2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 拋物線 2.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)課件 北師大版選修1 -1.ppt

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2 2拋物線的簡單性質(zhì) 拋物線的簡單性質(zhì) 名師點(diǎn)撥拋物線的性質(zhì)特點(diǎn) 1 拋物線只有一個焦點(diǎn) 一個頂點(diǎn) 一條對稱軸 一條準(zhǔn)線 無對稱中心 因此 拋物線又稱為無心圓錐曲線 2 拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi) 雖然它可以無限延伸 但它沒有漸近線 3 拋物線的離心率定義為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的比 所以拋物線的離心率是確定的 為1 4 拋物線的焦點(diǎn)在對稱軸上 準(zhǔn)線垂直于對稱軸 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p 它是一個不變量 不隨拋物線位置的變化而變化 焦點(diǎn)與準(zhǔn)線分別在頂點(diǎn)的兩側(cè) 且它們到頂點(diǎn)的距離相等 均為 做一做1 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2 準(zhǔn)線方程為y 1 則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A 5 0 B 0 3 C 0 2 D 0 5 解析 由題意知 焦點(diǎn)F 0 y0 與點(diǎn)K 0 1 關(guān)于頂點(diǎn) 0 2 對稱 答案 D 做一做2 拋物線4y 5x2 0的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線之間的距離是 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且經(jīng)過點(diǎn) 3 2 的拋物線有4條 2 像橢圓一樣 一條拋物線有兩個焦點(diǎn) 兩條對稱軸 一個對稱中心 3 拋物線x2 4y y2 4x的x y的范圍是不同的 但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的 離心率也相同 4 過拋物線焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A B 則 AB 與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項系數(shù)相等 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下 分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程 1 x2 6y 2 2y2 5x 0 3 x ay2 a 0 分析將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 求p 結(jié)合圖形 從而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程 解 1 2p 6 p 3 又 開口向上 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線的步驟 1 把解析式化為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形式 2 明確拋物線開口方向 3 求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的值 4 寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對稱軸重合于橢圓9x2 4y2 36短軸所在的直線 拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3 求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程 分析先由橢圓方程確定拋物線的焦點(diǎn)位置 以確定拋物線方程的形式 然后確定p的值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 其短軸在x軸上 所以拋物線的對稱軸為x軸 所以設(shè)拋物線的方程為y2 2px或y2 2px p 0 因為拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3 即 3 所以p 6 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 12x或y2 12x 其準(zhǔn)線方程分別為x 3和x 3 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個步驟 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 對稱軸為x軸 且與圓x2 y2 4相交的公共弦長等于2 求這條拋物線的方程 分析因為圓和拋物線都關(guān)于x軸對稱 所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于x軸對稱 即公共弦被x軸垂直平分 于是由弦長等于2 可知交點(diǎn)縱坐標(biāo)為 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解設(shè)所求拋物線的方程為y2 2px p 0 或y2 2px p 0 設(shè)交點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 y1 0 y2 0 故所求拋物線的方程為y2 3x或y2 3x 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 河上有拋物線型拱橋 當(dāng)水面距拱頂5米時 水面寬為8米 一小船寬4米 高2米 載貨后船露出水面上的部分高米 問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時 小船開始不能通航 分析建系 設(shè)方程 求方程 求出相關(guān)量 解決問題 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟拋物線實際應(yīng)用問題的五個步驟 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練3如圖所示 水池中央有一噴泉 水管的長 O P 1m 水從噴頭P噴出后呈拋物線的形狀 先向上至最高點(diǎn)后落下 若最高點(diǎn)距水面2m 點(diǎn)P距拋物線的對稱軸1m 則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為多少米 精確到個位 解如圖所示 建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè)拋物線的方程為x2 2py p 0 由題意得P 1 1 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視直線的斜率導(dǎo)致求解失誤 典例 求過定點(diǎn)P 0 1 且與拋物線y2 2x只有一個公共點(diǎn)的直線方程 易錯分析本題直接設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程 會忽視斜率不存在的情況從而導(dǎo)致漏解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得在解直線與拋物線的位置關(guān)系時 往往直接把直線方程設(shè)成點(diǎn)斜式方程 這樣就把范圍縮小了 而應(yīng)先看斜率不存在的情況是否符合要求 直線斜率為0的情況也容易被忽略 所以解決這類問題時 特殊情況要優(yōu)先考慮 畫出草圖是行之有效的方法 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練過點(diǎn) 3 2 的直線與拋物線y2 4x只有一個公共點(diǎn) 求此直線方程 解顯然 直線斜率k存在 設(shè)其方程為y 2 k x 3 消去x 整理得ky2 4y 8 12k 0 1 當(dāng)k 0時 方程 化為 4y 8 0 即y 2 此時過 3 2 的直線方程為y 2 滿足條件 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1234 1 拋物線y2 2px p 0 的焦點(diǎn)恰好與橢圓的一個焦點(diǎn)重合 則p A 1B 2C 4D 8解析 橢圓中a2 9 b2 5 c2 a2 b2 4 c 2 p 4 故選C 答案 C 1234 2 已知點(diǎn)A 0 2 B 2 0 若點(diǎn)C在函數(shù)y x2的圖像上 則使得 ABC的面積為2的點(diǎn)C的個數(shù)為 A 4B 3C 2D 1答案 A 1234 3 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)在x軸上 通徑 過焦點(diǎn)和對稱軸垂直的弦 長為6的拋物線方程是 解析 焦點(diǎn)在x軸上 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 拋物線方程為y2 2px p 0 又 通徑長為2p 6 y2 6x 答案 y2 6x 1234 4 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對稱軸為坐標(biāo)軸 頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 2 頂點(diǎn)是橢圓16x2 9y2 144的中心 準(zhǔn)線過橢圓的左頂點(diǎn) 且垂直于坐標(biāo)軸