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湖北省襄陽市xx年中考數(shù)學(xué)真題試題
一、選擇題(本大題共10小題,共30.0分)
1. ?2的相反數(shù)為( )
A. 2 B. 12 C. ?2 D. ?12
【答案】A
【解析】解:與?2符號相反的數(shù)是2,
所以,數(shù)?2的相反數(shù)為2.
故選:A.
根據(jù)相反數(shù)的定義,只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù),?2的相反數(shù)為2.
本題考查了相反數(shù)的意義,一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“?”號;一個正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),一個負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),0的相反數(shù)是0.
2. 近幾年,襄陽市經(jīng)濟(jì)呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn),穩(wěn)中向好的態(tài)勢,xx年GDP突破4000億元大關(guān),4000億這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 41012 B. 41011 C. 0.41012 D. 401011
【答案】B
【解析】解:4000億=41011,
故選:B.
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時,n是負(fù)數(shù).
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù),表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
3. 如圖,把一塊三角板的直角頂點放在一直尺的一邊上,若∠1=50°,則∠2的度數(shù)為( )
A. 55° B. 50° C. 45° D. 40°
【答案】D
【解析】解:
∵∠1=∠3=50°,∠2+∠3=90°,
∴∠2=90°?∠3=40°,
故選:D.
利用平行線的性質(zhì)求出∠3即可解決問題;
本題考查平行線的性質(zhì),三角板的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.
4. 下列運算正確的是( )
A. a2+a2=2a4 B. a6a2=a3 C. (?a3)2=a6 D. (ab)2=ab2
【答案】C
【解析】解:A、a2+a2=2a2,故A錯誤;
B、a6a2=a4,故B錯誤;
C、(?a3)2=a6,故C正確;
D、(ab)2=a2b2,故D錯誤.
故選:C.
根據(jù)合并同類項法則:把同類項的系數(shù)相加,所得結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變;同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變指數(shù)相減;積的乘方法則:把每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘;對各選項分析判斷后利用排除法求解.
本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的除法、積的乘方,熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵.
5. 不等式組x+2<4x?12x>1?x的解集為( )
A. x>13 B. x>1 C. 13
1?x,得:x>13,
解不等式x+2<4x?1,得:x>1,
則不等式組的解集為x>1,
故選:B.
首先解每個不等式,兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
本題考查的是解一元一次不等式組,熟知“同大取大;同小取??;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
6. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解:根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體,根據(jù)俯視圖是三角形可判斷出這個幾何體應(yīng)該是三棱柱.
故選:C.
由主視圖和左視圖確定是柱體,錐體還是球體,再由俯視圖確定具體形狀.
此題主要考查了由三視圖判斷幾何體.主視圖和左視圖的大致輪廓為長方形的幾何體為柱體,俯視圖為幾邊形就是幾棱柱.
7. 如圖,在△ABC中,分別以點A和點C為圓心,大于12AC長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN分別交BC,AC于點D,E.若AE=3cm,△ABD的周長為13cm,則△ABC的周長為( )
A. 16cm B. 19cm C. 22cm D. 25cm
【答案】B
【解析】解:∵DE垂直平分線段AC,
∴DA=DC,AE=EC=6cm,
∵AB+AD+BD=13cm,
∴AB+BD+DC=13cm,
∴△ABC的周長=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm,
故選:B.
利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題.
本題考查作圖?基本作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì),屬于中考??碱}型.
8. 下列語句所描述的事件是隨機(jī)事件的是( )
A. 任意畫一個四邊形,其內(nèi)角和為180°
B. 經(jīng)過任意點畫一條直線
C. 任意畫一個菱形,是屮心對稱圖形
D. 過平面內(nèi)任意三點畫一個圓
【答案】D
【解析】解:A、任意畫一個四邊形,其內(nèi)角和為180°是不可能事件;
B、經(jīng)過任意點畫一條直線是必然事件;
C、任意畫一個菱形,是屮心對稱圖形是必然事件;
D、過平面內(nèi)任意三點畫一個圓是隨機(jī)事件;
故選:D.
