2019-2020年高三數(shù)學 知識點精析精練13 不等式的解法.doc
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2019-2020年高三數(shù)學 知識點精析精練13 不等式的解法 【復習要點】 解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題： (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法. (2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法. (3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數(shù)和對數(shù)不等式的幾種基本類型的解法. (4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法. (5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式. (6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論. 【例題】 【例1】 解不等式： 解：原不等式可化為：＞0， 即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. 當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解. 若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞). 當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，) 綜上所述： 當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)； 當0＜a＜1時，解集為(2，)； 當a=0時，解集為； 當a＜0時，解集為(，2). 【例2】 設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值 范圍. 解：M［1，4］有n種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍. 設f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2) (1)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］ (2)當Δ=0時，a=－1或2.當a=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］. (3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4 即，解得：2＜a＜， ∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，). 【例3】 解關于x的不等式：． 解：原不等式等價于 ①，即. 由于，所以，所以，上述不等式等價于 ② 解答這個含參數(shù)的不等式組，必然需要分類討論，此時，分類的標準的確定就成了解答的關鍵．如何確定這一標準？ （1）當時，不等式組②等價于 此時，由于，所以 ． 從而 ． （2）當時，不等式組②等價于 所以 ． （3）當時，不等式組②等價于 此時，由于，所以，． 綜上可知： 當時，原不等式的解集為； 當時，原不等式的解集為； 當時，原不等式的解集為． 【例4】 解關于的不等式： 解：原不等式等價于 ，∴當時，原不等式的解集為 當時，原不等式的解集為 【例5】 設函數(shù)， （1）當時，解不等式； （2）求的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調函數(shù)． 講解：（1）時，可化為：，等價于： ① 或 ② 解①得 ，解②得 ． 所以，原不等式的解集為 ． （2）任取，且，則 要使函數(shù)在上為單調函數(shù)，需且只需： 恒成立，（或恒成立）． 因此，只要求出在條件“，且”之下的最大、最小值即可．為了探求這個代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：，容易知道，此時；若考慮，則不難看出，此時，至此我們可以看出：要使得函數(shù)為單調函數(shù)，只需． 事實上，當時，由于恒成立，所以，．所以，在條件“，且”之下，必有：． 所以，在區(qū)間上單調遞減． 當時，由（1）可以看出：特例的情況下，存在．由此可以猜想：函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)．為了說明這一點，只需找到，使得即可．簡便起見，不妨取，此時，可求得，也即：，所以，在區(qū)間上不是單調函數(shù)． 另解：，對，易知： 當時，；當時，； 所以當時，， 從而只須，必有，函數(shù)在上單調遞減。 【例6】 已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］， m+n≠0時＞0. (1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式：f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數(shù)t的取值范圍. 解：(1)證明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］， 則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=(x1－x2) ∵－1≤x1＜x2≤1， ∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又 x1－x2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數(shù). (2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)， ∴ 解得：{x|－≤x＜－1，x∈R} (3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數(shù)，且f(1)=1， 故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1， 所以要f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立， 即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0， 記g(a)=t2－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0， 只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0， g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2. ∴t的取值范圍是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}. 【例7】 給出一個不等式（x∈R）。 經驗證：當c=1, 2, 3時，對于x取一切實數(shù)，不等式都成立。 試問：當c取任何正數(shù)時，不等式對任何實數(shù)x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數(shù)x都能成立。 解：令f(x)=，設u=(u≥) 則f(x)= (u≥) ∴f(x) 要使不等式成立，即f(x)－≥0 ∵u≥>0 ∴只須u－1≥0 ∴u2c≥1 u2≥ ∴x2+c≥ ∴x2≥－c 故當c=時， 原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，即原不等式對一切實數(shù)x不都成立 要使原不等式對一切實數(shù)x都成立，即使x2≥－c對一切實數(shù)都成立。 ∵x2≥0 故－c≤0 ∴c≥1(c>0) ∴c≥1時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立。 【不等式的解法練習1】 1．不等式的解集是 （ D ） （A）{} （B）{} （C）{} （D）{} 2．當時，不等式恒成立，則 的取值范圍是（ B ） （A） （B）（1，2） （C） （D）（0，1） 3．不等式成立的一個充分但不必要條件是 （ B ） （A） （B） （C） （D） 4．三個數(shù)的大小關系是 （ B ） （A） （B） （C） （D） 5．若全集是( B ) A． B． C． D． 6．下列命題中，正確的是( C ) A．若 B．若 C．若 D．若 7．若是任意實數(shù)，且，則( D ) A． B． C． D． 8．設，則下列四數(shù)中最大的是( A ) A． B． C． D． 9．不等式恒成立，則的取值范圍為( D ) A． B．C． D． 10．不等式的解集是( B ) A． B． C． D． 11．當 成立的充要條件是( C ) A． B． C． D． 12．已知，那么的最小值是( B ) A．6 B． C． D． 13．不等式組的解集是( D ) A． B． C． D． 14．不等式的解集是( C ) A． B． C． D． 15．的大小順序是 16．若，則的取值范圍是 。 17．不等式的解集是 18．關于的不等式的解集是空集，那么的取值區(qū)間是 [0，4] 19. 解不等式： 解：∵ a+a=(a2+)ax，變形原不等式，得 a (1) 當0 < a < 1時，a，則a2 < ax < a-2，∵-2 < x < 2 (2) 當a>1時，a，則a-2 < ax < a2，∴-2
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