2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 一 第一課時(shí) 參數(shù)方程的概念優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-4.doc

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一 第一課時(shí) 參數(shù)方程的概念 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．已知曲線的方程為(t為參數(shù)，t∈R)，則下列點(diǎn)中在曲線上的是(　　) A．(1,1) B．(2,2) C．(2,3) D．(1,2) 解析：當(dāng)t＝0時(shí)，x＝1，y＝1，即點(diǎn)(1,1)在曲線上． 答案：A 2．在方程(θ為參數(shù))所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　) A．(2，－7) B．(，) C．(，) D．(1,0) 解析：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程，若能求出θ，則點(diǎn)在曲線上，經(jīng)檢驗(yàn)，知C滿足條件． 答案：C 3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)． 由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得： (x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2. ∴. 答案：A 4．已知圓(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，點(diǎn)M在圓上，O為原點(diǎn)，以∠MOx＝φ為參數(shù)，那么圓的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，設(shè)圓心為O′，連接O′M，則∠MO′x＝2φ. 所以圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 答案：D 5．參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線是(　　) A．直線 B．線段 C．圓 D．半圓 解析：因?yàn)閟in2θ＋cos2θ＝1，所以普通方程為x2＋y2＝1.故選C. 答案：C 6．已知曲線(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)．下列各點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲線上的點(diǎn)是________． 解析：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：θ＝0或π，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，方程無解，故A點(diǎn)在曲線上． 答案：A(1,3) 7．下列各參數(shù)方程與方程xy＝1表示相同曲線的序號(hào)是________． ①②③④ 解析：普通方程中，x，y均為不等于0的實(shí)數(shù)，而①②③中x的取值依次為：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正確，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正確． 答案：④ 8．曲線的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，已知點(diǎn)(2，a)在曲線上，則a＝________. 解析：∵2＝2t，t＝1，∴y＝3＋2＋2＝7，∴a＝7. 答案：7 9．已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A在y軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)B在x軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)，求頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程． 解析：如圖，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，∠ABO＝θ，過點(diǎn)C作x軸的垂線段CM，垂足為M. 則∠CBM＝120－θ， ∴ (θ為參數(shù)，0≤θ≤)為所求． 10．如圖所示，OA是圓C的直徑，且OA＝2a，射線OB與圓交于Q點(diǎn)，和經(jīng)過A點(diǎn)的切線交于B點(diǎn)，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，試求點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解析：設(shè)P(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)，取∠DOQ＝θ， 由PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2 θ＝2acos2 θ， y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 θ∈. [B組　能力提升] 1．下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2－y＝0表示同一曲線的方程是(　　) A. B. C. D. 解析：A顯然錯(cuò)誤，B中x∈[－1,1]與原題中x的范圍不同，C可化為y－＝0，故選D. 答案：D 2．若P(2，－1)為圓O′：(θ為參數(shù)，0≤θ<2π)的弦的中點(diǎn)，則該弦所在直線l的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：∵圓心O′(1,0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1. ∴直線l的方程為x－y－3＝0. 答案：A 3．設(shè)x＝2cos θ(θ為參數(shù))，則橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為________． 解析：將x＝2cos θ代入＋y2＝1得cos2 θ＋y2＝1，即y2＝sin2 θ. ∴y＝sin θ，不妨取y＝sin θ，則橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 答案：(θ為參數(shù))(注：答案不唯一，也可以是(θ為參數(shù)) 4．如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________． 解析：圓的方程為2＋y2＝2，則圓的半徑r＝， 如圖連接AP，∠OPA＝90，故|OP|＝|OA|cos θ＝cos θ， 設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則x＝|OP|cos θ＝cos2 θ， y＝|OP|sin θ＝cos θsin θ， 故點(diǎn)P的參數(shù)方程為 答案： 5．在長為a的線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，在AB的同側(cè)以AE和EB為斜邊，分別作等腰直角三角形AEC和EBD，點(diǎn)P是CD的定比分點(diǎn)，且|CP|∶|PD|＝2∶1，求點(diǎn)P的軌跡． 解析：建立如圖所示坐標(biāo)系(設(shè)C，D在x軸上方)． 設(shè)P(x，y)，E(t,0)(t為參數(shù)，t∈[0，a])，B(a,0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為. ∵|CP|∶|PD|＝2∶1，即λ＝2. 由定比分點(diǎn)公式，有 t∈[0，a]， 這就是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程． 6．艦A在艦B的正東，距離6 km；艦C在艦B的北偏西30，距離4 km.它們準(zhǔn)備圍捕海中動(dòng)物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號(hào)，4 s后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)，A于是發(fā)射麻醉炮彈，假設(shè)艦與動(dòng)物都是靜止的，動(dòng)物信號(hào)的傳播速度為1 km/s，炮彈初速度為 km/s，其中g(shù)為重力加速度，空氣阻力不計(jì)，求艦A炮擊的方位角與仰角． 解析：以BA為x軸，BA的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)，則B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2)．設(shè)動(dòng)物所在位置為P(x，y)．因?yàn)閨BP|＝|CP|，所以P在線段BC的中垂線上，易知中垂線方程是y＝(x＋7)． 又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，雙曲線方程是－＝1，從而得P(8,5)． 設(shè)∠xAP＝α，則tan α＝kAP＝，∴α＝60，這樣炮彈發(fā)射的方位角為北偏東30.再以A為原點(diǎn)，AP為x′軸建立坐標(biāo)系x′Ay′(如圖)． |PA|＝10，設(shè)彈道曲線方程是 (其中θ為仰角)． 將P(10,0)代入，消去t得sin 2θ＝，即θ＝30或60，這樣艦A發(fā)射炮彈的仰角為30或60.