2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 空間幾何體的表面積課時作業(yè) 蘇教版必修2.doc

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1.3.1 空間幾何體的表面積 [學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練] 1．(課本改編題)棱長都是1的三棱錐的表面積為________． 解析：棱長都相等的三棱錐四個面均為等邊三角形，也叫正四面體．故棱長都是1的三棱錐的表面積為 4＝. 答案： 2．給出下列命題： ①用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直； ③若有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個面都是直角三角形的四面體； ⑤棱臺的側(cè)棱延長后交于一點． 其中正確命題的序號是________． 解析：①錯誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺；②正確，因為三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形；⑤正確，由棱臺的概念可知．因此，正確命題的序號是②③④⑤. 答案：②③④⑤ 3．一個高為2的圓柱，底面周長為2π.該圓柱的表面積為________． 解析：因為底面周長2πr＝2π，所以圓柱的底面半徑r＝1，則圓柱的兩個底面面積為2πr2＝2π，又圓柱的側(cè)面面積為2π12＝4π，所以圓柱的表面積為2π＋4π＝6π. 答案：6π 4．正三棱臺的兩底面邊長分別為6和8，側(cè)面積與兩底面面積之和的比為21∶25，則正三棱臺的斜高為________． 解析：設(shè)正三棱臺的斜高為h′， 則S側(cè)＝(c＋c′)h′＝(36＋38)h′， S底＝S上＋S下＝62＋82＝25.∵＝， ∴＝，∴h′＝. 答案： 5．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積之比是________． 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則有l(wèi)＝2πr，所以l＝3r， 所以＝＝＝. 答案：4∶3 6．三棱柱ABC－A′B′C′的底面是邊長為1 cm的正三角形，側(cè)面是長方形，側(cè)棱長為4 cm，一個小蟲從A點出發(fā)沿表面一圈到達(dá)A′點，則小蟲所行的最短路程為________cm. 解析：三棱柱ABC－A′B′C′側(cè)面展開是長為4 cm，寬為3 cm的矩形，所以小蟲從A點出發(fā)沿表面一圈到達(dá)A′點，小蟲所行的最短路程為矩形的對角線長，應(yīng)為5 cm. 答案：5 7.如圖所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后的幾何體的表面積是多少？(π取3.14) 解：正方體的表面積為426＝96 (cm2)， 一個圓柱的側(cè)面積為 2π11＝6.28 (cm2)， 則打孔后幾何體的表面積為 96＋6.286＝133.68 (cm2)． 8．一個正三棱臺的兩底面的邊長分別為8 cm、18 cm，側(cè)棱長是13 cm，求它的全面積． 解：上底面周長為c′＝38＝24 cm， 下底面周長c＝318＝54 cm， 斜高h(yuǎn)′＝?。?2 cm， ∴S正棱臺側(cè)＝(c＋c′)h′＝(24＋54)12＝468 cm2， S上底面＝82＝16 cm2， S下底面＝182＝81 cm2， ∴正三棱臺的全面積為 S＝468＋16＋81＝468＋97 cm2. [高考水平訓(xùn)練] 1．(課本改編題)中心角為135，面積為A的扇形圍成一個圓錐，若圓錐的全面積為B，則A∶B等于________． 解析：設(shè)扇形的母線長為l，圍成圓錐的底面半徑為r，則扇形的弧長c＝＝＝2πr，解得r＝， 扇形的全面積A＝cl＝， 圓錐的全面積B＝πr2＋＝π2＋＝. ∴A∶B＝8∶11. 答案：8∶11 2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，將該正方體沿對角面BB1D1D切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得四棱柱的全面積為________． 解析：由題意可知，組成的棱柱是直四棱柱，且滿足條件的直四棱柱只有一種， 即組成新的四棱柱以后的表面積是由原來的正方體中的四個相同的正方形的面積和兩個對角面的面積組成，四棱柱的全面積等于側(cè)面積與兩個底面面積之和，則所得的四棱柱的全面積為4a2＋aa2＝(4＋2)a2. 答案：(4＋2)a2 3.如圖，已知棱錐P－ABC的側(cè)面是全等的等腰直角三角形，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90，PA＝PB＝PC＝a，M是AB的中點．一只小蟲從M點沿側(cè)面爬到C點，求小蟲爬行的最短路程． 解：將棱錐P－ABC沿PA剪開，展成如圖所示的平面圖形． ∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝90，PA＝PB＝PC＝a， ∴AB＝BC＝a. 立體圖形中的上述數(shù)量關(guān)系除AC外在平面圖形中保持不變． 在展開圖中，MB＝a，BC＝a，∠MBC＝90，∴MC2＝MB2＋BC2＝a2＋2a2＝a2，∴MC＝a. 即小蟲爬行的最短路程為a. 4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，求三棱柱的側(cè)面積． 解：如圖所示，設(shè)D為BC的中點，則A1D⊥平面ABC， ∵BC?平面ABC， ∴A1D⊥BC， ∵△ABC為等邊三角形， ∴AD⊥BC， 又AD∩A1D＝D，∴BC⊥平面A1AD， ∴BC⊥A1A. 又∵A1A∥B1B， ∴BC⊥B1B. 又∵三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都等于2， ∴四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4. 作DE⊥AB于E，連結(jié)A1E，則AB⊥A1E， 又∵AD＝＝，DE＝＝， ∴AE＝＝，∴A1E＝＝， ∴S四邊形ABB1A1＝S四邊形AA1C1C＝， ∴S三棱柱側(cè)＝2＋4.