2019屆高考數(shù)學(xué) 專題十六 利用空間向量求夾角精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理.doc

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培優(yōu)點(diǎn)十六 利用空間向量求夾角 1．利用面面垂直建系 例1：在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，． （1）若，分別為，的中點(diǎn)，求證：平面； （2）若，與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）連接，∵四邊形為菱形，∴． ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面．又平面，∴． ∵，∴．∵，∴平面． ∵分別為，的中點(diǎn)，∴，∴平面． （2）設(shè)，由（1）得平面， 由，，得，． 過點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，， 如圖所示， 又，∴為等邊三角形，∴， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面． ∵為平行四邊形，∴，∴平面． 又∵，∴平面． ∵，∴平面平面． 由（1），得平面，∴平面，∴． ∵，∴平面，∴是與平面所成角． ∵，，∴平面，平面，∵， ∴平面平面． ∴，，解得． 在梯形中，易證， 分別以，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 則，，，，，， 由，及，得， ∴，，． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得， 令，得 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得， 令，得．∴， 又∵二面角是鈍角，∴二面角的余弦值是． 2．線段上的動(dòng)點(diǎn)問題 例2：如圖，在中，，，，沿將翻折到的位置， 使平面平面． （1）求證：平面； （2）若在線段上有一點(diǎn)滿足，且二面角的大小為， 求的值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴， ∴，∴．作于點(diǎn)， ∵平面平面，平面平面，∴平面． ∵平面，∴． 又∵，，∴平面． 又∵平面，∴． 又，，∴平面． （2）由（1）知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則，，．設(shè)， 則由， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則由， ?。矫娴囊粋€(gè)法向量可取， ∴． ∵，∴． 3．翻折類問題 例3：如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為中點(diǎn)，分別將，沿，所在直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2．在三棱錐中，為中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）求二面角的大?。? 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）在正方形中，為中點(diǎn)，，， ∴在三棱錐中，，． ∵，∴平面． ∵平面，∴． （2）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接． 過點(diǎn)作的平行線． ∵平面，∴，． ∵，為的中點(diǎn)，∴．∴． 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系． ，，，． ∵，為的中點(diǎn)，∴． ∵平面，平面，∴平面平面． ∵平面平面，平面， ∴平面．∵． ∴平面的法向量．． 設(shè)直線與平面所成角為，則． ∴直線與平面所成角的正弦值為． （3）由（2）知，，． 設(shè)平面的法向量為，則有即， 令，則，．即．∴． 由題知二面角為銳角，∴它的大小為． 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 一、單選題 1．如圖，在所有棱長(zhǎng)均為的直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)的中點(diǎn)，以，，為，，軸建立坐標(biāo)系， 則，，，， 則，， 設(shè)與成的角為，則，故選C． 2．在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)在棱上， 且，若與平面所成的角為，則的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易求點(diǎn)． 平面的一個(gè)法向量是，∴，則．故選D． 3．如圖，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點(diǎn)，，則空間中兩條直線與所成的角為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示， ∵圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點(diǎn)，， ∴可得，，，， 則，， 設(shè)空間兩條直線與所成的角為，∴， ∴，即直線與所成的角為，故選B． 4．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題可知，，，， 則，， ∵是的中點(diǎn)，∴， 設(shè)平面的法向量，直線與平面所成角為， 則可取，，故選D． 5．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)與分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)與分別是和上的動(dòng)點(diǎn)．若，則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，， 則，， 由于，∴，∴， 故， ∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度取得最小值，且最小值為．故選A． 6．如圖，點(diǎn)分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，平面的一個(gè)法向量為：， 由空間向量的結(jié)論可得：．故選C． 7．如圖所示，五面體中，正的邊長(zhǎng)為1，平面，，且． 設(shè)與平面所成的角為，，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，平面與平面所成角的正切值為（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， 取的中點(diǎn)，則，則平面的一個(gè)法向量為， 由題意， 又由，∴，解得，∴的最大值為， 當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為， 則， 取，由平面的法向量為， 設(shè)平面和平面所成的角為， 則，∴，∴，故選C． 8．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心， 則與底面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 設(shè)邊長(zhǎng)為1，則，， ∴．又平面的法向量為． 設(shè)與底面所成角為，則． 故直線與底面所成角的正弦值為．故選B． 9．如圖，四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上，且，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線為、、軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，∴， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則， 取，得，平面的法向量為， ∴．∴平面與平面的夾角的余弦值為．故選B． 10．在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系： 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，可得，，，， ∴，，， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，∴，即， 取，得，∴平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)直線與平面所成角為，∴； ∴，即直線與平面所成角的余弦值是．故選C． 11．已知四邊形，，，現(xiàn)將沿折起，使二面角 的大小在內(nèi)，則直線與所成角的余弦值取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中點(diǎn)，連結(jié)，， ∵．，∴，，且，， ∴是二面角的平面角， 以為原點(diǎn)，為軸，為軸， 過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ，，， 設(shè)二面角的平面角為，則， 連、，則，， ∴，， 設(shè)、的夾角為，則， ∵，∴， 故，∴．故選A． 12．正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與AD1所成角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)坐標(biāo)為， 則，， 設(shè)、的夾角為， 則， ∴當(dāng)時(shí)，取最大值，． 當(dāng)時(shí)，取最小值，． ∵，∴與所成角的取值范圍是．故選D． 二、填空題 13．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為________． 【答案】 【解析】在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，∴，． 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作的垂線為軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， ∴，， 設(shè)異面直線與所成角為，則． ∴異面直線與所成角的余弦值為． 14．已知四棱錐的底面是菱形，，平面，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，在棱上，若，則直線與平面所成角的正弦值為__________． 【答案】 【解析】以點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2， 則， ，，∴， 平面的一個(gè)法向量為， 則， 即直線與平面所成角的正弦值為． 15．設(shè)，是直線，，是平面，，，向量在上，向量在上，，，則，所成二面角中較小的一個(gè)的余弦值為________． 【答案】 【解析】由題意，∵，， ∴， ∵，，向量在上，向量在上， ∴，所成二面角中較小的一個(gè)余弦值為，故答案為． 16．在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，，，，，則當(dāng)變化時(shí)，直線與平面所成角的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得，，，， 設(shè)平面的法向量，，， ∴，得， 又，∴， ∴， ∴，則 三、解答題 17．如圖所示：四棱錐，底面為四邊形，，，，平面平面，，，， （1）求證：平面； （2）若四邊形中，，是否在上存在一點(diǎn)，使得直線與平面 所成的角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在，． 【解析】（1）設(shè)，連接 ，為中點(diǎn) 又， ∵平面平面，平面平面 平面，而平面 在中，由余弦定理得， ，而 平面． （2）過作垂線記為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系： ，，，， ，，設(shè) ， 設(shè)平面法向量為， ∴，取， 設(shè)與平面所成角為， ， 解，． 18．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，． （1）求證：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，， ∵底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴，且， ∵，，，∴， ∴，又∵，∴， ∴，又∵，∴平面，又∵平面， ∴平面平面． （2）如圖所示， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，其中， 則，，，， ∴，，， 設(shè)為平面的法向量， 則，即，令，得； 設(shè)為平面的法向量，則，即， 令，得；∴， ∴二面角的正弦值為．