2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 理.doc
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專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 一、考綱要求: 1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性. 2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念. 4.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題. 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn): 1.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟: (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各個(gè)取值的概率P(X=xi)=pi; (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,超幾何分布的特征: (1)考察對(duì)象分兩類; (2)已知各類對(duì)象中個(gè)體的個(gè)數(shù); (3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察抽取到的某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布. 3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型. 4.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值. (2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率. (3)寫出X的分布列. (4)由均值的定義求E(X). (5)由方差的定義求D(X). 5.利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略 (1)當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧,可對(duì)問題作出判斷. (2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進(jìn)而進(jìn)行決策. 三、高考考題題例分析: 例1.(2018全國(guó)卷I) 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立. (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f (p)的最大值點(diǎn)p0. (2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用. (i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX; (ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)? 【答案】見解析 (2)(i)由(1)知p=0.1, 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù),依題意知Y~B(180,0.1), X=202+25Y,即X=40+25Y, ∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+251800.1=490. (ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元, ∵E(X)=490>400, ∴應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn). 例2.(2018北京卷)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立. (Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率; (Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率; (Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡.“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系. 【答案】見解析 (Ⅱ)設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”, 第四類獲得好評(píng)的有:2000.25=50部, 第五類獲得好評(píng)的有:8000.2=160部, 則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率: P(B)==0.35. (Ⅲ)由題意知,定義隨機(jī)變量如下: ξk=, 則ξk服從兩點(diǎn)分布,則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下: 第一類電影: ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E(ξ1)=10.4+00.6=0.4, D(ξ1)=(1﹣0.4)20.4+(0﹣0.4)20.6=0.24. 第二類電影: ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E(ξ2)=10.2+00.8=0.2, D(ξ2)=(1﹣0.2)20.2+(0﹣0.2)20.8=0.16. 第三類電影: ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E(ξ3)=10.15+00.85=0.15, D(ξ3)=(1﹣0.15)20.15+(0﹣0.85)20.85=0.1275. 第五類電影: ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E(ξ5)=10.2+00.8=0.2, D(ξ5)=(1﹣0.2)20.2+(0﹣0.2)20.8=0.16. 第六類電影: ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E(ξ6)=10.1+00.9=0.1, D(ξ5)=(1﹣0.1)20.1+(0﹣0.1)20.9=0.09. ∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系為: Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1. 例6. (2017山東卷節(jié)選)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列. 【答案】(1) ;(2)見解析 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 例7. (2017天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為,,. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)=++=, P(X=2)=++=, P(X=3)==. 所以,隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0+1+2+3=. 例8. (2016四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________. 【答案】 【解析】法一:先求出成功次數(shù)X的分布列,再求均值. 由題意可知每次試驗(yàn)不成功的概率為,成功的概率為,在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2,則P(X=0)=,P(X=1)=C=, P(X=2)==. 所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為 E(X)=0+1+2=. 法二:此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布,其中p=,所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)=np=2=. 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差練習(xí)題 一、選擇題 1.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X=0)等于( ) A.0 B. C. D. 【答案】C 2.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2-c 3-8c 則常數(shù)c的值為( ) A.或 B. C. D.1 【答案】C 【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知 得c=. 3.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于的是( ) A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 【答案】C 【解析】X服從超幾何分布,故P(X=k)=,k=4. 4.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為( ) X 0 1 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=( ) A.2 B.2或 C. D.1 【答案】C 5.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為( ) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由分布列性質(zhì)知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4, ∴E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,∴a=7. 6.已知隨機(jī)變量η滿足E(1-η)=5,D(1-η)=5,則下列說法正確的是( ) A.E(η)=-5,D(η)=5 B.E(η)=-4,D(η)=-4 C.E(η)=-5,D(η)=-5 D.E(η)=-4,D(η)=5 【答案】D 【解析】因?yàn)镋(1-η)=1-E(η)=5,所以E(η)=-4.D(1-η)=(-1)2D(η)=5,所以D(η)=5,故選D. 7.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=(i=1,2,3,4),則P(2<X≤4)等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 8.若隨機(jī)變量X的分布列為 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當(dāng)P(Xx2)=β,P(X- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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