2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 2-3-2 平面與平面垂直的判定 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 2-3-2 平面與平面垂直的判定 教案 教學(xué)目標(biāo)： 1.理解二面角及其平面角的概念,能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，會(huì)求簡單的二面角的平面角: 3.掌握兩個(gè)平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直。 教學(xué)重點(diǎn)：二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定 教學(xué)難點(diǎn)：二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定 教學(xué)過程： 復(fù)習(xí) 兩平面的位置關(guān)系： （1）如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. （2）如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖1. 圖1 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入) 為了解決實(shí)際問題，人們需要研究兩個(gè)平面所成的角.修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究兩個(gè)平面所成的角. 思路2.(直接導(dǎo)入) 前邊舉過門和墻所在平面的關(guān)系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個(gè)平面所成角問題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①二面角的有關(guān)概念、畫法及表示方法. ②二面角的平面角的概念. ③兩個(gè)平面垂直的定義. ④用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明. ⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在哪里？ 討論結(jié)果：①二面角的有關(guān)概念. 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面. 二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學(xué)生共同動(dòng)手）. 直立式： 平臥式： (1) (2) 圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為α、β的二面角，記作二面角α-AB-β.有時(shí)為了方便也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q. 圖3 如果棱為l，則這個(gè)二面角記作αlβ或PlQ. ②二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角αlβ的棱上任取點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成∠AOB. 圖4 再取棱上另一點(diǎn)O′，在α和β內(nèi)分別作l的垂線O′A′和O′B′，則它們組成角∠A′O′B′. 因?yàn)镺A∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的兩邊分別平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′. 從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān). 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角α—l—β的平面角. ③直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的. 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5. 圖5 ④兩個(gè)平面垂直的判定定理. 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號表述為：α⊥β. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6. 圖6 證明如下： 已知AB⊥β，AB∩β=B，ABα. 求證：α⊥β. 分析：要證α⊥β,需證α和β構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角. 證明：設(shè)α∩β=CD，則由ABα,知AB、CD共面. ∵AB⊥β，CDβ,∴AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B. 在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作直線BE⊥CD, 則∠ABE是二面角αCDβ的平面角. 又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β. ⑤應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直. 應(yīng)用示例 思路1 例1 如圖7,⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn). 圖7 求證：平面PAC⊥平面PBC. 證明：設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC. ∵C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是⊙O的直徑, ∴BC⊥AC. 又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線， ∴BC⊥平面PAC. ∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 變式訓(xùn)練 如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC， 圖8 （1）求證：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角CBDA的余弦值. （1）證明：由題設(shè),知AD=CD=BD, 作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC. ∴O是△ABC的外心，即AB的中點(diǎn). ∴O∈AB，即O∈平面ABD. ∴OD平面ABD. ∴平面ABD⊥平面ABC. （2）解:取BD的中點(diǎn)E，連接CE、OE、OC, ∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC為二面角CBDA的平面角. 同（1）可證OC⊥平面ABD. ∴OC⊥OE.∴△COE為直角三角形. 設(shè)BC=a，則CE=，OE=，∴cos∠OEC=. 點(diǎn)評：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線. 例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時(shí)人升高了多少？（精確到0.1 m） 圖9 解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10 m，過點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度. 在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，并連接FG, 則FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, ∠EFG=60,由此,得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10≈4.3（m）. 答：沿直道行走到10 m時(shí)人升高約4.3 m. 變式訓(xùn)練 已知二面角αABβ等于45，CDα，D∈AB，∠CDB=45. 求CD與平面β所成的角. 解：如圖10，作CO⊥β交β于點(diǎn)O，連接DO，則∠CDO為DC與β所成的角. 圖10 過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連接CE，則CE⊥AB. ∴∠CEO為二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45. 設(shè)CD=a,則CE=,∵CO⊥OE，OC=OE， ∴CO=.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=. ∴∠CDO=30,即DC與β成30角. 點(diǎn)評：二面角是本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個(gè)半平面α內(nèi)找一點(diǎn)C，作另一個(gè)半平面β的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則∠CEO為二面角α-AB-β的平面角.這一過程要求學(xué)生熟記. 思路2 例1 如圖11，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60. 圖11 （1）求證：平面PBD⊥平面PAC； （2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離； （3）求二面角APBD的余弦值. （1）證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接PO, ∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. 又∵BD平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC. (2)解：作AE⊥PO于點(diǎn)E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE為點(diǎn)A到平面PBD的距離. 在△PAO中,PA=2,AO=2cos30=,∠PAO=90, ∵PO=,∴AE=. ∴點(diǎn)A到平面PBD的距離為. （3）解：作AF⊥PB于點(diǎn)F,連接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF. ∴∠AFE為二面角APBD的平面角. 在Rt△AEF中,AE=,AF=, ∴sin∠AFE=,cos∠AFE=. ∴二面角APBD的余弦值為. 變式訓(xùn)練 如圖12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn). （1）求證：MN∥平面PAD； （2）求證：MN⊥CD； （3）若二面角PDCA=45，求證：MN⊥平面PDC. 圖12 圖13 證明：如圖13所示, （1）取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC, ∴QNAM. ∴四邊形AMNQ是平行四邊形.∴MN∥AQ. 又∵M(jìn)N平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD. （3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD. ∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵M(jìn)N∥AQ,∴MN⊥CD. 又∵M(jìn)N⊥PD,∴MN⊥平面PDC. 例2 如圖14,已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60,AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn). 圖14 （1）求證：直線MF∥平面ABCD； （2）求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1； （3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小. （1）證明：延長C1F交CB的延長線于點(diǎn)N，連接AN. ∵F是BB1的中點(diǎn)， ∴F為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn). 又M是線段AC1的中點(diǎn)，故MF∥AN. 又∵M(jìn)F平面ABCD,AN平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD. （2）證明：連接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1,可知AA1⊥平面ABCD, 又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD. ∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC、A1A平面ACC1A1, ∴BD⊥平面ACC1A1. 在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN， ∴四邊形DANB為平行四邊形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1. 又∵NA平面AFC1, ∴平面AFC1⊥平面ACC1A1. （3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，∴BD⊥AC1. ∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又由BD⊥AC,可知NA⊥AC， ∴∠C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角. 在Rt△C1AC中，tan∠C1AC=，故∠C1AC=30. ∴平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30或150. 變式訓(xùn)練 如圖15所示，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2. 圖15 （1）求證：平面SAD⊥平面SBC； （2）設(shè)BC=x，BD與平面SBC所成的角為α，求sinα的取值范圍. （1）證明：在△SDC中，∵SC=SD=，CD=AB=2, ∴∠DSC=90,即DS⊥SC. ∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD. 又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC. ∵DS平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC. （2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB是DB在平面SBC上的射影. A C B D ∴∠DBS就是BD與平面SBC所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=. ∵BC=x,CD=2DB=,∴sinα=. 由0＜x＜+∞,得0＜sinα＜. 達(dá)標(biāo)檢測： 1、把直角三角形ABC沿斜邊上的高CD折成直二面角A-CD-B,如圖，則互相垂直的平面有幾對？ 2、如圖、已知,圖中那些平面互相垂直，為什么？ 3、在正方體ABCD-A1B1C1D1中證明：平面A1BD⊥平面ACC1A1 課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. 作業(yè) 課本習(xí)題2.3 A組1、2、3.