2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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2.2.3　獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗的模型.2.理解二項分布．(難點(diǎn))3.能利用獨(dú)立重復(fù)試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實(shí)際問題．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．n次獨(dú)立重復(fù)試驗 一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗． 思考：怎樣正確理解獨(dú)立重復(fù)試驗？ [提示]　(1)獨(dú)立重復(fù)試驗滿足的條件： 第一：每次試驗是在同樣條件下進(jìn)行的； 第二：各次試驗中的事件是相互獨(dú)立的； 第三：每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． (2)獨(dú)立重復(fù)試驗的實(shí)際原型是有放回地抽樣檢驗問題，但在實(shí)際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗，可以近似地看作此類型，因此獨(dú)立重復(fù)試驗在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛． 2．二項分布 一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率． 思考：二項分布與兩點(diǎn)分布有什么關(guān)系？ [提示]　(1)兩點(diǎn)分布的試驗次數(shù)只有一次，試驗結(jié)果只有兩種：事件A發(fā)生(X＝1)或不發(fā)生(X＝0)；二項分布是指在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列，試驗次數(shù)為n次(每次試驗的結(jié)果也只有兩種：事件A發(fā)生或不發(fā)生)，試驗結(jié)果有n＋1種：事件A恰好發(fā)生0次，1次，2次，…，n次． (2)二項分布是兩點(diǎn)分布的一般形式，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項分布，即n＝1的二項分布． [基礎(chǔ)自測] 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)獨(dú)立重復(fù)試驗每次試驗之間是相互獨(dú)立的． (　　) (2)獨(dú)立重復(fù)試驗每次試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果． (　　) (3)獨(dú)立重復(fù)試驗各次試驗發(fā)生的事件是互斥的． (　　) [解析]　(1)√　在獨(dú)立重復(fù)試驗中，試驗是“在相同的條件下”進(jìn)行的，各次試驗的結(jié)果不會受其他試驗結(jié)果的影響，彼此相互獨(dú)立． (2)√　獨(dú)立重復(fù)試驗的結(jié)果只有兩種，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． (3)　獨(dú)立重復(fù)試驗中，各次試驗中的事件相互獨(dú)立，故說試驗事件互斥是錯誤的． [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2．任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032166】 A.　　　　　　　　 B. C. D. B　[拋一枚硬幣，正面朝上的概率為，則拋三枚硬幣，恰有2枚朝上的概率為P＝C＝.] 3．已知隨機(jī)變量X服從二項分布，X～B，則P(X＝2)等于_____． 　[P(X＝2)＝C＝.] 4．姚明在比賽時罰球命中率為90%，則他在3次罰球中罰失1次的概率是________. 【導(dǎo)學(xué)號：95032167】 0.243　[設(shè)隨機(jī)變量X表示“3次罰球，中的次數(shù)”，則X～B(3,0.9)，所以他在3次罰球中罰失1次的概率為P(X＝2)＝C0.92(1－0.9)＝0.243.] [合 作 探 究攻 重 難] 獨(dú)立重復(fù)試驗概率的求法 　現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲． (1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； (2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率． [解]　依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為. 設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)． 則P(Ai)＝C. (1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率 P(A2)＝C＝. (2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故 P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C＋C＝. 所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為. [規(guī)律方法]　獨(dú)立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟 1．判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗的特征，判斷所給試驗是否為獨(dú)立重復(fù)試驗． 2．分拆：判斷所求事件是否需要分拆． 3．計算：就每個事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算． [跟蹤訓(xùn)練] 1．某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)： (1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率； (2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率． [解]　(1)記“預(yù)報一次準(zhǔn)確”為事件A，則P(A)＝0.8. 5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗，恰有2次準(zhǔn)確的概率為 C0.820.23＝0.051 2≈0.05. 因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率為0.05. (2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為C(0.2)5＋C0.80.24＝0.006 72≈0.01. 故所求概率為1－0.01＝0.99. 二項分布 　某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家意見不一致時，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為，復(fù)審能通過的概率為，各專家評審的結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率． (2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列. 【導(dǎo)學(xué)號：95032168】 [思路探究]　解答本題可根據(jù)二項分布的概率計算方法解答，同時注意互斥事件概率公式的應(yīng)用． [解]　設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A，“只有一位專家同意通過”為事件B，“通過復(fù)審”為事件C. (1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D，則D＝A∪BC， 因為P(A)＝＝， P(B)＝2＝， P(C)＝， 所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝. (2)根據(jù)題意，X＝0,1,2,3,4，且X～B， Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0,1,2,3,4)， 因為P(A0)＝C＝， P(A1)＝C＝， P(A2)＝C＝， P(A3)＝C＝， P(A4)＝C＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法] 1．