2019年高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專題09 向量的基本應(yīng)用檢測.doc

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專題09 向量的基本應(yīng)用 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1.（2018上海高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______． 【答案】 據(jù)題意可設(shè)，，從而得出，即，或，并可求得，將帶入上式即可求出的最小值，同理將帶入，也可求出的最小值． 考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)求最值的公式． 2．(2015課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________. 【答案】 【解析】 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行， 則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb， 則得解得λ＝μ＝. 3.(2016濱州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________. 【答案】 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ等于( ) A. B. C．1 D．2 【答案】 B 【解析】 ∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)， 且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝，故選B. 5．(2017淮南質(zhì)檢)已知平行四邊形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)為( ) A．(－，5) B．(，5) C．(，－5) D．(－，－5) 【答案】 D 【解析】 ∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)， ∴＝＝(，5)， ∴＝(－，－5)． 6．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60，則|a＋b|等于( ) A．2 B．2 C．4 D．12 【答案】 B 【解析】 |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60 ＝4＋4＋222＝12，|a＋b|＝2. 7．(2016山西四校二聯(lián))已知平面向量a，b滿足a(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與b夾角的正弦值為( ) A．－ B．－ C. D. 【答案】 D 8. 如圖，在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)，則等于( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 若|＋|＝|－|，則2＋2＋2＝2＋2－2， 即有＝0.E，F(xiàn)為BC邊的三等分點(diǎn)， 則＝(＋)(＋)＝ ＝＝2＋2＋ ＝(1＋4)＋0＝.故選B. 9．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，點(diǎn)P在AM上，且滿足＝2，則(＋)的值為________． 【答案】 －4 【解析】 由題意得，AP＝2，PM＝1， 所以(＋)＝2 ＝221cos 180＝－4. 10．(2016江西白鷺洲中學(xué)調(diào)研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則＋＝________. 【答案】 4 11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式； (2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． 【答案】(1) a＋b＝2. (2) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)． 【解析】(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)． 12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面積． 【答案】(1) θ＝π.. (2) |a＋b|＝. (3) S△ABC＝3. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝42＋2(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝. (3)因?yàn)榕c的夾角θ＝π， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝||||sin∠ABC＝43＝3. 二、能力提高題 1.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解析】 ∵O為BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋) ＝(m＋n)＝＋， ∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1， ∴m＋n＝2. 2.設(shè)G為△ABC的重心，且sin A＋sin B＋sin C＝0，則角B的大小為________． 【答案】 60 3．在△ABC中， ＝3，△ABC的面積S∈[，]，則與夾角的取值范圍是________． 【答案】 [，] 【解析】 由三角形面積公式及已知條件知 ≤S△ABC＝ABBCsin B≤， 所以≤ABBCsin B≤3，① 由＝3，知ABBCcos(π－B)＝3， 所以ABBC＝－，代入①得，≤－≤3， 所以－1≤tan B≤－，所以≤B≤， 而與的夾角為π－B，其取值范圍為[，]． 4.如圖所示，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線． (1)設(shè)＝λ，將用λ，，表示； (2)設(shè)＝x，＝y(tǒng)，證明：＋是定值． 【答案】 (1) ＝(1－λ)＋λ； (2) ＋＝3(定值)． (2)證明 一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；① 另一方面，∵G是△OAB的重心， ∴＝＝(＋)＝＋.② 由①②得 ∴＋＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．