《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式活頁(yè)作業(yè)11 北師大版選修4-5.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式活頁(yè)作業(yè)11 北師大版選修4-5.doc(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
活頁(yè)作業(yè)(十一) 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式
一、選擇題
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“+++…+=
(n∈N+)”,從n=k到n=k+1時(shí),等式左邊需增添的項(xiàng)是( )
A. B.
C. D.
解析:當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),等式的左邊=+
++…+;當(dāng)n=k+1時(shí),等式的左邊=+++…++.所以從n=k到n=k+1時(shí),等式的左邊需增添的項(xiàng)為.
答案:D
2.對(duì)于正整數(shù)n,下列說(shuō)法不正確的是( )
A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n
C.0.9n<1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n
解析:由貝努利不等式(1+x)n≥1+nx(x≥-1,
n∈N+),可知當(dāng)x=2時(shí),(1+2)n≥1+2n,A項(xiàng)正確;當(dāng)x=-0.1時(shí),(1-0.1)n≥1-0.1n,B項(xiàng)正確,C項(xiàng)不正確;當(dāng)x=-0.9時(shí),(1-0.9)n≥
1-0.9n,D項(xiàng)正確.
答案:C
3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+).試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為( )
A. B.
C. D.
解析:因?yàn)閍1=1,所以S1=1.又S2=4a2=a1+a2,
所以3a2=1.所以a2=,S2=.又S3=9a3=S2+a3,所以8a3=.所以a3=.所以S3==.由此可猜想Sn=(n∈N+).
答案:A
4.對(duì)于不等式
1+nx(x>-1且x≠0,n>1,n∈N)等價(jià)的不等式是________.(填序號(hào))
①(1-x)n>1-nx(x<1且 x≠0,n>1,n∈N)
②(1+x)n>1-nx(x>-1且 x≠0,n>1,n∈N)
③(1-x)n>1+nx(x<1且 x≠0,n>1,n∈N)
④(1+x)n>1+nx(x>1,n>1,n∈N)
解析:在貝努利不等式中,令x=-t,因?yàn)閤>-1且x≠0,所以t<1且t≠0.所以原不等式變?yōu)?1-t)n>1-nt(t<1且t≠0,n>1,n∈N).
答案:①
6.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí),總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列結(jié)論正確的是________.
①若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立;
②若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≥k2成立;
③若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)12;
當(dāng)n=2時(shí),22=22;
當(dāng)n=3時(shí),23<32;
當(dāng)n=4時(shí),24=42;
當(dāng)n=5時(shí),25>52.
猜想:當(dāng)n≥5時(shí),2n>n2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=5時(shí),25>52成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥5)時(shí),2k>k2,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
2k+1=22k=2k+2k>k2+(1+1)k>k2+C+C+C=k2+2k+1=(k+1)2.
∴當(dāng)n=k+1時(shí),2n>n2也成立.
由(1)(2),可知對(duì)n≥5的一切自然數(shù),2n>n2都成立.
綜上,當(dāng)n=1或n≥5時(shí),2n>n2;
當(dāng)n=2,4時(shí),2n=n2;當(dāng)n=3時(shí),2n,f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,….
(1)由上述不等式你能得到怎樣的結(jié)論?并給出證明.
(2)是否存在一個(gè)正數(shù)T,使得對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有不等式f(n)(n∈N+).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),f(21-1)=f(1)=1>,所以不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)不等式成立,即
f(2k-1)>,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
f(2k+1-1)=
f(2k-1)+++…++>
f(2k-1)+ +…+]
2k個(gè)
=f(2k-1)+>+=.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.
由①②,可知對(duì)任何n∈N+,原不等式均成立.
(2)對(duì)任意給定的正數(shù)T,設(shè)它的整數(shù)部分為T′,記
m=T′+1,則m>T.由(1),知f(22m-1)>m.
∴f(22m-1)>T.
這說(shuō)明,對(duì)任意給定的正數(shù)T,總能找到正整數(shù)n=22m-1,
使得f(n)>T.
∴不存在正數(shù)T,使得對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有不等式f(n)(n≥k,n∈N+)”時(shí),起始值k最小為( )
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:對(duì)不等式的左邊求和,得Sn==2.
由Sn>,得1-n>,即n<.則n<7.所以n>7.故起始值k最小為8.
答案:B
二、填空題
3.設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,n∈N+,則M,N的大小關(guān)系為_(kāi)_______.提示:利用貝努利不等式,令x=
解析:令x=,由貝努利不等式(1+x)n≥1+nx
(x≥-1,n∈N+),得n≥1+n,即
n≥1+n,即(a+b)n≥an+nan-1b.
故M≥N.
答案:M≥N
4.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),則它的通項(xiàng)公式是________.
解析:令n=1,則2a+a1a2-a=0.∵a1=1,
∴2a+a2-1=0.∵a2>0,∴a2=.同理可求得
a3=.于是猜想an=(n∈N+).
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),ak=成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),由(k+1)a-ka+ak+1ak=0,可得(k+1)a+ak+1-=0,即k(k+1)a+ak+1-1=0.∴ak+1=-(舍去)或ak+1=.故當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=成立.綜合(1)(2),知對(duì)任意的n∈N+,總有an=成立.
答案:an=(n∈N+)
三、解答題
5.已知函數(shù)f(x)=ax++1-2a(a>0),當(dāng)a≥時(shí),有f(x)≥ln x(x≥1).求證:1+++…+>ln(n+1)+(n∈N+).
證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=ln 2+<1,
∴當(dāng)n=1時(shí)不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)不等式成立,
即1+++…+>ln(k+1)+.
那么當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…++>ln(k+1)++=ln(k+1)+.
由題意,可知當(dāng)a≥時(shí),有f(x)≥ln x(x≥1).
令a=,有f(x)=≥lnx(x≥1).
令x=,得
≥ln=ln(k+2)-ln(k+1).
∴l(xiāng)n(k+1)+≥ln(k+2)+.
∴1+++…++>ln(k+2)+,
這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.
根據(jù)(1)和(2),可知不等式對(duì)任何n∈N+都成立.
6.已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).試比較+++…+與1的大小,并說(shuō)明理由.
解:+++…+<1.
理由如下:
因?yàn)閒′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),
所以an+1≥(an+1)2-1.
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在區(qū)間[-1,+∞)
上單調(diào)遞增,
由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,
進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1.
由此猜想:an≥2n-1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想:
(1)當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,結(jié)論成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)結(jié)論成立,即ak≥2k-1,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
由函數(shù)g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增,知
ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1.
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由(1)(2),知對(duì)任意n∈N+,都有
an≥2n-1,即1+an≥2n.
所以≤.
所以+++…+≤++
+…+=1-n<1.
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