2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1-2-2-2 組合的綜合應(yīng)用隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3.doc
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1-2-2-2 組合的綜合應(yīng)用 1．某地招募了20名志愿者，他們編號分別為1號，2號，…，19號，20號，如果要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作，其中兩個編號較小的人在一組，兩個編號較大的人在另一組，那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數(shù)是( ) A．16 B．21 C．24 D．90 [解析] 分2類：第1類，5號與14號為編號較大的一組，則另一組編號較小的有C＝6種選取方法．第2類，5號與14號為編號較小的一組，則編號較大的一組有C＝15種選取方法．由分類加法計數(shù)原理得，共有C＋C＝6＋15＝21(種)選取方法． [答案] B 2．把5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案有( ) A．80種 B．120種 C．140種 D．50種 [解析] 當(dāng)甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有CC＝20(種)不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有CC＝30(種)不同的分配方案；當(dāng)甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有CC＝30(種)不同的分配方案；由分類加法計數(shù)原理共有CC＋CC＋CC＝80(種)不同的分配方案． [答案] A 3．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( ) A．60種 B．63種 C．65種 D．66種 [解析] 從1,2,3，…9這9個數(shù)中取出4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的情況包括：①取出的4個數(shù)都是偶數(shù)，取法有C＝1(種)；②取出的4個數(shù)中有2個偶數(shù)、2個奇數(shù)，取法有CC＝60(種)；③取出的4個數(shù)都是奇數(shù)，取法有C＝5(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，滿足題意的取法共有1＋60＋5＝66(種)． [答案] D 4．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答)． [解析] 把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有CA種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為A＋CA＝24＋36＝60(種)． [答案] 60 課內(nèi)拓展 課外探究 1．幾何組合應(yīng)用問題 (1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應(yīng)注意運用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．如平面上不共線的m個點構(gòu)成多少個三角形，即在m個元素中取出3個元素的組合數(shù)(除去共線的情況)就是三角形的個數(shù)．空間由不共面的n個點構(gòu)成多少個四面體，即與在n個元素中取出4個元素的組合數(shù)(除去共面的情況)相等，如求組成多少對異面直線問題，也可以構(gòu)造四面體模型加以處理． 此外，解決幾何問題，必須注意幾何問題本身的限制條件．如共線、共面、交點等要注意分清“對應(yīng)關(guān)系”，如不共線的三點對應(yīng)一個三角形，不共面的四點確定一個四面體等等，解題時可借助圖形來幫助思考，并善于將幾何性質(zhì)用于解題之中． (2)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． (3)在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時，應(yīng)先明確幾何中的點、線、面及構(gòu)造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決． 利用組合知識解決與幾何有關(guān)的問題，要注意：①將已知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法；②要使用分類方法，至于怎樣確定分類的標準，這是一個難點，要具體問題具體分析；③常用間接法解決該類問題． 如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有________條．這些直線中共有f(n)對異面直線，則f(4)＝________，f(n)＝________(答案用數(shù)字或n的解析式表示)． [解析] n棱錐共n＋1個頂點，依兩點確定一條直線，有C＝條直線． f(4)表示四棱錐中的異面直線的對數(shù)，如圖，每條側(cè)棱和底面上不共頂點的兩條底邊、一條對角線共形成3對異面直線，即f(4)＝43＝12對； 同理，一條側(cè)棱與底面上n－2條底邊異面，又與C－(n－1)＋1條底面對角線異面，即與這條側(cè)棱異面的直線有C－(n－1)＋1＋(n－2)＝C＝條，故n條側(cè)棱形成的異面直線的對數(shù)f(n)＝. [答案] 12 [點評] 這里是用組合知識來解答立體幾何中的問題，其中由簡單到復(fù)雜，由特例到一般的推理方法及用特例來檢驗一般的方法都要注意掌握． 在∠MON的邊OM上有5個異于點O的點，在邊ON上有4個異于點O的點，以這10個點(含O)為頂點，可以得到多少個三角形？ [解] 解法一：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點的三角形中，必須另外兩個頂點分別在OM、ON上，所以有CC個，O不為頂點的三角形中，兩個頂點在OM上，一個頂點在ON上的有CC個，一個頂點在OM上，兩個頂點在ON上的有CC個．因為這是分類問題，所以用分類計數(shù)原理，共有CC＋CC＋CC＝54＋104＋56＝90(個)． 解法二：(間接法)先不考慮共線點的問題，從10個不同元素中任取三個的組合數(shù)是C，但其中OM上的6個點(含O)中任取三點不能得到三角形，ON上的5個點(含O)中任取3點也不能得到三角形，所以共可以得到C－C－C個三角形，即C－C－C＝－－＝120－20－10＝90(個)． [點評] 解答幾何組合應(yīng)用問題的思考方法與一般的組合應(yīng)用題基本一樣，只要把圖形中隱含的條件視為有限制條件的組合應(yīng)用題即可．計算時可用直接法，也可用間接法．要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數(shù)． 2．構(gòu)造組合模型 排列、組合應(yīng)用題的背景豐富、千奇百怪、情景陌生、無特定的模式和規(guī)律可循，因此必須認真審題，把握問題的本質(zhì)特征，化歸為排列、組合的常規(guī)模型進而求解． 某城市一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端路燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，那么熄燈方法共有( ) A．C種 B．A種 C．C種 D．A種 [解析] “亮燈”“滅燈”元素之間互異，可視為互異的元素，不考慮順序，屬于組合問題． “滅燈”不相鄰，應(yīng)采取“插空法”． 分兩步完成： 第一步，安排9盞亮燈，因為亮燈相同，只是位置不同，共有C種； 第二步，將3盞熄滅的燈插到8個空里，有C種； 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CC＝C種熄燈方法．故選擇A. [答案] A [點評] 本題通過構(gòu)造組合模型，利用“插空法”，使問題順利地解決． 設(shè)集合A＝{1,2,3,4,5,6,7}，映射f：A→A滿足f(1)下載提示(請認真閱讀)
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