（廣西專用）2019中考數(shù)學(xué)二輪新優(yōu)化復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題5 與四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算針對(duì)訓(xùn)練.doc

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第二部分　專題五 1．(xx北京)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE. (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若AB＝，BD＝2，求OE的長(zhǎng)． (1)證明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA. ∵AC為∠DAB的平分線， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB. ∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形． ∵AD＝AB，∴四邊形ABCD是菱形． (2)解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC. ∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC. ∵BD＝2，∴OB＝BD＝1. 在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1， ∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2. 2．(xx柳州)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的點(diǎn)，BE和AF交于點(diǎn)O，且AE＝DF. (1)求證：△ABE≌△DAF； (2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面積. (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(SAS)． (2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠FAD. 又∵∠FAD＋∠BAO＝90， ∴∠ABO＋∠BAO＝90， ∴∠AOB＝∠EAB＝90，∴△ABO∽△EBA， ∴＝. ∵BO＝4，OE＝2，∴＝， ∴AB2＝24，∴正方形ABCD的面積是24. 3．(xx百色)矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，CE，AF分別交BD于G，H兩點(diǎn)． 求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形； (2)EG＝FH. 證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)， ∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF， ∴四邊形AFCE是平行四邊形． (2)∵四邊形AFCE是平行四邊形， ∴CE∥AF，∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF. ∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH， 在△DEG和△BFH中， ∴△DEG≌△BFH(AAS)，∴EG＝FH. 4．(xx玉林適應(yīng)性考試) 如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.點(diǎn)P是AC上動(dòng)點(diǎn)，∠CAB＝∠CAD，且AB＝10，cos∠CAB＝. (1)求證：四邊形ABCD是菱形； (2)若點(diǎn)E是AB邊上動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PE，求線段PE＋PB的最小值． (1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，∴∠CAB＝∠DCA. ∵∠CAB＝∠CAD，∴∠DCA＝∠CAD，∴CD＝AD， ∴四邊形ABCD是菱形． (2)解：如答圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)P，連接BP，此時(shí)線段PE ＋PB的值最小， 且PE＋PB＝DE. ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2BO， ∴∠AOB＝90. ∵AB＝10，cos∠CAB＝＝， ∴AO＝AB＝8， ∴BO＝6，BD＝2BO＝12. ∵∠DEB＝∠AOB＝90， ∴∠BDE＝∠OAB， ∴DE＝DBcos∠BDE＝12＝， ∴線段PE＋PB的最小值為. 5．(xx貴港)如圖1，在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EF，垂足為H. (1)如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△ABG. ①求證：△AGE≌△AFE； ②若BE＝2，DF＝3，求AH的長(zhǎng)． (2)如圖3，連接BD交AE于點(diǎn)M，交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM，MN，ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由. 解：(1)①證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知AF＝AG， ∠DAF＝∠BAG. ∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90. 又∵∠EAF＝45，∴∠BAE＋∠DAF＝45. ∴∠BAG＋∠BAE＝45，∴∠GAE＝∠FAE. 在△AGE和△AFE中， ∴△GAE≌△FAE(SAS)． ②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF， ∴AB＝AH，GE＝EF＝5. 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則EC＝x－2，F(xiàn)C＝x－3. 在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2， 即(x－3)2＋(x－2)2＝25，解得x＝6(負(fù)值已舍去)． ∴AB＝6，∴AH＝6. (2)解：MN2＝ND2＋BM2.理由：如答圖所示． 將△ABM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得△ADM′. ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知， ∠ADM′＝∠ABM＝45，BM＝DM′. ∴∠NDM′＝90，∴NM′2＝ND2＋DM′2. ∵∠EAM′＝90，∠EAF＝45， ∴∠EAF＝∠FAM′＝45. 在△AMN和△ANM′中， ∴△AMN≌△AM′N(SAS)．∴MN＝M′N. 又∵BM＝DM′，∴MN2＝ND2＋BM2.