2018-2019高中數學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

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3.1二維形式的柯西不等式 一、教學目標 1．認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 2．通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 二、課時安排 1課時 三、教學重點 認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義． 四、教學難點 通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題． 五、教學過程 （一）導入新課 復習基本不等式。 （二）講授新課 教材整理　二維形式的柯西不等式 內容 等號成立的條件 代數形式 若a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ 當且僅當 時，等號成立 向量形式 設α，β是兩個向量，則|αβ|≤|α||β| 當且僅當 ，或，等號成立 三角形式 設x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 當且僅當時，等號成立 （三）重難點精講 題型一、二維柯西不等式的向量形式及應 例1已知p，q均為正數，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2. 【精彩點撥】　為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構造兩個向量． 【自主解答】　設m＝p，q，n＝(p，q)，則 p2＋q2＝pp＋qq＝|mn|≤|m||n| ＝＝. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， ∴≤p2＋q2≤， ∴≤，則(p＋q)4≤8(p＋q)． 又p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2. 規(guī)律總結： 使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關鍵是合理構造出兩個向量．同時，要注意向量模的計算公式|a|＝對數學式子變形的影響． [再練一題] 1．若本例的條件中，把“p3＋q3＝2”改為“p2＋q2＝2”，試判斷結論是否仍然成立？ 【解】　設m＝(p，q)，n＝(1,1)， 則p＋q＝p1＋q1＝|mn|≤|m||n|＝. 又p2＋q2＝2. ∴p＋q≤＝2. 故仍有結論p＋q≤2成立. 題型二、運用柯西不等式求最值 例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 【精彩點撥】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，聯系柯西不等式，可以通過構造(12＋12)作為一個因式而解決問題． 【自主解答】　由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1. ∴4x2＋9y2≥， 當且僅當2x1＝3y1， 即x＝，y＝時取等號． ∴4x2＋9y2的最小值為. 規(guī)律總結： 1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于配湊，保證出現常數結果． 2．常用的配湊的技巧有：①巧拆常數；②重新安排某些項的次序；③適當添項；④適當改變結構，從而達到運用柯西不等式求最值的目的． [再練一題] 2．若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及最小值點. 【解】　由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4. 所以x2＋y2≥， 當且僅當＝時，“＝”成立．為求最小值點，需解方程組∴ 因此，當x＝，y＝時，x2＋y2取得最小值，最小值為，最小值點為. 題型三、二維柯西不等式代數形式的應用 例3已知|3x＋4y|＝5，求證：x2＋y2≥1. 【精彩點撥】　探求已知條件與待證不等式之間的關系，設法構造柯西不等式進行證明． 【自主解答】　由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥. 又因為|3x＋4y|＝5， 所以＝1， 即x2＋y2≥1. 規(guī)律總結： 1．利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結構特征，必要時，需要將數學表達式適當變形． 2．變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法才能發(fā)現問題的本質，找到突破口． [再練一題] 3．設a，b∈R＋且a＋b＝2.求證：＋≥2. 【證明】　根據柯西不等式，有 [(2－a)＋(2－b)]＝[()2＋()2]＋ ≥＝(a＋b)2＝4. ∴＋≥＝2， 當且僅當＝， 即a＝b＝1時等號成立． ∴＋≥2. （四）歸納小結 二維柯西不等式— （五）隨堂檢測 1．設x，y∈R，且2x＋3y＝13，則x2＋y2的最小值為(　　) A. B．169 C．13 D.0 【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)， ∴x2＋y2≥13. 【答案】　C 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則(＋)2的最大值是(　　) A．2 B. C．6 D.12 【解析】　(＋)2 ＝(1＋1)2 ≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2] ＝2(41＋2)＝12， 當且僅當＝， 即a＝b＝時等號成立．故選D. 【答案】　D 3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且ab＝5，則向量b＝________. 【解析】　|a|＝＝5，且 |b|＝1， ∴ab＝|a||b|， 因此，b與a共線，且方向相同， ∴b＝. 【答案】　 六、板書設計 3.1二維形式的柯西不等式 教材整理　二維形式的柯西不等式 例1： 例2： 例3： 學生板演練習 七、作業(yè)布置 同步練習：3.1二維形式的柯西不等式 八、教學反思