根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.
本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下,一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發(fā)生的事件,不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
9. 已知二次函數(shù)y=x2?x+14m?1的圖象與x軸有交點,則m的取值范圍是( )
A. m≤5 B. m≥2 C. m<5 D. m>2
【答案】A
【解析】解:∵二次函數(shù)y=x2?x+14m?1的圖象與x軸有交點,
∴△=(?1)2?41(14m?1)≥0,
解得:m≤5,
故選:A.
根據(jù)已知拋物線與x軸有交點得出不等式,求出不等式的解集即可.
本題考查了拋物線與x軸的交點,能根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式是解此題的關(guān)鍵.
10. 如圖,點A,B,C,D都在半徑為2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,則弦BC的長為( )
A. 4
B. 22
C. 3
D. 23
【答案】D
【解析】解:∵OA⊥BC,
∴CH=BH,AC?=AB?,
∴∠AOB=2∠CDA=60°,
∴BH=OB?sin∠AOB=3,
∴BC=2BH=23,
故選:D.
根據(jù)垂徑定理得到CH=BH,AC?=AB?,根據(jù)圓周角定理求出∠AOB,根據(jù)正弦的定義求出BH,計算即可.
本題考查的是垂徑定理、圓周角定理,掌握垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題,共18分)
11. 計算:|1?2|=______.
【答案】2?1
【解析】解:|?2|=2?1.
故答案為:2?1.
根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)解答.
本題考查了實數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,主要利用了絕對值的性質(zhì).
12. 計算5x+3yx2?y2?2xx2?y2的結(jié)果是______.
【答案】3x?y
【解析】解:原式=5x+3x?2x(x+y)(x?y)
=3(x+y)(x+y)(x?y)
=3x?y,
故答案為:3x?y.
根據(jù)同分母分式加減運算法則計算即可,最后要注意將結(jié)果化為最簡分式.
本題考查了分式的加減,歸納提煉:分式的加減運算中,如果是同分母分式,那么分母不變,把分子直接相加減即可;如果是異分母分式,則必須先通分,把異分母分式化為同分母分式,然后再相加減.
13. 我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題,譯文為:“現(xiàn)有幾個人共同購買一個物品,每人出8元,則多3元;每人出7元,則差4元.問這個物品的價格是多少元?”該物品的價格是______元.
【答案】53
【解析】解:設(shè)該商品的價格是x元,共同購買該物品的有y人,
根據(jù)題意得:7y?x=?48y?x=3,
解得:y=7x=53.
故答案為:53.
設(shè)該商品的價格是x元,共同購買該物品的有y人,根據(jù)“每人出8元,則多3元;每人出7元,則差4元”,即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.
14. 一組數(shù)據(jù)3,2,3,4,x的平均數(shù)是3,則它的方差是______.
【答案】0.4
【解析】解:∵數(shù)據(jù)2、3、3、4、x的平均數(shù)是3,
∴2+3+3+4+x=35,
∴x=3,
∴S2=15[(3?3)2+(2?3)2+(3?3)2+(4?3)2+(3?3)2]=0.4.
故答案為:0.4.
由于數(shù)據(jù)2、3、3、4、x的平均數(shù)是3,由此利用平均數(shù)的計算公式可以求出x,然后利用方差的計算公式即可求解.
此題主要考查了平均數(shù)和方差的計算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)和方差的計算公式.
15. 已知CD是△ABC的邊AB上的高,若CD=3,AD=1,AB=2AC,則BC的長為______.
