2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第63講 直線與圓的綜合應(yīng)用檢測(cè).doc
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第63講 直線與圓的綜合應(yīng)用 1.(2016福建四地六校聯(lián)考)已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)P(2,0),邊AB所在的直線的方程為x+y-2=0,點(diǎn)(-1,1)在邊AD上所在的直線上. (1)求矩形ABCD的外接圓的方程; (2)已知直線l:(1-2k)x+(1+k)y-5+4k=0(k∈R),求證:直線l與矩形ABCD的外接圓相交,并求最短弦長(zhǎng). (1)依題意得AB⊥AD,所以kAD=1. 所以AD的方程為y-1=x+1,即x-y+2=0. 由得即A(0,2). 由已知得矩形ABCD的外接圓是以P(2,0)為圓心,|AP|=2為半徑, 其方程為(x-2)2+y2=8. (2)l:(x+y-5)+k(y-2x+4)=0, 所以 即直線l過(guò)定點(diǎn)M(3,2). 因?yàn)?3-2)2+22=5<8,所以點(diǎn)M(3,2)在圓內(nèi), 所以直線l與圓相交. 而圓心P與定點(diǎn)M的距離d==, 所以最短弦長(zhǎng)=2=2. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,在y軸上截得的線段長(zhǎng)為2. (1)求圓心P的軌跡方程; (2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程. (1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑長(zhǎng)為r, 由題設(shè)知y2+2=r2,x2+3=r2, 從而y2+2=x2+3, 故P點(diǎn)的軌跡方程為y2-x2=1. (2)設(shè)P(x0,y0),由已知得=, 又點(diǎn)P在雙曲線y2-x2=1上, 從而得 由得此時(shí),圓P的半徑r=. 由得此時(shí),圓P的半徑r=. 故圓P的方程為x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3. 3.(2017新課標(biāo)卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過(guò)M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿(mǎn)足= . (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1,證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由= 得x0=x,y0=y(tǒng). 因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)證明:由題意知F(-1,0). 設(shè)Q(-3,t),P(m,n), 則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即⊥. 又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ, 所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 4.(2016江蘇卷)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4). (1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程; (3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿(mǎn)足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得+=,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0). 因?yàn)閳AN與x軸相切,與圓M外切, 所以0<y0<7,圓N的半徑為y0, 從而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因?yàn)橹本€l∥OA, 所以直線l的斜率為=2. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m, 即2x-y+m=0, 則圓心M到直線l的距離 d==. 因?yàn)锽C=OA==2, 而MC2=d2+2, 所以25=+5,解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 因?yàn)锳(2,4),T(t,0),+=, 所以① 因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是點(diǎn)P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點(diǎn), 所以5-5≤≤5+5, 解得2-2≤t≤2+2. 因此,實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2-2,2+2].- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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