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章末復(fù)習(xí)課
1．正確理解集合的概念必須掌握構(gòu)成集合的兩個(gè)必要條件：研究對(duì)象是具體的，其屬性是確定的．
2．在判定給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”；在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”．
3．在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì)．
4．若集合中的元素是用坐標(biāo)形式給出的，要注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之．
5．若集合中含有參數(shù)，須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要不重不漏．
6．相同函數(shù)的判定方法：(1)定義域相同；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)．
7．函數(shù)的定義域的求法：使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域．常涉及的依據(jù)為：(1)分母不為0；(2)偶次根式中被開(kāi)方數(shù)不小于0；(3)零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；(4)實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義等．
8．函數(shù)值域的求法：(1)配方法(二次或四次)；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)函數(shù)的單調(diào)性法等．
9．單調(diào)性的判斷步驟：(1)設(shè)x1，x2是所研究區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)自變量，且x1
0，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函數(shù)f(x)在(－1,0)上為減函數(shù)．
四、函數(shù)圖象及應(yīng)用
函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，通過(guò)函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等．反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于圖象正確的畫出．
函數(shù)圖象廣泛應(yīng)用于解題過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明了、易懂的優(yōu)點(diǎn)，在歷屆高考試題中，常出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)圖象和利用圖象解題的試題．
例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－1 (－3≤x≤3)，
(1)證明f(x)是偶函數(shù)；
(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；
(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；
(4)求函數(shù)的值域．
(1)證明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．
(2)解 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
2019-2020年新人教a版高中數(shù)學(xué)（必修1）《第一章集合與函數(shù)概念》學(xué)案
根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖．
(3)解 函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為
[-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在區(qū)間[-3，-1)和[0,1)上為減函數(shù)，
在[-1,0)，[1,3]上為增函數(shù)．
(4)解 當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2，最大值為f(3)=2；
當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2，最大值為f(-3)=2.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2,2]
.
一、選擇題
1．若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則( )
A．f0}，B＝{x|a≤x≤b}，滿足A∩B＝{x|0－2}．求a、b的值．
解 將集合A、A∩B，A∪B分別在數(shù)軸上表示，
如圖所示
由A∩B＝{x|0－2}知－21}；B＝{x|x＋a<0}，且B?UA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解
∵U=R，A={x|x>1}，
∴?UA={x|x≤1}．
∵x+a<0，x<-a，∴B={x|x<-a}．
又∵B?UA，∴-a≤1，∴a≥-1.
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一個(gè)真子集，求a的取值范圍．
解 集合A是關(guān)于x的方程的解集．至多有一個(gè)真子集的集合有兩種情況：一是恰有一個(gè)真子集，二是沒(méi)有真子集，即集合A為空集．
若A＝?，則集合A無(wú)真子集，這時(shí)關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0無(wú)實(shí)數(shù)解，則a≠0，且Δ＝4－4a<0，解得a>1.
若集合A恰有一個(gè)真子集，這時(shí)集合A必為單元素集．
可分為兩種情況：
(1)a＝0時(shí)，方程為2x＋1＝0，x＝－；
(2)a≠0時(shí)，則Δ＝4－4a＝0，a＝1.
綜上，當(dāng)集合A至多有一個(gè)真子集時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1或a＝0.
6．已知f(x)＝
(1)求：f(－2)，f(0)，f(1)，f(4)；
(2)畫出函數(shù)圖象；
(3)指出函數(shù)的值域．
解 ，x≠0，x∈R；
＝－2包含在區(qū)間(－∞，－1)中，
∴f(－2)＝(－2)2－2(－2)＋4＝12.
x＝0包含在區(qū)間[－1,1)中，∴f(0)＝5.
x＝1包含在區(qū)間[1，＋∞)中，∴f(1)＝3.
x＝4包含在區(qū)間[1，＋∞)中，∴f(4)＝3.
(2)如圖所示
(3)由圖象知，函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞)．
7．已知函數(shù)f(x)＝x＋，且f(1)＝2，
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)判斷f(x)在(1，＋∞)上的增減性，并證明；
(3)若f(a)>2，求a的取值范圍．
解 (1)∵f(1)＝2，∴f(1)＝1＋m＝2，∴m＝1，
∴f(x)＝x＋，
則f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
又f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
(2)設(shè)10，x1x2>0，x1x2>1，
∴1－x1x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)2，即f(a.)>f(1)，
∴a.>1或01，且x∈Q}；④?；
⑤{x|x≤0，或x≥3}；⑥{x|21)
答案 B
解析 選項(xiàng)A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，選項(xiàng)C、D中兩函數(shù)的定義域不同．
6．函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是( )
答案 B
解析 f(x)=|x-1|=，由分段函數(shù)的作圖方法可知選項(xiàng)B正確．
7．設(shè)f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)等于( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
答案 B
解析 g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1.
∴g(x)＝2x－1.
8．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
答案 B
解析 y＝3－x在(0,2)上為減函數(shù)，y＝在(0,2)上為減函數(shù)，y＝－|x|在(0,2)上亦為減函數(shù)．
9．已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(－2))的值是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
答案 C
解析 ∵x＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4.
10．設(shè)A＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍．
解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|18}．
∴(?UA)∩B＝{x|1m＋1，m>2，
當(dāng)B≠?時(shí)，得
解得－1≤m≤2.
綜上所述，m的取值范圍為m≥－1.
19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b為偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a－1,2a]，求f(x)的值域．
解 ∵f(x)是偶函數(shù)，
∴定義域[a－1,2a]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
∴
∴a＝，b＝0.
∴f(x)＝x2＋1，x∈.
∴f(x)的值域?yàn)?
20．(12分)判斷并證明f(x)＝在(－∞，0)上的增減性．
解 在(－∞，0)上單調(diào)遞增．證明如下：
設(shè)x10，x1＋x2<0,1＋x>0,1＋x>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)0，
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3.
∵f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－4x2－8x－3.
∴f(x)＝，
即f(x)＝.
(2)∵y＝f(x)開(kāi)口向下，
∴y＝f(x)有最大值，f(x)max＝f(－1)＝f(1)＝1.
函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]，
單調(diào)遞減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)．
22．(14分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2,2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函數(shù)g(x)的定義域；
(2)若f(x)是奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g(x)≤0的解集．
解 (1)由題意可知
∴. 解得
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第一章集合與函數(shù)概念
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