【答案】23或27
【解析】解:分兩種情況:
①當(dāng)△ABC是銳角三角形,如圖1,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∵CD=3,AD=1,
∴AC=2,
∵AB=2AC,
∴AB=4,
∴BD=4?1=3,
∴BC=CD2+BD2=32+(3)2=23;
②當(dāng)△ABC是鈍角三角形,如圖2,
同理得:AC=2,AB=4,
∴BC=CD2+BD2=(3)2+52=27;
綜上所述,BC的長為23或27.
故答案為:23或27.
分兩種情況:
①當(dāng)△ABC是銳角三角形,如圖1,
②當(dāng)△ABC是鈍角三角形,如圖2,
分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可.
本題考查了三角形的高、勾股定理的應(yīng)用,在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長,要熟練掌握.
16. 如圖,將面積為322的矩形ABCD沿對角線BD折疊,點A的對應(yīng)點為點P,連接AP交BC于點E.若BE=2,則AP的長為______.
【答案】1632
【解析】解:設(shè)AB=a,AD=b,則ab=322,
由△ABE∽△DAB可得:BEAB=ABAD,
∴b=22a2,
∴a3=64,
∴a=4,b=82,
設(shè)PA交BD于O.
在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=12,
∴OP=OA=AB?ADBD=823,
∴AP=1632.
故答案為1632.
設(shè)AB=a,AD=b,則ab=322,構(gòu)建方程組求出a、b即可解決問題;
本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考常考題型.
三、計算題(本大題共3小題,共18分)
17. 先化簡,再求值:(x+y)(x?y)+y(x+2y)?(x?y)2,其中x=2+3,y=2?3.
【答案】解:(x+y)(x?y)+y(x+2y)?(x?y)2
=x2?y2+xy+2y2?x2+2xy?y2
=3xy,
當(dāng)x=2+3,y=2?3時,原式=3(2+3)(2?3)=3.
【解析】根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式和完全平方公式可以化簡題目中的式子,再將x、y的值代入化簡后的式子即可解答本題.
本題考查整式的混合運算?化簡求值,解答本題的關(guān)鍵是明確整式的化簡求值的計算方法.
18. 正在建設(shè)的“漢十高鐵”竣工通車后,若襄陽至武漢段路程與當(dāng)前動車行駛的路程相等,約為325千米,且高鐵行駛的速度是當(dāng)前動車行駛速度的2.5倍,則從襄陽到武漢乘坐高鐵比動車所用時間少1.5小時.求高鐵的速度.
【答案】解:設(shè)高鐵的速度為x千米/小時,則動車速度為0.4x千米/小時,
根據(jù)題意得:3250.4x?325x=1.5,
解得:x=325,
經(jīng)檢驗x=325是分式方程的解,且符合題意,
則高鐵的速度是325千米/小時.
【解析】設(shè)高鐵的速度為x千米/小時,則動車速度為0.4x千米/小時,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解即可.
此題考查了分式方程的應(yīng)用,弄清題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.
19. 如圖,已知雙曲線y1=kx與直線y2=ax+b交于點A(?4,1)和點B(m,?4).
(1)求雙曲線和直線的解析式;
(2)直接寫出線段AB的長和y1>y2時x的取值范圍.
【答案】解:(1)把A(?4,1)代入y1=kx得k=?41=?4,
∴反比例函數(shù)的解析式為y1=?4x,
把B(m,?4)代入y1=?4x得?4m=?4,解得m=1,則B(1,?4),
把A(?4,1),B(1,?4)代入y2=ax+b得a+b=?4?4a+b=1,解得b=?3a=?1,
∴直線解析式為y2=?x?3;
(2)AB=(?4?1)2+(1+4)2=52,
當(dāng)?41時,y1>y2.
【解析】(1)先把A點坐標(biāo)代入y1=kx中求出k得到反比例函數(shù)的解析式為y1=?4x,再把B(m,?4)代入y1=?4x中求出m得到B(1,?4),然后利用待定系數(shù)法求直線解析式;
(2)利用兩點間的距離公式計算AB的長;利用函數(shù)圖象,寫出反比例函數(shù)圖象在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍得到y(tǒng)1>y2時x的取值范圍.
