2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項和 第3課時 數(shù)列的通項公式優(yōu)化練習 新人教A版必修5.doc

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第3課時 數(shù)列的通項公式 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．設數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n　　　　　　　 B．a(chǎn)n＝3n＋1 C．a(chǎn)n＝3n－1 D．a(chǎn)n＝3n－1 答案：C 2．數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項an＝________.(　　) A．2n＋1－3 B．2n－3 C．2n＋3 D．2n－1－3 解析：an＋1＋3＝2(an＋3)，∴此數(shù)列是以a1＋3為首項，2為公比的等比數(shù)列，an＋3＝(1＋3)2n－1，即an＝2n＋1－3. 答案：A 3．設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，則通項公式是(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：設|2n－1an|的前n項和為Tn，∵數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，∴Tn＝，∴2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝， ∴an＝＝，經(jīng)驗證，n＝1時也成立， 故an＝.故選C. 答案：C 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2，且n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝n＋2 D．a(chǎn)n＝(n＋2)3n 解析：an＝an－1＋n(n≥2，且n∈N*)?＝＋1， 即bn＝，則數(shù)列{bn}為首項b1＝＝3a1＝3，公差為1的等差數(shù)列， 所以bn＝3＋(n－1)1＝n＋2， 所以an＝. 答案：B 5．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝2Sn－3，則{an}的通項公式是________． 解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，兩式相減得an－an－1＝2an(n≥2)， ∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)． 故{an}是公比為－1的等比數(shù)列， 令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3(－1)n－1. 答案：an＝3(－1)n－1 6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，則an＝________. 解析：∵a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2. 答案：n2－2n＋2 7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，則通項an＝________. 解析：由an＝3an－1＋2，得an＋1＝3(an－1＋1)(n≥2)．∵a1＝2，∴a1＋1＝3≠0，∴數(shù)列{an＋1}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝33n－1＝3n，即an＝3n－1. 答案： 3n－1 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，則＝________，數(shù)列{an}的通項公式為________． 解析：當n≥2時，由(n＋1)an＝(n－1)an－1得＝， 故＝＝＝. an＝…a1＝…2＝2＝.又a1＝2滿足上式，故an＝(n∈N*) 答案：　an＝(n∈N*) 9．已知數(shù)列{an}滿足：Sn＝1－an(n∈N*)，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求{an}的通項公式． 解析：∵Sn＝1－an，① ∴Sn＋1＝1－an＋1，② ②－①得an＋1＝－an＋1＋an， ∴an＋1＝an，(n∈N*) 又n＝1時，a1＝1－a1， ∴a1＝. ∴an＝()n－1＝()n(n∈N*)． 10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an. 解析：由題意知an≠0，因為an＋1＝an， 所以＝， 故an＝…a1＝…＝. [B組　能力提升] 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，a1＋a2＋…＋an＝n2an，則an為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ 解析：∵a1＋a2＋…＋an＝n2an，① ∴a1＋a2＋…＋an－1＝ (n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，② ①－②得an＝n2an－(n－1)2an－1. 即＝(n≥2，n∈N*)． ∴…＝…. 即＝，又a1＝，∴an＝， 當n＝1時，a1＝＝成立， ∴an＝(n∈N*)． 答案：A 2．已知{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，則{an}的通項公式為an＝(　　) A. B．()n－1 C. D．()n 解析：∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0. ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0. ∵an>0，∴an＋1＋an>0. ∴＝，即an＋1＝an. ∴an＝an－1＝an－2＝…＝…a1＝(n≥2)． 當n＝1時，a1＝也成立，∴an＝. 答案：A 3．對于數(shù)列{an}，滿足a1＝1，an＋1＝an＋，則an＝________. 解析：∵an＋1－an＝－， ∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝(－1)＋(－)＋…＋(－)，即an＝(n≥2)，將n＝1代入也成立，∴an＝. 答案： 4．設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，則通項an＝________. 解析：數(shù)列{nan}的前n項和為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)．①　其前n－1項和為a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)．② ①－②，得nan＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，即an＝3n＋3. 當n＝1時也滿足上式．故an＝3n＋3. 答案：3n＋3 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：(1)證明：法一：因為an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N*)． 所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列． 法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0. ∵＝＝＝2(n∈N*)， ∴{an＋1}是等比數(shù)列． (2)由(1)可知an＋1＝22n－1＝2n，∴an＝2n－1. 6．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (1)設bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列； (2)設cn＝，求證：{cn}是等比數(shù)列． 證明：(1)由Sn＋1＝4an＋2得Sn＝4an－1＋2，an＋1＝Sn＋1－Sn＝(4an＋2)－(4an－1＋2)＝4an－4an－1(n≥2)， 即an＋1－2an＝2(an－2an－1)， ∴bn＝2bn－1(n≥2，n∈N*)，又b1＝a2－2a1＝3， ∴{bn}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知an＋1－2an＝bn＝32n－1，于是有 an－21an－1＝32n－2， 21an－1－22an－2＝32n－2， 22an－2－23an－3＝32n－2， … 2n－2a2－2n－1a1＝32n－2. 將以上n－1個等式疊加得 an－2n－1a1＝(n－1)32n－2， ∴an＝3(n－1)2n－2＋2n－1a1＝(3n－1)2n－2(n≥2，n∈N*)， 又n＝1時也滿足此式，∴cn＝＝2n－2， ∴{cn}是等比數(shù)列，公比是2.