2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 三 排序不等式講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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三 排序不等式 1．順序和、亂序和、反序和 設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的反序積之和(簡稱反序和)．稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個(gè)實(shí)數(shù)組的亂序積之和(簡稱亂序和)． 2．排序不等式(排序原理) 定理：(排序原理，又稱為排序不等式)　設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號(hào)成立(反序和等于順序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤順序和． [點(diǎn)睛]　排序不等式也可以理解為兩實(shí)數(shù)序列同向單調(diào)時(shí)，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(diào)(一增一減)時(shí)，所得兩兩乘積之和最?。? [例1]　已知a，b，c為正數(shù)，且a≥b≥c，求證： ＋＋≥＋＋. [思路點(diǎn)撥]　分析題目中已明確a≥b≥c，所以解答本題時(shí)可直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，再用排序不等式證明即可． [證明]　∵a≥b>0，于是≤， 又c>0，從而≥， 同理≥，從而≥≥. 又由于順序和不小于亂序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋＝＋＋. ∴原不等式成立． 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個(gè)數(shù)組． 1．已知0<α<β<γ<，求證：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 證明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在為增函數(shù)，y＝cos x在為減函數(shù)， ∴0cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2．設(shè)x≥1，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 證明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n ≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1 即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.① 又因?yàn)閤，x2，…，xn,1為1，x，x2，…，xn的一個(gè)排列， 由排序原理得1x＋xx2＋…＋xn－1xn＋xn1 ≥1xn＋xxn－1＋…＋xn－1x＋xn1， 即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.② 將①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 用排序不等式證明不等式(對(duì)所證不等式中的字母大小順序作出假設(shè)) 　　[例2]　設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證： ＋＋≥a10＋b10＋c10. [思路點(diǎn)撥]　本題考查排序不等式的應(yīng)用，解答本題需要搞清：題目中沒有給出a，b，c三個(gè)數(shù)的大小順序，且a，b，c在不等式中的“地位”是對(duì)等的，故可以設(shè)a≥b≥c，再利用排序不等式加以證明． [證明]　由對(duì)稱性，不妨設(shè) a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥， 故由排序不等式：順序和≥亂序和，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋.① 又因?yàn)閍11≥b11≥c11，≤≤. 再次由排序不等式：反序和≤亂序和，得 ＋＋≤＋＋.② 所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10. 在排序不等式的條件中需要限定各數(shù)值的大小關(guān)系，對(duì)于沒有給出大小關(guān)系的情況，要根據(jù)各字母在不等式中地位的對(duì)稱性，限定一種大小關(guān)系． 3．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：由題意不妨設(shè)a≥b≥c＞0， 由不等式的單調(diào)性，知ab≥ac≥bc，≥≥. 由排序不等式，知ab＋ac＋bc ≥ab＋ac＋bc＝a＋c＋b， 即＋＋≥a＋b＋c. 4．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，求證：＋＋≥a1＋a2＋a3. 證明：不妨設(shè) a1≥a2≥a3>0，于是 ≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2， 由排序不等式：順序和≥亂序和得 ＋＋≥a2a3＋a3a1＋a1a2 ＝a3＋a1＋a2. 即＋＋≥a1＋a2＋a3. 1．有兩組數(shù)：1,2,3與10,15,20，它們的順序和、反序和分別是(　　) A．100,85　　　　　　　　 B．100,80 C．95,80 D．95,85 解析：選B　由順序和與反序和的定義可知順序和為100，反序和為80. 2．若00， 則lg a≥lg b≥lg c，據(jù)排序不等式有： alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c， 以上兩式相加，再兩邊同加alg a＋blg b＋clg c，整理得 3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)， 即lg(aabbcc)≥lg(abc)， 故aabbcc≥(abc). 9．某學(xué)校舉行投籃比賽，按規(guī)則每個(gè)班級(jí)派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級(jí)三名運(yùn)動(dòng)員A，B，C每分鐘能投進(jìn)的次數(shù)分別為a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上場能取得最佳成績？ 解：∵m＞n＞p，a＞b＞c， 且由排序不等式知順序和為最大值， ∴最大值為ma＋nb＋pc，此時(shí)分?jǐn)?shù)最高， ∴三人上場順序是A第一，B第二，C第三． 10．已知00， 又0

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