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題:求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo),把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程組有解則兩者有交點,方程組無解,則兩者無交點.
四、解答題(本大題共6小題,共54分)
20. 為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦,某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛.在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上,繼續(xù)行駛40秒到達(dá)B處時,測得建筑物P在北偏西60°方向上,如圖所示,求建筑物P到賽道AB的距離(結(jié)果保留根號).
【答案】解:過P點作PC⊥AB于C,由題意可知:∠PAC=60°,∠PBC=30°,
在Rt△PAC中,PCAC=tan∠PAC,∴AC=33PC,
在Rt△PBC中,PCBC=tan∠PBC,∴BC=3PC,
∵AB=AC+BC=33PC+3PC=1040=400,
∴PC=1003,
答:建筑物P到賽道AB的距離為1003米.
【解析】作PC⊥AB于C,構(gòu)造出Rt△PAC與Rt△PBC,求出AB的長度,利用特殊角的三角函數(shù)值求解.
此題考查的是直角三角形的性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出兩個特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函數(shù)值解答.
21. “品中華詩詞,尋文化基因”.某校舉辦了第二屆“中華詩詞大賽”,將該校八年級參加競賽的學(xué)生成績統(tǒng)計后,繪制了如下不完整的頻數(shù)分布統(tǒng)計表與頻數(shù)分布直方圖.
頻數(shù)分布統(tǒng)計表
組別
成績x(分)
人數(shù)
百分比
A
60≤x<70
8
20%
B
70≤x<80
16
m%
C
80≤x<90
a
30%
D
90≤0
∴W隨x的增大而增大
∴當(dāng)x=30時,W最大=952
∵968>952
∴當(dāng)x=18時,W最大=968
(3)當(dāng)1≤x<20時,令?2x2+72x+320=870
解得x1=25,x2=11
∵拋物線W=?2x2+72x+320的開口向下
∴11≤x≤25時,W≥870
∴11≤x<20
∵x為正整數(shù)
∴有9天利潤不低于870元
當(dāng)20≤x≤30時,令28x+112≥870
解得x≥27114
∴27114≤x≤30
∵x為正整數(shù)
∴有3天利潤不低于870元
∴綜上所述,當(dāng)天利潤不低于870元的天數(shù)共有12天.
(1)根據(jù)題意將相關(guān)數(shù)值代入即可;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上分段表示利潤,討論最值;
(3)分別在(2)中的兩個函數(shù)取值范圍內(nèi)討論利潤不低于870的天數(shù),注意天數(shù)為正整數(shù).
本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用,應(yīng)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想.
24. 如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.
(1)證明與推斷:
①求證:四邊形CEGF是正方形;
②推斷:AGBE的值為______:
(2)探究與證明:
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:
(3)拓展與運用:
正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CG交AD于點H.若AG=6,GH=22,則BC=______.
【答案】2;35
【解析】解:(1)①∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∠BCA=45°,
∵GE⊥BC、GF⊥CD,
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,
∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=∠ECG=45°,
∴EG=EC,
∴四邊形CEGF是正方形;
②由①知四邊形CEGF是正方形,
∴∠CEG=∠B=90°,∠ECG=45°,
∴CGCE=2,GE//AB,
∴AGBE=CGCE=2,
故答案為:2;
(2)連接CG,
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α,
在Rt△CEG和Rt△CBA中,
CECG=cos45°=22、CBCA=cos45°=22,
∴CGCE=CACB=2,
∴△ACG∽△BCE,
∴AGBE=CACB=2,
∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=2BE;
(3)∵∠CEF=45°,點B、E、F三點共線,
∴∠BEC=135°,
∵△ACG∽△BCE,
∴∠AGC=∠BEC=135°,
∴∠AGH=∠CAH=45°,
∵∠CHA=∠AHG,
∴△AHG∽△CHA,
∴AGAC=GHAH=AHCH,
設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=2a,
則由AGAC=GHAH得62a=22AH,
∴AH=23a,
則DH=AD?AH=13a,CH=CD2+DH2=103a,
∴AGAC=AHCH得62a=23a103a,
解得:a=35,即BC=35,
故答案為:35.
