2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題17 恒成立問(wèn)題——數(shù)形結(jié)合法.doc

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專題17 恒成立問(wèn)題——數(shù)形結(jié)合法 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)處理方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù). 1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖象特征： （1）若，均有的圖象始終在的下方 （2）若，均有的圖象始終在的上方 2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對(duì)恒成立不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可作圖的函數(shù) 3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作圖時(shí)可“先靜再動(dòng)”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化） 5、在作圖時(shí)，要注意草圖的信息點(diǎn)盡量完備 6、什么情況下會(huì)考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，往往具備以下幾個(gè)特點(diǎn)： （1）所給的不等式運(yùn)用代數(shù)手段變形比較復(fù)雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖 （2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義 （3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征 【經(jīng)典例題】 例1．【2018屆浙江省金華十校4月模擬】若對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)，使 恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________． 【答案】9 【解析】若對(duì)任意的， 恒成立，可得： 恒成立， 令，， 原問(wèn)題等價(jià)于：，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分類討論： (1)當(dāng)時(shí)，，， 原問(wèn)題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)滿足：， 故，解得：，則此時(shí)； (2)當(dāng)時(shí)，，， 原問(wèn)題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)滿足：， 原問(wèn)題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)滿足：， 故，解得：，則此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，， 原問(wèn)題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)滿足：， 故，解得：，則此時(shí)； 綜上可得：實(shí)數(shù)的最大值為. 點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論： (1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 例2.【2018屆一輪訓(xùn)練】已知log (x＋y＋4)4x＋m－3恒成立，則x的取值范圍是________________． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】不等式可化為m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4時(shí)恒成立． 令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.結(jié)合二次函數(shù)的圖象得 ? ? 即x<－1或x>3. 故答案為：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 例5.已知不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________ 【答案】 可得：，綜上可得：. 【名師點(diǎn)睛】（1）通過(guò)常系數(shù)函數(shù)圖象和恒成立不等式判斷出對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而縮小了參數(shù)討論的取值范圍. （2）學(xué)會(huì)觀察圖象時(shí)要抓住圖象特征并抓住符合條件的關(guān)鍵點(diǎn)（例如本題中的）. （3）處理好邊界值是否能夠取到的問(wèn)題. 例6.若不等式對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________ 【答案】 【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對(duì)數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖象進(jìn)一步可得只需時(shí)，，即，所以 例7. 已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________ 【答案】 m+1 m 【名師點(diǎn)睛】本題也可以用最值法求解：若，則，而是開(kāi)口向上的拋物線，最大值只能在邊界處產(chǎn)生，所以，再解出的范圍即可. 例8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】或 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖, 例9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________ 【答案】 【解析】是奇函數(shù)且在時(shí)是分段函數(shù)（以為界），且形式比較復(fù)雜，恒成立的不等式較難轉(zhuǎn)化為具體的不等式，所以不優(yōu)先考慮參變分離或是最值法.從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)看，一方面的圖象比較容易作出，另一方面可看作是的圖象向右平移一個(gè)單位所得，相當(dāng)于也有具體的圖象.所以考慮利用圖象尋找滿足的條件.先將寫(xiě)為分段函數(shù)形式：，作出正半軸圖象后再根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出負(fù)半軸圖象.