2018年秋高中數學 課時分層作業(yè)4 基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（二）新人教A版選修2-2.doc

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課時分層作業(yè)(四)　基本初等函數的導數公式及導數的運算法則(二) (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．下列函數不是復合函數的是(　　) A. y＝－x3－＋1　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 A　[A不是復合函數，B、C、D均是復合函數，其中B是由y＝cos u，u＝x＋復合而成；C是由y＝，u＝ln x復合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3復合而成．] 2．函數y＝xln(2x＋5)的導數為(　　) 【導學號：31062032】 A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D． B　[∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.] 3．函數y＝(ex＋e－x)的導數是(　　) A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x) C．ex－e－x D．ex＋e－x A　[y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．] 4．當函數y＝(a＞0)在x＝x0處的導數為0時，那么x0等于(　　) A．a B．a C．－a D．a2 B　[y′＝′＝＝， 由x－a2＝0得x0＝a.] 5．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 B　[設切點坐標是(x0，x0＋1)， 依題意有 由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.] 二、填空題 6．f(x)＝且f′(1)＝2，則a的值為________. 【導學號：31062033】 [解析]　∵f(x)＝(ax2－1)， ∴f′(x)＝(ax2－1) (ax2－1)′＝. 又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2. [答案]　2 7．若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． (e，e)　[設P(x0，y0)．∵y＝xln x， ∴y′＝ln x＋x＝1＋ln x. ∴k＝1＋ln x0.又k＝2， ∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e. ∴y0＝eln e＝e. ∴點P的坐標是(e，e)．] 8．點P是f(x)＝x2上任意一點，則點P到直線y＝x－1的最短距離是__________． [解析]　與直線y＝x－1平行的f(x)＝x2的切線的切點到直線y＝x－1的距離最小．設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝2x0＝1， ∴x0＝，y0＝.即P到直線y＝x－1的距離最短．∴d＝＝. [答案]　 三、解答題 9．求下列函數的導數. 【導學號：31062034】 (1)y＝ln(ex＋x2)； (2)y＝102x＋3； (3)y＝sin4x＋cos4x. [解]　(1)令u＝ex＋x2，則y＝ln u. ∴y′x＝y(tǒng)′uu′x＝(ex＋x2)′＝(ex＋2x)＝. (2)令u＝2x＋3，則y＝10u，∴y′x＝y(tǒng)′uu′x＝10uln 10(2x＋3)′＝2102x＋3ln 10. (3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 xcos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x. ∴y′＝－sin 4x. 10．曲線y＝esin x在(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程． [解]　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1. ∴曲線y＝esin x在(0,1)處的切線方程為 y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直線l與x－y＋1＝0平行，故可設為x－y＋m＝0. 由＝得m＝－1或3. ∴直線l的方程為：x－y－1＝0或x－y＋3＝0. [能力提升練] 1．曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　) A． B． C． D．1 A　[依題意得y′＝e－2x(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝ －2e－20＝－2. 曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐標系中作出直線y＝－2x＋2、y＝0與y＝x的圖象，因為直線y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標是，直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標是(1,0)，結合圖象可得，這三條直線所圍成的三角形的面積等于1＝.] 2．已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. D　[因為y＝， 所以y′＝＝＝. 因為ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因為α∈[0，π)， 所以α∈.] 3．函數y＝ln 在x＝0處的導數為________. 【導學號：31062035】 [解析]　y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)， 則y′＝1－.當x＝0時，y′＝1－＝. [答案]　 4．已知f(x)為偶函數，當x＜0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________． [解析]　(1)設x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)為偶函數，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切線方程為y＝－2x－1. [答案]　y＝－2x－1 5．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； (2)在曲線y＝上求一點，使過該點的切線平行于x軸，并求切線方程． [解]　(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx)． ∴f′＝πe ＝πe. (2)設切點的坐標為P(x0，y0)，由題意可知y′|x＝x0＝0. 又y′＝， ∴y′|x＝x0＝＝0. 解得x0＝0，此時y0＝1. 即該點的坐標為(0,1)，切線方程為y－1＝0.