2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)15 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）新人教A版選修1 -1.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十五) 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一） (建議用時(shí)：45分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線的斜率等于3，則切線有(　　) A．1條　　　B．2條　　　C．3條　　　D．不確定 B　[f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝1，故選B.] 2．若函數(shù)f(x)＝cos x，則f′＋f的值為(　　) A．0 　　　B．－1　　　C．1 　　　D．2 A　[f′(x)＝－sin x，則f′＝－sin ＝－，f＝cos ＝.故f′＋f＝0.] 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 A　[由題意，知切線l的斜率k＝4，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切點(diǎn)為(1,1)，所以l的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.] 4．正弦曲線y＝sin x上切線的斜率等于的點(diǎn)為(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) D　[y′＝cos x，由cos x＝得x＝2kπ＋或x＝2kπ－，k∈Z.故選D.] 5．過(guò)曲線y＝cos x上一點(diǎn)P且與曲線在點(diǎn)P處的切線垂直的直線方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792136】 A．2x－y－＋＝0 B.x＋2y－－1＝0 C．2x＋y－＋＝0 D.x＋2y－＋1＝0 A　[∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲線在點(diǎn)P處的切線斜率是y′|x＝＝－sin ＝－，∴過(guò)點(diǎn)P且與曲線在點(diǎn)P處的切線垂直的直線的斜率為，∴所求的直線方程為y－＝，即2x－y－＋＝0.] 二、填空題 6．給出下列結(jié)論： ①(sin x)′＝cos x； ②′＝cos ； ③若f(x)＝，則f′(3)＝－； ④(log4x)′＝. 其中正確的有__________個(gè)． 3　[因?yàn)?sin x)′＝cos x，所以①正確；sin ＝，而′＝0，所以②錯(cuò)誤；f′(x)＝′＝(x－2)′＝－2x－3，則f′(3)＝－，所以③正確；因?yàn)?log4x)′＝，所以④正確．] 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝__________. e－1　[f′(x)＝，則f′(1)＝＝－1，即ln a＝－1. 所以a＝e－1.] 8．曲線y＝ln x在點(diǎn)M(e,1)處的切線的斜率是__________，切線方程為__________． 　x－ey＝0　[y′＝，則y′|x＝e＝，即切線的斜率為，切線方程為y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.] 三、解答題 9．求拋物線y＝x2過(guò)點(diǎn)的切線方程． [解]　設(shè)此切線過(guò)拋物線上的點(diǎn)(x0，x)． 由導(dǎo)數(shù)的意義知此切線的斜率為2x0， 又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)(x0，x)， 所以＝2x0. 由此x0應(yīng)滿足x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3. 即切線過(guò)拋物線y＝x2上的點(diǎn)(2,4)或(3,9)． 所以所求切線方程分別為 y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化簡(jiǎn)得y＝4x－4，y＝6x－9. 10．已知兩條曲線y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使得在這一點(diǎn)處，兩條曲線的切線互相垂直？并說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792137】 [解]　不存在，理由如下： 由于y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x. 設(shè)兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)P(x0，y0)， 所以兩條曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率分別為 k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若兩條切線互相垂直，則cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin x0cos x0＝1，∴sin 2x0＝2，顯然不成立， 所以這兩條曲線不存在這樣的公共點(diǎn)，使得在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直． [能力提升練] 1．若冪函數(shù)f(x)＝mxα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則它在點(diǎn)A處的切線方程是(　　) A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0 C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0 C　[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝mxα為冪函數(shù)，所以m＝1.又冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的圖象在點(diǎn)A處的切線方程為y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.] 2．已知點(diǎn)P在曲線y＝2sin cos 上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　) A.　　　　　 B. C. D.∪ D　[∵y＝2sin cos ＝sin x，∴y′＝cos x，設(shè)P(x0，y0)．由題意，知切線的斜率存在，則曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α<π，∴α∈∪，故選D.] 3．已知函數(shù)f(x)＝，若f′(a)＝12，則實(shí)數(shù)a的值為__________． 或－2　[f′(x)＝，若f′(a)＝12，則或解得a＝或a＝－2.] 4．已知直線y＝kx是曲線y＝ln x的切線，則k的值為__________． 　[設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵y′＝(ln x)′＝，∴＝k，即x0＝，y0＝kx0＝1，∴1＝ln ，k＝.] 5．若曲線f(x)＝x－2在點(diǎn)(a，a－2)(a>0)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，求loga的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792138】 [解]　由題意，得f′(x)＝－2x－3， 所以曲線f(x)在點(diǎn)(a，a－2)處的切線方程為y－a－2＝－2a－3(x－a)， 令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝. 所以3a－2a＝3，解得a＝.