2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．等比數(shù)列{an}中，an＝2n，則它的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．2n－1　　　　　　　　 B．2n－2 C．2n＋1－1 D．2n＋1－2 解析：a1＝2，q＝2， ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：D 2．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a4＝，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S10＝(　　) A．2－ B．2－ C．2－ D．2－ 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1，a4＝，得q3＝，解得q＝，于是S10＝＝＝2－. 答案：B 3．等比數(shù)列{an}中，已知前4項(xiàng)之和為1，前8項(xiàng)和為17，則此等比數(shù)列的公比q為(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－1 解析：S4＝＝1，① S8＝＝17，② ②①得1＋q4＝17，q4＝16. q＝2. 答案：C 4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝(　　) A．35 B．33 C．31 D．29 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， ∵a2a3＝aq3＝a1a4＝2a1， ∴a4＝2. 又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2， ∴q＝. ∴a1＝＝16.S5＝＝31. 答案：C 5．等比數(shù)列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，則公比q等于(　　) A．2 B. C．4 D. 解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式兩邊分別相減得a4－a3＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝4. 答案：C 6．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an，n＝1,2,3，…，則a1＋a2＋…＋an＝________. 解析：由＝2，∴{an}是以a1＝1，q＝2的等比數(shù)列，故Sn＝＝2n－1. 答案：2n－1 7．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為________． 解析：∵S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，∴4S2＝S1＋3S3， 即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)， ∴4(1＋q)＝1＋3(1＋q＋q2)，解之得q＝. 答案： 8．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝m3n＋2，則m＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列為{an}，則 a1＝S1＝3m＋2， S2＝a1＋a2＝9m＋2?a2＝6m， S3＝a1＋a2＋a3＝27m＋2?a3＝18m， 又a＝a1a3?(6m) 2＝(3m＋2)18m ?m＝－2或m＝0(舍去)．∴m＝－2. 答案：－2 9．在等差數(shù)列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則 a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d， 由a3，a6，a10成等比數(shù)列，得a3a10＝a， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2. 整理，得10d2－10d＝0.解得d＝0或d＝1. 當(dāng)d＝0時(shí)，S20＝20a4＝200； 當(dāng)d＝1時(shí)，a1＝a4－3d＝10－31＝7， 于是S20＝20a1＋d＝207＋190＝330. 10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其中bn>0，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2] ＝－2n＋3， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21－12＝1也適合上式， ∴{an}的通項(xiàng)公式an＝－2n＋3(n∈N*)． 又an＝log5bn， ∴l(xiāng)og5bn＝－2n＋3， 于是bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1， ∴＝＝5－2＝. 因此{(lán)bn}是公比為的等比數(shù)列，且b1＝5－2＋3＝5， 于是{bn}的前n項(xiàng)和 Tn＝＝. [B組　能力提升] 1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B.(2n－1) C．4n－1 D.(4n－1) 解析：根據(jù)前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，可求出an＝2n－1，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得{a}仍為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a，公比為q2，∴a＋a＋…＋a＝1＋22＋24＋…＋22n－2＝(4n－1)． 答案：D 2．設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝3，則＝(　　) A．2 B. C. D．1或2 解析：設(shè)S2＝k，則S4＝3k，由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故選B. 答案：B 3．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________． 解析：由題意，，解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，所以a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2，因而數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n－1. 答案：2n－1 4．設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則a1＋a5＝________. 解析：由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34. 答案：34 5．(2016高考全國Ⅲ卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2)若S5＝，求λ. 解析：(1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{(lán)an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝， 即5＝. 解得λ＝－1. 6．設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解析：(1)由已知得解得a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝， a3＝2q， 又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝. 由題意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1. (2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數(shù)列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝ln 2. 故Tn＝ln 2.