恒成立，意味著的圖象向右平移一個(gè)單位后，其圖象恒在的下方.通過(guò)觀察可得在平移一個(gè)單位至少要平移個(gè)長(zhǎng)度，所以可得： 答案：. 例10【2018屆河南省高三4月考試】已知函數(shù). （1）若在處取得極值，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 上恒成立，時(shí)再分兩種情況討論可得時(shí)，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿足題意，進(jìn)而可得結(jié)果. 試題解析：（1）， ∵在處取到極值， ∴，即，∴. 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，在處取到極小值. （2），令， ①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減. 又∵，∴時(shí)，，不滿足在上恒成立. 時(shí)，，單調(diào)遞增，∴. 又∵，∴，故不滿足題意. ③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞減， ，∴，在上單調(diào)遞減. 又∵，∴時(shí)，，故不滿足題意. 綜上所述，. 【精選精練】 1．【2018屆東莞市高三畢業(yè)班第二次綜合考試】已知函數(shù)若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.若函數(shù)有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)的大致圖象可能為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上為正數(shù)，在區(qū)間上為負(fù)數(shù)，在區(qū)間上為正數(shù)； 觀察所給的函數(shù)圖象可知，只有C選項(xiàng)符合題意. 本題選擇C選項(xiàng). 3．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為；∵該函數(shù)在上是增函數(shù)；∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B. 4. 若,不等式恒成立,則的取值范圍是______ 【答案】或 【解析】思路：本題中已知的范圍求的范圍，故構(gòu)造函數(shù)時(shí)可看作關(guān)于的函數(shù)，恒成立不等式變形為 ,設(shè),即關(guān)于的一次函數(shù)，由圖象可得：無(wú)論直線方向如何，若要，只需在端點(diǎn)處函數(shù)值均大于0即可，即,解得：或 答案：或 【名師點(diǎn)睛】（1）對(duì)于不等式，每個(gè)字母的地位平等，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)哪個(gè)字母的范圍已知，則以該字母作為自變量構(gòu)造函數(shù). （2）線段的圖象特征：若兩個(gè)端點(diǎn)均在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則線段上的點(diǎn)與端點(diǎn)同側(cè). （3）對(duì)點(diǎn)評(píng)（2）的推廣：已知一個(gè)函數(shù)連續(xù)且單調(diào)，若兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸的一側(cè)，則曲線上所有點(diǎn)均與端點(diǎn)同側(cè). 5.設(shè)，若時(shí)均有，則_________ 【答案】 答案： 6.【2018屆二輪訓(xùn)練】當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時(shí)，ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 【解析】 要使平面區(qū)域在直線的下方，則只要在直線上或直線下方即可，即，得，綜上，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為. 7．【2018屆二輪訓(xùn)練】已知函數(shù)f1(x)＝|x－1|，f2(x)＝x＋1，g(x)＝＋，若a，b∈[－1,5]，且當(dāng)x1，x2∈[a，b]時(shí)， ＞0恒成立，則b－a的最大值為_(kāi)_______． 【答案】5 【解析】 且 恒成立， 在區(qū)間上單調(diào)第增， ∵函數(shù) 當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)減； 當(dāng) 單調(diào)增； 當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增． 的最大值為． 故答案為5. 8．【2018屆吉林省長(zhǎng)春市高三監(jiān)測(cè)（三）】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 9．【2018屆吉林省長(zhǎng)春市高三監(jiān)測(cè)（三）】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】當(dāng)， 當(dāng)， 故. 故答案為： 10．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是__________． 【答案】3 【解析】令，則由題意可知， ∵， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立， ∴，從而． 故實(shí)數(shù)的最大值是． 故答案為：3. 另法：的圖象即函數(shù)的圖象向右、向上均平移1單位得到，結(jié)合圖象可得解. 11．【2018屆寧夏銀川高三4月模擬】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出以下命題： ①當(dāng)時(shí)，； ②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)； ③若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是； ④對(duì)恒成立， 其中，正確命題的序號(hào)是__________． 【答案】①④ 若方程有解，則，且對(duì)恒成立，故③錯(cuò)誤，④正確. 故答案為①④. 12．函數(shù)的定義域?yàn)椋閷?shí)數(shù)）. （1）若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，求的取值范圍； （2）若在定義域上恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）利用單調(diào)性的定義，根據(jù)函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，可得不等式恒成立，從而可求的取值范圍；（2）利用分離參數(shù)思想原題意等價(jià)于恒成立， ∵，∴函數(shù)在上單調(diào)減， ∴時(shí)，函數(shù)取得最小值，即.