2018-2019學年高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應(yīng)用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解課時作業(yè)1 北師大版必修1.doc

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4.1.2 利用二分法求方程的近似解 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1. 用“二分法”可求近似解，對于精度ε說法正確的是(　　) A．ε越大，零點的精度越高 B．ε越大，零點的精度越低 C．重復計算次數(shù)就是ε D．重復計算次數(shù)與ε無關(guān) 【解析】　依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，零點的精度越低． 【答案】　B 2. 在用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是(　　) A．[1,4]　　　　　　　 B．[－2,1] C．[－2,2.5] D．[－0.5,1] 【解析】　因第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，所以第二次的區(qū)間可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的區(qū)間可能為[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有選項D在其中，故選D. 【答案】　D 3. 設(shè)f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)內(nèi)近似解的過程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，則方程的根落在區(qū)間(　　) A．(2,2.25) B．(2.25,2.5) C．(2.5,2.75) D．(2.75,3) 【解析】　由二分法的步驟知方程的根落在區(qū)間(2.5,2.75)內(nèi)． 【答案】　C 4. 為了求函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7的一個零點，某同學利用計算器得到自變量x和函數(shù)f(x)的部分對應(yīng)值，如下表所示： x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5 f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15 則方程2x＋3x＝7的近似解(精確到0.1)可取為(　　) A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3 【解析】　由f(1.375)f(1.4375)＜0， 可知方程2x＋3x＝7的近似解可取1.4.故選C. 【答案】　C 5. 已知f(x)＝－ln x在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0，若用二分法求x0的近似值(精度為0.2)，則需要將區(qū)間等分的次數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】　由用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟可知． 分一次，f＞0，區(qū)間長度＝0.5＞0.2， 分二次，f＞0，區(qū)間長度＝0.25＞0.2， 分三次，f＜0，區(qū)間長度＝＜0.2， 所以分三次可以使x0的近似值達到精度為0.2.故選A. 【答案】　A 二、填空題 6. 在用二分法求方程ex＋x－2＝0的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為________． 【解析】　令f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f＝－>0. ∴下一個區(qū)間為. 【答案】　 7. 若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值(或近似值)用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確到0.1)為________． 【解析】　由于f(1.438)f(1.406 5)＜0，結(jié)合二分法的定義得零點應(yīng)該存在于區(qū)間(1.406 5，1.438)中，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根為1.4. 【答案】　1.4 8. 用二分法求方程x3－8＝0在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解經(jīng)過________次“二分”后精度能達到0.01? 【解析】　設(shè)n次“二分”后精度達到0.01，∵區(qū)間(2,3)的長度為1， ∴＜0.01，即2n＞100. 注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要經(jīng)過7次二分后精度達到0.01. 【答案】　7 三、解答題 9. 用二分法判斷函數(shù)f(x)＝2x3－3x＋1零點的個數(shù)． 【解】　用計算器或計算機作出x，f(x)的對應(yīng)值表(如下表)和圖像(如下圖)： x －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 f(x) －1.25 2 2.25 1 －0.25 0 3.25 由上表和上圖可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0， 即f(－1.5)f(－1)<0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(－1.5，－1)內(nèi)有零點． 同理，它在區(qū)間(0,0.5)內(nèi)也有零點．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零點，由于函數(shù)f(x)在定義域和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，所以它共有3個零點． 10. 證明方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解．(精度為0.1) 【解】　證明如下： 設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6， ∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0， 又∵f(x)是增函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一的零點， 則方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解． 設(shè)該解為x0，則x0∈[1,2]， 取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33＞0， f(1)f(1.5)＜0， ∴x0∈(1,1.5)， 取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128＞0， f(1)f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)， 取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444＜0， f(1.125)f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.125,1.25)， 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16＜0， f(1.187 5)f(1.25)＜0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1， ∴1.187 5可作為這個方程的實數(shù)解． [能力提升] 1. 函數(shù)y＝x與函數(shù)y＝lg x的圖像的交點的橫坐標(精度為0.1)約是(　　) A．1.5　　　B．1.6 C．1.7　　　D．1.8 【解析】　設(shè)f(x)＝lg x－x，經(jīng)計算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－x＝0在[1,2]內(nèi)有解．應(yīng)用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間，可知選項D符合要求． 【答案】　D 2. 下列函數(shù)中，不適合用二分法求零點的是(　　) A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－9 C．f(x)＝x4－2x3＋x2 D．f(x)＝2x－3 【解析】　C中令f(x)＝x4－2x3＋x2＝x2(x－1)2＝0. 得x＝0或x＝1，又f(x)≥0恒成立，由二分法的定義知不適合用二分法． 【答案】　C 3. 用二分法求方程x2＝2的正實根的近似解(精度為0.001)時，如果選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達到精確度要求至少需要計算________次． 【解析】　設(shè)至少需要計算n次，則n滿足＜0.001，即2n＞100，由于27＝128，故要達到精確度要求至少需要計算7次． 【答案】　7 4. 在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量稍輕)．現(xiàn)在只有一臺天平，請問：用二分法的思想最多稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣？ 【解】　第一次各13枚稱重，選出較輕一端的13枚，繼續(xù)稱；第二次兩端各6枚，若平衡，則剩下的一枚為假幣，否則選出較輕的6枚繼續(xù)稱； 第三次兩端各3枚，選出較輕的3枚繼續(xù)稱； 第四次兩端各1枚，若不平衡，可找出假幣；若平衡，則剩余的是假幣． ∴最多稱四次．