弦的中點(diǎn)問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題 可以利用判別式和韋達(dá)定理的方法加以解決 也可利用 點(diǎn)差法 的方法解決此類問(wèn)題 若知道中點(diǎn) 則利用 點(diǎn)差法 的方法可得出過(guò)中點(diǎn)弦的直線的斜率 比較兩種方法 用 點(diǎn)差法 的方法的計(jì)算量較少 此法在解決有關(guān)存在性的問(wèn)題時(shí) 要結(jié)合圖形和判別式 加以檢驗(yàn) 2 定值與最值問(wèn)題 1 圓錐曲線中的定值問(wèn)題在解析幾何問(wèn)題中 有些幾何量和參數(shù)無(wú)關(guān) 這就構(gòu)成定值問(wèn)題 解決這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定 定值 是多少 或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式 證明該式是恒定的 2 圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題 一般有兩種方法 一是幾何法 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙 二是代數(shù)法 將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題 即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù) 然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法 配方法 差別式法 三角有界法 函數(shù)單調(diào)法及均值不等式法等 求解最大或最小值 定點(diǎn)定值問(wèn)題 1 求解直線和曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路是 把直線或曲線方程中的變量x y當(dāng)作常數(shù)看待 把方程一端化為零 既然是過(guò)定點(diǎn) 那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立 這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零 這樣就得到一個(gè)關(guān)于x y的方程組 這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn) 2 解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量 線段的長(zhǎng)度 圖形的面積 角的度數(shù) 直線的斜率等 的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān) 不依參數(shù)的變化而變化 而始終是一個(gè)確定的值 3 求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種 從特殊入手 求出定值 再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān) 直接推理 計(jì)算 并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量 從而得到定值 1 直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題 1 直線與圓錐曲線相交是解析幾何中一類重要問(wèn)題 解題時(shí)注意應(yīng)用韋達(dá)定理及 設(shè)而不求 的技巧來(lái)解決直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 2 運(yùn)用 點(diǎn)差法 解決弦的中點(diǎn)問(wèn)題涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題 可以利用判別式和韋達(dá)定理加以解決 也可利用 點(diǎn)差法 解決此類問(wèn)題 若知道中點(diǎn) 則利用 點(diǎn)差法 可得出過(guò)中點(diǎn)弦的直線的斜率 比較兩種方法 用 點(diǎn)差法 的計(jì)算量較少 此法在解決有關(guān)存在性的問(wèn)題時(shí) 要結(jié)合圖形和判別式 加以檢驗(yàn) 2 定值與最值問(wèn)題 1 圓錐曲線中的定值問(wèn)題在解析幾何問(wèn)題中 有些幾何量和參數(shù)無(wú)關(guān) 這就構(gòu)成定值問(wèn)題 解決這類問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值來(lái)確定 定值 是多少 或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式 證明該式是恒定的 2 圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題 一般有兩種方法 一是幾何法 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙 二是代數(shù)法 將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題 即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù) 然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法 配方法 差別式法 三角有界法 函數(shù)單調(diào)法及均值不等式法等 求解最大或最小值 從近兩年的高考試題來(lái)看 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 弦長(zhǎng) 中點(diǎn)弦的問(wèn)題等是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題 題型既有選擇題 填空題 又有解答題 難度屬中等偏高 客觀題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 弦長(zhǎng)問(wèn)題 解答題考查較為全面 在考查上述問(wèn)題的同時(shí)常與向量知識(shí)相結(jié)合 注重考查函數(shù)與方程 轉(zhuǎn)化與化歸 分類討論等思想方法 4 2014 浙江卷 已知 ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C x2 4y上 F為拋物線C的焦點(diǎn) 點(diǎn)M為AB的中點(diǎn) PF 3FM 1 若 PF 3 求點(diǎn)M的坐標(biāo) 2 求 ABP面積的最大值 8 9曲線與方程 1 曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中 如果某曲線C 看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f x y 0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解 2 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 那么 這個(gè)方程叫做 這條曲線叫做 思考探究 若曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系中只滿足第 2 條會(huì)怎樣 提示 若只滿足 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 則這個(gè)方程可能只是部分曲線的方程 而非整個(gè)曲線的方程 2 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 1 建系 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 2 設(shè)點(diǎn) 設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P x y 3 列式 列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式 4 代換 依條件式的特點(diǎn) 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x y的方程式 并化簡(jiǎn) 5 證明 證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 2 已知在直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)A 3 1 一條直線l x 1 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P 點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到直線l的距離相等 則點(diǎn)P的軌跡方程是 A y 1 2 8 x 1 B y 1 2 8 x 1 C y 1 2 8 x 1 D y 1 2 8 x 1 解析 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 x y 則 x 3 2 y 1 2 x 1 2 整理得 y 1 2 8 x 1 答案 D 直接法求軌跡方程 直接法 如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系 或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá) 那么只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有數(shù)值的表達(dá)式 通過(guò)化簡(jiǎn)整理便可得到曲線的方程 這種求曲線方程的方法是直接法 定義法求軌跡方程 求軌跡方程時(shí) 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件滿足圓 橢圓 雙曲線 拋物線的定義 則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 這種求軌跡方程的方法叫做定義法 因?yàn)閳A錐曲線的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程是新課標(biāo)教材的重點(diǎn)內(nèi)容 也是高考的重點(diǎn)內(nèi)容 所以用定義法求軌跡方程是新課標(biāo)高考的熱點(diǎn) 用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是緊扣解析幾何中有關(guān)曲線的定義 相關(guān)點(diǎn)法 代入法 求軌跡方程 此法的特點(diǎn)是 動(dòng)點(diǎn)M x y 隨已知曲線上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng) 則M的坐標(biāo)取決于已知曲線C上的點(diǎn) x y 的坐標(biāo) 可先用x y來(lái)表示x y 再代入曲線C的方程f x y 0 即得點(diǎn)M的軌跡方程 1 曲線和方程的概念由曲線和方程的概念可知 在求曲線方程時(shí)一定要注意它的 完備性 和 純粹性 即軌跡若是曲線的一部分 應(yīng)對(duì)方程注明x的取值范圍 或同時(shí)注明x y的取值范圍 2 軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系 軌跡 與 軌跡方程 既有區(qū)別又有聯(lián)系 求 軌跡 時(shí)首先要求出 軌跡方程 然后再說(shuō)明方程的軌跡圖形 最后 補(bǔ)漏 和去掉增多的點(diǎn) 若軌跡有不同的情況 應(yīng)分別討論 以保證它的完整性 從近兩年的高考試題來(lái)看 由定義法求曲線的方程 由已知條件直接求曲線的方程等是高考的熱點(diǎn) 題型大多為解答題 難度為中等偏高 主要考查曲線的定義 求曲線軌跡方程的方法 考查學(xué)生的運(yùn)算能力 以及分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力