2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第3講 函數(shù)概念與表示.doc
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2019-2020年高三上學期數(shù)學一輪復習教案：第3講 函數(shù)概念與表示 課題 函數(shù)概念與表示（共 2 課） 修改與創(chuàng)新 課標要 求 1．通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關系的重要數(shù)學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)； 3．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用； 命題走 向 函數(shù)是整個高中數(shù)學的重點，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當大的比例。 從近幾年來看，對本部分內(nèi)容的考察形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數(shù)關系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)性質，尋求問題的結果。 高考對函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大。 預測xx年高考對本節(jié)的考察是： 1．題型是1個選擇和1個填空； 2．熱點是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點。 教學準備 多媒體 教學過程 要點精講: 1．函數(shù)的概念： 設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。 2．構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域 （1）解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤； ③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。 （2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學問題，中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 ①配方法（將函數(shù)轉化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。 3．兩個函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。 4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。 5．映射的概念 一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。 函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。 注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。 6．常用的函數(shù)表示法 （1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式； （2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系； （3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系。 7．分段函數(shù) 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)； 8．復合函數(shù) 若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。 典例解析： 1．(教材習題改編)設g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則f(x)等于( ) A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：選D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7. 2．(xx江西高考)設函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝( ) A. B．3 C. D. 解析：選D f(3)＝，f(f(3))＝2＋1＝. 3．已知集合A＝，集合B＝，則下列對應關系中，不能看作從A到B的映射的是( ) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 解析：選D 按照對應關系f：x→y＝x，對A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素與之對應． 4．已知f＝x2＋5x，則f(x)＝____________. 解析：令t＝，則x＝.所以f(t)＝＋. 故f(x)＝(x≠0)． 答案：(x≠0) 5．(教材習題改編)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，則f(－1)＝________. 解析：由已知得得 即f(x)＝x2－4x＋3. 所以f(－1)＝(－1)2－4(－1)＋3＝8. 答案：8 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合B只能是非 空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射． (2)映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A、B若不是數(shù) 集，則這個映射便不是函數(shù)． 2．定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù) 如函數(shù)y＝x與y＝x＋1，其定義域與值域完全相同，但不是相 同函數(shù)；再如函數(shù)y＝sin x與y＝cos x，其定義域與值域完全相同， 但不是相同函數(shù)．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，關鍵是看定義域和 對應關系是否相同． 3．求分段函數(shù)應注意的問題 在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的 哪個子集，然后再代入相應的關系式；分段函數(shù)的值域應是其定義 域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集． 函數(shù)的基本概念 典題導入 有以下判斷： (1)f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個； (3)f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號是________． 對于(1)，由于函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定義域的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒有交點，如果x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個交點，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點；對于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對于(4)，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1. 綜上可知，正確的判斷是(2)(3)． (2)(3) 由題悟法 兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)，取決于它們的定義域和對應關系是否相同，只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全 相同時，才表示同一函數(shù)．另外，函數(shù)的自變量習慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函數(shù)． 以題試法 1．已知f：x→－sin x是集合A(A?)到集合B＝的一個映射，則集合A中的元素個數(shù)最多有( ) A．4個 B．5個 C．6個 D．7個 解析：選B 當－sin x＝0時sin x＝0，x可取0，π，2π； 當－sin x＝時，sin x＝－，x可取，，故集合A中的元素最多有5個． 求函數(shù)的解析式 典題導入 (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)． (1)由于f＝x2＋＝2－2， 所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2， 故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． (2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg， 又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)． (3)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以 解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)． 由題悟法 函數(shù)解析式的求法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))； (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(如例(3))； (3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍(如例(2))； (4)方程思想：已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)(如A級T6)． 以題試法 2．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)設y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等實根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)法一：設t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有兩個相等實根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. 分 段 函 數(shù) 典題導入 (xx廣州調(diào)研考試)設函數(shù)f(x)＝若f(x)>4，則x的取值范圍是______． 當x<1時，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2； 當x≥1時，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2， 由于x≥1，所以x>2. 綜上可得x<－2或x>2. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 若本例條件不變，試求f(f(－2))的值． 解：∵f(－2)＝22＝4， ∴f(f(－2))＝f(4)＝16. 由題悟法 求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值．若給出函數(shù)值 或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍． 以題試法 3.(xx衡水模擬)已知f(x)的圖象如圖，則f(x)的解析式為________． 解析：由圖象知每段為線段． 設f(x)＝ax＋b，把(0,0)，和，(2,0)分別代入， 解得 答案：f(x)＝ 函數(shù)的定義域和值域 1．(教材習題改編)若f(x)＝x2－2x，x∈，則f(x)的值域為( ) A． B． C． D． 答案：A 2．函數(shù)y＝的值域為( ) A．R B. C. D. 解析：選D ∵x2＋2≥2，∴0<≤.∴0
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