2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.1 比較法教案 新人教A版選修4-5.docx

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2.1 比較法 一、教學(xué)目標(biāo) 1．理解比較法證明不等式的依據(jù)． 2．掌握利用比較法證明不等式的一般步驟． 3．通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用． 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 掌握利用比較法證明不等式的一般步驟． 四、教學(xué)難點(diǎn) 通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. 【證明】　2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. （二）講授新課 教材整理1　作差比較法 1．理論依據(jù)：①a＞b? ；②a＝b?a－b＝0；③a＜b? . 2．定義：要證明a＞b，轉(zhuǎn)化為證明 ，這種方法稱為作差比較法． 3．步驟：① ；②變形；③ ；④下結(jié)論． 教材整理2　作商比較法 1．理論依據(jù)：當(dāng)b＞0時(shí)，①a＞b? ；②a＜b?＜1；③a＝b?＝1. 2．定義：證明a＞b(b＞0)，只要轉(zhuǎn)化為證明 ，這種方法稱為作商比較法． 3．步驟：①作商；②變形；③判斷商與1大??；④下結(jié)論． （三）重難點(diǎn)精講 題型一、作商比較法證明不等式 例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求證：aabb＞(ab). 【精彩點(diǎn)撥】 →→→ 【自主解答】　∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)＞0， 作商＝aab＝. ∵a≠b，∴當(dāng)a＞b＞0時(shí)， ＞1且＞0，∴＞1， 而(ab)＞0，∴aabb＞(ab). 當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜＜1且＜0，∴＞1， 而(ab)＞0，∴aabb＞(ab). 綜上可知a＞0，b＞0且a≠b時(shí)，有aabb＞(ab). 規(guī)律總結(jié)： 1．當(dāng)不等式的兩端為指數(shù)式時(shí)，可作商證明不等式． 2．運(yùn)用a＞b?＞1證明不等式時(shí)，一定注意b＞0是前提條件．若符號(hào)不能確定，應(yīng)注意分類討論． [再練一題] 1．已知m，n∈R＋，求證：≥. 【證明】　因?yàn)閙，n∈R＋， 所以≥＝， 令ω＝＝mn＝， 則：①當(dāng)m>n>0時(shí)，>1，m－n>0，則ω>1. ②當(dāng)m＝n時(shí)，ω＝1. ③當(dāng)n>m>0時(shí)，0<<1，m－n<0，則ω>1. 故對(duì)任意的m，n∈R＋都有ω≥1. 即≥， 所以≥. 題型二、比較法的實(shí)際應(yīng)用 例2　甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？ 【精彩點(diǎn)撥】　設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程是s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，要回答題目中的問題，只要比較t1，t2的大小就可以了． 【自主解答】　設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時(shí)間分別為t1, t2，依題意有：m＋n＝s，＋＝t2. ∴t1＝，t2＝， ∴t1－t2＝－＝ ＝－. 其中s，m，n都是正數(shù)，且m≠n， ∴t1－t2＜0，即t1＜t2， 從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)． 規(guī)律總結(jié)： 1．應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵． 2．在實(shí)際應(yīng)用不等式問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系．若是選擇題或填空題，則可用特殊值加以判斷． [再練一題] 2．通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面(指橫截面)的周長(zhǎng)相等，試問：截面為圓的水管流量大還是截面為正方形的水管流量大？ 【解】　設(shè)截面的周長(zhǎng)為l，依題意知，截面是圓的水管的截面面積為π2，截面是正方形的水管的截面面積為. ∵π－＝＝. 由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0， ∴π＞. 因此，通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大． 題型三、作差比較法 例3已知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 【精彩點(diǎn)撥】　此不等式作差后是含有兩個(gè)字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根據(jù)二次三項(xiàng)式的判別式確定符號(hào)． 【自主解答】　法一　∵a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1， 對(duì)于a的二次三項(xiàng)式， Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0. ∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0， 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 規(guī)律總結(jié)： 1．作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不用考慮差值的多少． 2．因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號(hào)，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可利用“Δ”判定符號(hào)． [再練一題] 3．已知a＞b＞c，證明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. 【證明】　∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2) ＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a) ＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)． ∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0， ∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0， 即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2. （四）歸納小結(jié) 比較法— （五）隨堂檢測(cè) 1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是(　　) A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s 【解析】　s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0， ∴s≥t. 【答案】　D 2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不確定 【解析】　P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga. 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 當(dāng)a＞1時(shí)，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1， ∴l(xiāng)oga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q. 綜上總有P＞Q，故選A. 【答案】　A 3．設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且＜，則a與b的大小關(guān)系是________． 【解析】?。剑?. 又a，b，m為正數(shù)， ∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0. 即a＞b. 【答案】　a＞b 六、板書設(shè)計(jì) 2.1 比較法 教材整理1　作差比較法 教材整理2　作商比較法 例1： 例2： 例3： 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí)：2.1比較法 八、教學(xué)反思