2018-2019學年高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應用 4.2 實際問題的函數(shù)建模課時作業(yè)5 北師大版必修1.doc

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4.2 實際問題的函數(shù)建模 一、選擇題 1．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次 ，其中電動車存車費是每輛一次0.3元，自行車存車費是每輛一次0.2元．若自行車存車數(shù)為x輛次，存車總收入為y元，則y關于x的函數(shù)關系式是(　　) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) [答案]　D [解析]　因為自行車x輛，∴電動車4 000－x輛，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故選D. 2．用長度為24m的材料圍成一矩形場地，并且中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(　　) A．3m B．4m C．6m D．12m [答案]　A [解析]　如圖所示，設隔墻長為xm，則矩形長為＝12－2x(m)． ∴S矩形＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18. ∴當x＝3m時，矩形的面積最大． 3．據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5 ，如果按此速度，設2000年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2000年起，經(jīng)過x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關系式是(　　) A．y＝0.95m B．y＝(1－0.05)m C．y＝0.9550－xm D．y＝(1－0.0550－x)m [答案]　A [解析]　設北冰洋冬季冰雪覆蓋面積每年為上一年的q ，則(q )50＝0.95，∴q ＝0.95， 即x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為y＝0.95m. 4．某林場計劃第一年造林10 000畝，以后每年比前一年多造林20 ，則第四年造林(　　) A．14 400畝　　　 B．172 800畝 C．17 280畝 D．20 736畝 [答案]　C [解析]　因為年增長率為20 ，所以第四年造林為10 000(1＋20 )3＝17 280(畝)，故選C. 5．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關系如下表： x 1 2 3 … y 1 2 5 … 下面的函數(shù)關系式中，能表達這種關系的是(　　) A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1 C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1 [答案]　D [解析]　代入數(shù)值檢驗，把x＝2代入可排除A、B、C，把x＝1,2,3 代入D選項，符合題意． 6．某種動物繁殖數(shù)量y(只)與繁殖時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，設這種動物第一年有100只，則第七年它們發(fā)展到(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 [答案]　A [解析]　∵由題意知，當x＝1時，y＝100， 即100＝alog22， ∴a＝100. ∴y＝100log2(x＋1)． ∴當x＝7時，y＝100log28＝300(只)． 二、填空題 7．為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密函數(shù)為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________． [答案]　4 [解析]　依題意y＝ax－2中，當x＝3時，y＝6， 故6＝a3－2，解得a＝2， 所以加密函數(shù)為y＝2x－2， 因此當y＝14時，由14＝2x－2， 解得x＝4. 8．某汽車在同一時間內(nèi)速度v( m/h)與耗油量之間有近似的函數(shù)關系Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，則車速為________ m/h時，汽車的耗油量最少． [答案]　35 [解析]　由Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27 ＝0.0025(v2－70v)＋4.27 ＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27 ＝0.0025(v－35)2＋1.2075. ∴v＝35 m/h時，耗油量最少． 三、解答題 9．某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元．根據(jù)市場調(diào)查，銷售商一次訂購量不會超過500件． (1)設一次訂購量為x件，服裝的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達式； (2)當銷售商一次訂購450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？(服裝廠售出一件服裝的利潤＝實際出廠的單價－成本) [解析]　(1)當0，8＝<， ∴由題意知至少應過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求． 解法2：接解法1：()n≤， 則n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n≥≈7.4，又n∈N＋， ∴n≥8，即至少應過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求. 一、選擇題 1.如右圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系：y＝at，有以下敘述： ①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2； ②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2； ③浮萍從4m2蔓延到12m2只需1.5個月； ④浮萍每月增加的面積都相等； ⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所經(jīng)過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2＝t3. 其中正確的是(　　) A．①② B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ [答案]　D [解析]　設此指數(shù)函數(shù)為y＝ax(a>0且a≠1)， 由圖像可知：(1,2)，(2,4)代入可得： a＝2，∴y＝2x，故①正確． 當x＝5時，y＝25＝32>30，②正確． 當y＝4時，x＝2，當y＝12時，x＝log212>log22，從而可知浮萍從4m2蔓延到12m2用時超過1.5個月，③錯，顯然④錯誤． 把y＝2,4,8代入y＝2t分別得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正確．因此選D. 2．(2015四川高考)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝e x＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)， ，b為常數(shù))．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　) A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．21小時 [答案]　C [解析]　由題意，得 于是當x＝33時，y＝e33 ＋b＝(e11 )3eb＝()3192＝24(小時)． 二、填空題 3．里約熱內(nèi)盧為成功舉辦2016年奧運會，決定從2012年底到2015年底三年間更新市內(nèi)全部出租車，若每年更新的車輛數(shù)比前一年遞增10 ，則2013年底已更新現(xiàn)有總車輛數(shù)的百分比約為________(保留3位有效數(shù)字)． [答案]　30.2 [解析]　設現(xiàn)有車輛總數(shù)為a,2013年底更新了現(xiàn)有總車輛數(shù)的百分比為x，則ax＋ax(1＋10 )＋ax(1＋10 )2＝a. ∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2 . 4．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為y＝t－a(a為常數(shù))，如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題： (1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關系式為________________； (2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過________小時后，學生才能回到教室． [答案]　(1)y＝；(2)0.6. [解析]　由圖像可知，當0≤t<0.1時，y＝10t； 當t＜0.1時，由1＝0.1－a，得a＝0.1， ∴當t＞0.1時，y＝t－. ∴y＝， 由題意可知()t－＜0.25，得t＞0.6(小時)． 三、解答題 5．某工廠生產(chǎn)商品A，每件售價80元，每年產(chǎn)銷80萬件，工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)查，決定提出商品A的銷售金額的p 作為新產(chǎn)品開發(fā)費(即每銷售100元提出p元)，并將商品A的年產(chǎn)銷量減少了10p萬件． (1)若工廠提出的新產(chǎn)品開發(fā)費不少于96萬元，求p的取值范圍； (2)若工廠僅考慮每年提出最高的開發(fā)費，求此時p的值． [解析]　由題意知，當開發(fā)費是商品A的銷售金額的p 時，銷售量為(80－10p)萬件，此時銷售金額為80(80－10p)萬元， 新產(chǎn)品開發(fā)金額f(p)＝80(80－10p)p (萬元)． (1)由題設知 解得2≤p≤6. 即新產(chǎn)品開發(fā)費不少于96萬元時，p的取值范圍為2≤p≤6. (2)當00，得x∈(0，)． S＝x2＋xy＝x2＋x ＝－(x－)2＋，x∈(0，)． 當x＝時，Smax＝，此時，y＝＝. 答：窗戶中的矩形高為，且半徑等于矩形的高時，窗戶的透光面積最大． 7．某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件．為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關系．模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，試 問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由． [解析]　設兩個函數(shù) y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)； y2＝g(x)＝abx＋c. 依題意，有 解得 ∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7， ∴f(4)＝1.3(萬件)， 依題意，也有 解得 ∴y2＝g(x)＝－0.8(0.5)x＋1.4， g(4)＝－0.8(0.5)4＋1.4＝1.35(萬件)． 經(jīng)比較可知，g(4)＝1.35(萬件)，比f(4)＝1.3(萬件)更接近于4月份的產(chǎn)量1.37萬件． ∴選用y2＝g(x)＝－0.8(0.5)x＋1.4作為模擬函數(shù)較好．