河南省七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式（2）教案 （新版）新人教版.doc

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第一章：整式的乘除 課 題 1.5 平方差公式(2) 課時(shí)安排 共（ ）課時(shí) 課程標(biāo)準(zhǔn) 課程標(biāo)準(zhǔn)28頁(yè) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解平方差公式的幾何背景. 2.會(huì)用面積法推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算. 教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的幾何解釋 教學(xué)難點(diǎn) 準(zhǔn)確地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算 教學(xué)方法 啟發(fā)探究 教學(xué)準(zhǔn)備 課件制作 課前作業(yè) 一塊大正方形紙板，剪刀. 預(yù)習(xí)并嘗試完成隨堂練習(xí) 教學(xué)過(guò)程 教學(xué)環(huán)節(jié) 課堂合作交流 二次備課 （修改人： ） 環(huán) 節(jié) 一 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課 ［師］同學(xué)們，請(qǐng)把自己準(zhǔn)備好的正方形紙板拿出來(lái)，設(shè)它的邊長(zhǎng)為a. 這個(gè)正方形的面積是多少？ ［生］a2. ［師］請(qǐng)你用手中的剪刀從這個(gè)正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(如圖1－23).現(xiàn)在我們就有了一個(gè)新的圖形(如上圖陰影部分)，你能表示出陰影部分的面積嗎？ 圖1－23 ［生］剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為(a2－b2). ［師］你能用陰影部分的圖形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？同學(xué)們可在小組內(nèi)交流討論. (教師可巡視同學(xué)們拼圖的情況，了解同學(xué)們拼圖的想法) ［生］老師，我們拼出來(lái)啦. ［師］講給大伙聽(tīng)一聽(tīng). ［生］我是把剩下的圖形(即上圖陰影部分)先剪成兩個(gè)長(zhǎng)方形(沿上圖虛線(xiàn)剪開(kāi))，我們可以注意到，上面的大長(zhǎng)方形寬是(a－b),長(zhǎng)是a;下面的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)是(a－b),寬是b.我們可以將兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)更大長(zhǎng)方形，是由于大長(zhǎng)方形的寬和小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是(a－b),我們可以將這兩個(gè)邊重合，這樣就拼成了一個(gè)如圖1－24所示的圖形(陰影部分)，它的長(zhǎng)和寬分別為(a+b),(a－b),面積為(a+b)(a－b). 圖1－24 ［師］比較上面兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？ ［生］這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］這恰好是我們上節(jié)課學(xué)過(guò)的平方差公式. ［生］我明白了.上一節(jié)課，我們用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則驗(yàn)證了平方差公式.今天，我們又通過(guò)拼圖游戲給出平方差公式的一個(gè)幾何解釋?zhuān)盍? ［生］用拼圖來(lái)驗(yàn)證平方差公式很直觀，一剪一拼，利用面積相等就可推證. ［師］由此我們對(duì)平方差公式有了更多的認(rèn)識(shí).這節(jié)課我們來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)平方差公式，也許你會(huì)發(fā)現(xiàn)它更“神奇”的作用. 課中作業(yè) 環(huán) 節(jié) 二 Ⅱ.講授新課 ［師］出示投影片(1.5.2 A) 想一想： (1)計(jì)算下列各組算式，并觀察它們的特點(diǎn) (2)從以上的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ (3)請(qǐng)你用字母表示這一規(guī)律，你能說(shuō)明它的正確性嗎？ ［生］(1)中算式算出來(lái)的結(jié)果如下 ［生］從上面的算式可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1. ［師］是不是大于1的所有自然數(shù)都有這個(gè)特點(diǎn)呢？ ［生］我猜想是.我又找了幾個(gè)例子如： ［師］你能用字母表示這一規(guī)律嗎？ ［生］設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a,與它相鄰的兩個(gè)自然數(shù)為a－1,a+1,則有(a+1)(a－1)=a2－1. ［生］這個(gè)結(jié)論是正確的，用平方差公式即可說(shuō)明. ［生］可是，我有一個(gè)疑問(wèn)，a必須是一個(gè)自然數(shù)，還必須大于2嗎？ (同學(xué)們驚訝，然后討論) ［生］a可以代表任意一個(gè)數(shù). ［師］很好！同學(xué)們能大膽提出問(wèn)題，又勇于解決問(wèn)題，值得提倡. ［生］老師，我還有個(gè)問(wèn)題，這個(gè)結(jié)論反映了數(shù)字之間的一種關(guān)系.在平時(shí)有什么用途呢？ (陷入沉思) ［生］例如：計(jì)算2931很麻煩，我們就可以轉(zhuǎn)化為(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899. ［師］的確如此.我們?cè)谧鲆恍?shù)的運(yùn)算時(shí)，如果能一直有這樣“巧奪天工”的方法，太好了. 我們不妨再做幾個(gè)類(lèi)似的練習(xí). 出示投影片(1.5.2 B) ［例3］用平方差公式計(jì)算： (1)10397 (2)118122 ［師］我們可以發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)算上面的算式很麻煩.但注意觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)新的奧妙. ［生］我發(fā)現(xiàn)了，103=100+3,97=100－3,因此10397=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太簡(jiǎn)便了！ ［生］我觀察也發(fā)現(xiàn)了第(2)題的“奧妙”. 118=120－2,122=120+2 118122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396. ［生］遇到類(lèi)似這樣的題，我們就不用筆算，口算就能得出. ［師］我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例題(出示投影片1.5.2 C). ［例4］計(jì)算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3). 分析：上面兩個(gè)小題，是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，能使運(yùn)算簡(jiǎn)便；還需注意的是運(yùn)算順序以及結(jié)果一定要化簡(jiǎn). 解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2 =a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4 (2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3) =(2x)2－52－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25 注意：在(2)小題中，2x與2x－3的積算出來(lái)后，要放到括號(hào)里，因?yàn)樗鼈兪且粋€(gè)整體. ［例5］公式的逆用 (1)(x+y)2－(x－y)2 (2)252－242 分析：逆用平方差公式可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便. 解：(1)(x+y)2－(x－y)2 =［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］ =2x2y =4xy (2)252－242 =(25+24)(25－24) =49 課中作業(yè) a2(a+b)(a－b)+a2b2 環(huán) 節(jié) 三 Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.(課本P22)計(jì)算 (1)704696 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) (3)x(x－1)－(x－)(x+) (可讓學(xué)生先在練習(xí)本上完成，教師巡視作業(yè)中的錯(cuò)誤，或同桌互查互糾) 解：(1)704696=(700+4)(700－4) =490000－16=489984 (2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) =(x2－4y2)+(x2－1) =x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1 (3)x(x－1)－(x－)(x+) =(x2－x)－［x2－()2］ =x2－x－x2+=－x 課中作業(yè) 出示投影片(1.5.2 D) 解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1) (先由學(xué)生試著完成) 解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2) =(7x+1)(x－1) (2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12 x=2 課后作業(yè)設(shè)計(jì)： 課后練習(xí)題 練習(xí)冊(cè) （修改人： ） 板書(shū)設(shè)計(jì)： 1.5.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的幾何解釋?zhuān)? 二、想一想 特例——?dú)w納——建立猜想——用符號(hào)表示——給出證明 即(a+1)(a－1)=a2－1 三、例題講解：例3 例4 教學(xué)反思：