2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.1.1 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式活頁(yè)作業(yè)8 北師大版選修4-5.doc
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活頁(yè)作業(yè)(八) 簡(jiǎn)單形式的柯西不等式 一、選擇題 1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,則P=(ax+by)2與Q=ax2+by2的大小關(guān)系是( ) A.P≤Q B.PQ 解析:設(shè)m=(x,y),n=(,), 則|ax+by|=|mn|≤|m||n|= = =, ∴(ax+by)2≤ax2+by2,即P≤Q. 答案:A 2.設(shè)x>0,y>0,m>0,n>0,且+=1,則u=x+y的最小值是( ) A.(+)2 B. C. D.(m+n)2 解析:根據(jù)柯西不等式,得x+y=(x+y)≥2=(+)2, 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立, 這時(shí)u取最小值為(+)2. 答案:A 3.已知x,y∈(0,+∞),且xy=1,則的最小值為( ) A.4 B.2 C.1 D. 解析:= ≥ 2=2=22=4. 答案:A 4.已知θ∈R,則4+cos θ的最大值是( ) A.2 B.3 C. D. 解析:4+cos θ≤=3,當(dāng)且僅當(dāng) 4cos θ=,即sin θ=,cos θ=時(shí)等號(hào)成立. 答案:B 二、填空題 5.若x+2y=5,則x2+y2的最小值為________. 解析:由柯西不等式,得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).所以5(x2+y2)≥25. 所以x2+y2≥5. 答案:5 6.已知a2+b2=4,則|acos θ+bsin θ|的最大值是________. 解析:因?yàn)?acos θ+bsin θ)2≤(a2+b2)(cos2θ+sin2θ)=4,當(dāng)且僅當(dāng)asin θ=bcos θ時(shí)等號(hào)成立, 所以|acos θ+bsin θ|≤2. 答案:2 三、解答題 7.已知函數(shù)y=3+4,求函數(shù)的定義域和最大值. 解:易知函數(shù)的定義域?yàn)閇5,6],且y>0. ∴y=3+4 ≤=5, 當(dāng)且僅當(dāng)3=4,即x=時(shí)取等號(hào). 故函數(shù)的定義域?yàn)閇5,6],最大值為5. 8.若00)時(shí)等號(hào)成立, ∴x+4+4y≤10. 由得x=,符合x>0. ∴x+4+4y的最大值為10. 答案:10 三、解答題 5.已知a1,a2,b1,b2為正實(shí)數(shù). 求證:(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 證明:= ≥ 2=(a1+a2)2. 6.已知x,y為正實(shí)數(shù),且x+y=1, 求x2+y2的值. 解:法一 依題意,有0 0), 則有t(2-t)≥1, 即t2-2t+1≤0?(t-1)2≤0. ∵t>0,∴t-1=0,即t=1.∴x2+y2=1.
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