本例屬于二項分布，當(dāng)X服從二項分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗次數(shù)n與成功概率p. 2．解決二項分布問題的兩個關(guān)注點(diǎn) (1)對于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗”時才能運(yùn)用，否則不能應(yīng)用該公式． (2)判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次． [跟蹤訓(xùn)練] 2．袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個球．有放回抽樣時，求取到黑球的個數(shù)X的分布列． [解]　有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)X可能的取值為0,1,2,3. 又每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗，則X～B. 所以P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P 獨(dú)立重復(fù)試驗與二項分布綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．王明在做一道單選題時，從A、B、C、D四個選項中隨機(jī)選一個答案，他做對的結(jié)果數(shù)服從二項分布嗎？兩點(diǎn)分布與二項分布有何關(guān)系？ [提示]　做一道題就是做一次試驗，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項分布．兩點(diǎn)分布就是一種特殊的二項分布，即是n＝1的二項分布． 2．王明做5道單選題，每道題都隨機(jī)選一個答案，那么他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？為什么？ [提示]　服從二項分布．因為每道題都是隨機(jī)選一個答案，結(jié)果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”服從二項分布． 3．王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機(jī)選一個答案，他做對的道數(shù)服從二項分布嗎？如何判斷一隨機(jī)變量是否服從二項分布？ [提示]　不服從二項分布．因為會做的兩道題做對的概率與隨機(jī)選取一個答案做對的概率不同，不符合二項分布的特點(diǎn)，判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項分布，否則就不服從二項分布． 　甲乙兩隊參加奧運(yùn)知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊的總得分． (1)求隨機(jī)變量ξ的分布列； (2)用A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求P(AB). 【導(dǎo)學(xué)號：95032169】 [思路探究]　(1)由于甲隊中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ服從二項分布，其中n＝3，p＝； (2)AB表示事件A、B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊總得分之和為3且甲隊總得分大于乙隊總得分． [解]　(1)由題意知，ξ的可能取值為0,1,2,3，且 p(ξ＝0)＝C＝， P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)＝C＝， P(ξ＝3)＝C＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P (2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥， 又P(C)＝C＝， P(D)＝C＝， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝. [規(guī)律方法]　對于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式，最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式求解． [跟蹤訓(xùn)練] 3．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響． (1)求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率； (2)求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率． [解]　(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1，由題意，射擊4次，相當(dāng)于做4次獨(dú)立重復(fù)試驗． 故P(A1)＝1－P()＝1－＝， 所以甲射擊4次，至少有一次未擊中目標(biāo)的概率為. (2)記“甲射擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2，“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2，則 P(A2)＝C＝； P(B2)＝C＝. 由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故 P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝＝. 所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．若X～B(10,0.8)，則P(X＝8)等于(　　) A．C0.880.22　　 B．C0.820.28 C．0.880.22 D．0.820.28 A　[X服從二項分布，所以P(X＝8)＝C0.880.22.] 2．一次測量中出現(xiàn)正誤差和負(fù)誤差的概率都是，在5次測量中恰好2次出現(xiàn)正誤差的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：95032170】 A. B. C. D. A　[P(ξ＝2)＝C＝10＝.故選A.] 3．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第ξ次首次測到正品，則P(ξ＝3)＝(　　) A．C B．C C． D． C　[ξ＝3表示第3次首次測到正品，而前兩次都沒有測到正品，故其概率是.] 4．某市公租房的房源位于A，B，C三個片區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的．該市的4位申請人中恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為________． 　[每位申請人申請房源為一次試驗，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗， 設(shè)申請A片區(qū)房源記為A，則P(A)＝， 所以恰有2人申請A片區(qū)的概率為C＝.] 5．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個交通燈，假設(shè)在各個交通燈遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)ξ為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列． [解]　由題意知ξ～B， 則P(ξ＝0)＝C＝， P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)＝C＝， P(ξ＝3)＝C＝. 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P