(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD結(jié)合∠BCD=90°可得四邊形CEGF是矩形,再由∠ECG=45°即可得證;②由正方形性質(zhì)知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°,據(jù)此可得CGCE=2、GE//AB,利用平行線分線段成比例定理可得;
(2)連接CG,只需證△ACG∽△BCE即可得;
(3)證△AHG∽△CHA得AGAC=GHAH=AHCH,設(shè)BC=CD=AD=a,知AC=2a,由AGAC=GHAH得AH=23a、DH=13a、CH=103a,由AGAC=AHCH可得a的值.
本題主要考查相似形的綜合題,解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.
25. 直線y=?32x+3交x軸于點A,交y軸于點B,頂點為D的拋物線y=?34x2+2mx?3m經(jīng)過點A,交x軸于另一點C,連接BD,AD,CD,如圖所示.
(1)直接寫出拋物線的解析式和點A,C,D的坐標(biāo);
(2)動點P在BD上以每秒2個單位長的速度由點B向點D運動,同時動點Q在CA上以每秒3個單位長的速度由點C向點A運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點停止運動時,另一個點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒.PQ交線段AD于點E.
①當(dāng)∠DPE=∠CAD時,求t的值;
②過點E作EM⊥BD,垂足為點M,過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N,當(dāng)PN=EM時,求t的值.
【答案】解:(1)在y=?32x+3中,令x=0得y=3,令y=0得x=2,
∴點A(2,0)、點B(0,3),
將點A(2,0)代入拋物線解析式,得:?344+4m?3m=0,
解得:m=3,
所以拋物線解析式為y=?34x2+6x?9,
∵y=?34x2+6x?9=?34(x?4)2+3,
∴點D(4,3),對稱軸為x=4,
∴點C坐標(biāo)為(6,0);
(2)如圖1,
由(1)知BD=AC=4,
根據(jù)0≤3t≤4,得:0≤t≤43,
①∵B(0,3)、D(4,3),
∴BD//OC,
∴∠CAD=∠ADB,
∵∠DPE=∠CAD,
∴∠DPE=∠ADB,
∵AB=22+32=13、AD=(4?2)2+32=13,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠DPE=∠ABD,
∴PQ//AB,
∴四邊形ABPQ是平行四邊形,
∴AQ=BP,即2t=4?3t,
解得:t=45,
即當(dāng)∠DPE=∠CAD時,t=45秒;
②(Ⅰ)當(dāng)點N在AB上時,0≤2t≤2,即0≤t≤1,
連接NE,延長PN交x軸于點F,延長ME交x軸于點H,
∵PN⊥BD、EM⊥BD,BD//OC,PN=EM,
∴OF=BP=2t,PF=OB=3,NE=FH、NF=EH,NE//FQ,
∴FQ=OC?OF?QC=6?5t,
∵點N在直線y=?32x+3上,
∴點N的坐標(biāo)為(2t,?3t+3),
∴PN=PF?NF=3?(?3t+3)=3t,
∵NE//FQ,
∴△PNE∽△PFQ,
∴NEFQ=PNPF,
∴FH=NE=PNPF?FQ=3t3(6?5t)=6t?5t2,
∵A(2,0)、D(4,3),
∴直線AD解析式為y=32x?3,
∵點E在直線y=32x?3上,
∴點E的坐標(biāo)為(4?2t,?3t+3),
∵OH=OF+FH,
∴4?2t=2t+6t?5t2,
解得:t=1+55>1(舍)或t=1?55;
(Ⅱ)當(dāng)點N在AD上時,2<2t≤4,即1
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