數學分析不定積分概念與基本積分公式.ppt

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第八章不定積分 8 1不定積分的概念與基本積分公式 8 2換元積分法與分部積分法 8 3幾類特殊函數的不定積分 8 1不定積分的概念和基本積分公式 一原函數和不定積分二基本積分公式表三不定積分的線性運算法則 例 定義1 一 原函數與不定積分的概念 原函數存在定理 簡言之 連續(xù)函數一定有原函數 問題 1 原函數是否唯一 例 為任意常數 2 若不唯一它們之間有什么聯系 定理8 1 關于原函數的說明 1 若 則對于任意常數 2 若和都是的原函數 則 為任意常數 證 為任意常數 定理8 2 根據定義 如果F x 是f x 的一個原函數 則 其中C是任意常數 稱為積分常數 二 不定積分 定義2函數f x 的所有原函數稱為f x 的不定積分 不定積分的相關名稱 叫做積分號 f x 叫做被積函數 f x dx 叫做被積表達式 x 叫做積分變量 例 例 例 解 求微分與求積分的互逆關系 函數f x 的原函數的圖形稱為f x 的積分曲線 函數f x 的積分曲線也有無限多條 函數f x 的不定積分表示f x 的一簇積分曲線 而f x 正是積分曲線的斜率 三 不定積分的幾何意義 例求過點 1 3 且其切線斜率為2x的曲線方程 解 設所求的曲線方程為y f x 則y f x 2x 即f x 是2x的一個原函數 因為所求曲線通過點 1 3 故3 1 C C 2 于是所求曲線方程為y x2 2 1 3 所以y f x x2 C 實例 啟示 能否根據求導公式得出積分公式 結論 既然積分運算和微分運算是互逆的 因此可以根據求導公式得出積分公式 四 基本積分公式 基本積分表 是常數 說明 簡寫為 例求積分 解 根據積分公式 2 例 例 例 證 等式成立 此性質可推廣到有限多個函數之和的情況 五 不定積分的性質 定理3若函數 與 在區(qū)間 存在原函數 為兩個任意常數 則 也存在原函數 且 上都 例1 則 例2 例3 例4 例5 例 例 例 例 例 例 例 例 例 例求積分 解 說明 以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形 才能使用基本積分表 基本積分表 1 不定積分的性質 原函數的概念 不定積分的概念 求微分與求積分的互逆關系 小結 作業(yè) P181 1 2 3 4 5 1 16 思考題 符號函數 在內是否存在原函數 為什么 思考題解答 不存在 假設有原函數 故假設錯誤 所以在內不存在原函數 結論 每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數