2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題1.2 十字相乘法精講深剖學(xué)案.doc

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第2講 十字相乘法 因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用，是繼續(xù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本技能。 因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等。 【知識(shí)梳理】 1.乘法公式：初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． （3）立方和公式 ； （4）立方差公式 ； 2．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式． 3．因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系． （1）整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式； （2）因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘． 4．因式分解的思路： （1）先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有，則先提取公因式； （2）再看能否使用公式法； （3）用分組分解法，即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的； （4）因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解； （5）因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在要求的范圍內(nèi)（比如有理數(shù)范圍內(nèi)）不能再分解為止． 5．因式分解的解題步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三檢查（徹底分解）． 【精講深剖】 1．對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式型的因式分解 這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和。 即； 注：這種方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)，通常借助畫十字交叉線的辦法來(lái)確定，故稱為十字相乘法。 【典例解析】把下列各式因式分解： (1) ； (2) ； (3) ； 【解題反思】當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。 【變式訓(xùn)練】 1.把下列各式因式分解： （1）__________________________________________________。 （2）__________________________________________________。 （3）__________________________________________________。 （4）__________________________________________________。 （5）__________________________________________________。 （6）__________________________________________________。 （7）__________________________________________________。 （8）__________________________________________________。 （9）若則，。 （10） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； 【點(diǎn)評(píng)】注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解。 2．對(duì)于一般二次三項(xiàng)式型的因式分解 因?yàn)椋? 反過(guò)來(lái)，就得到； 我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行。 【典例解析】把下列各式因式分解： (1) ； (2) 【解析】：(1) (2) 【解題反思】用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)。 【變式訓(xùn)練】 1.把下列各式分解因式： (1)； (2) ； (3) ； (4) ； （5） ； (6) 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式運(yùn)用十字相乘法分解，需要更多嘗試，達(dá)到熟練掌握。