2020版高考數學一輪復習 第12章 選修4系列 第2講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第12章 選修4系列 第2講 A組　基礎關 1．(2019四川達州模擬)在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為(t為參數，t∈R)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝asinθ(a≠0)． (1)求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程； (2)設直線l截圓C的弦長為半徑長的倍，求a的值． 解　(1)圓C的直角坐標方程為x2＋2＝. 直線l的普通方程為4x＋3y－8＝0. (2)圓C：x2＋2＝a2，直線l：4x＋3y－8＝0， ∵直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍， ∴圓心C到直線l的距離d＝＝， 解得a＝32或a＝. 2．(2018蕪湖模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數方程為(t為參數，a∈R)，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0. (1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點(P在A，B之間)，且|PA|＝2|PB|，求實數a的值． 解　(1)將C1的參數方程消參得普通方程為x＋y－a－1＝0， C2的極坐標方程為ρcos2θ＋2cosθ－ρ＝0兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ＋2ρcosθ－ρ2＝0即y2＝2x. (2)將曲線C1的參數方程代入曲線C2：y2＝2x得t2＋2t＋1－2a＝0， 設A，B對應的參數為t1，t2，由題意得|t1|＝2|t2|， 且P在A，B之間，則t1＝－2t2，由 解得a＝. 3．(2018石家莊一模)在平面直角坐標系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝2. (1)求曲線C2的參數方程； (2)過坐標原點O且關于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程． 解　(1)由ρ＝2，得ρ2＝4， 所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2＝4. 故由題意可得曲線C2的直角坐標方程為＋y2＝1. 所以曲線C2的參數方程為(θ為參數)． (2)設四邊形ABCD的周長為l，點A(2cosθ，sinθ)， 則l＝8cosθ＋4sinθ＝4sin(θ＋φ)，所以當θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)時，l取得最大值，最大值為4，此時θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)， 所以2cosθ＝2sinφ＝，sinθ＝cosφ＝， 此時A. 所以直線l1的普通方程為x－4y＝0. 4．已知直線l的參數方程是(t是參數)，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos. (1)求圓心C的直角坐標； (2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值． 解　(1)∵ρ＝4cos＝2cosθ－2sinθ， ∴ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ， ∴圓C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－)2＋(y＋)2＝4. ∴圓心C的直角坐標為(，－)． (2)由直線l上的點向圓C引切線，則切線長為 ＝ ＝，又≥4， ∴由直線l上的點向圓C引切線，切線長的最小值為4. B組　能力關 1．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 (t是參數)，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρsin2θ＝cosθ，將曲線C上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，然后再向右平移一個單位得到曲線C2，又已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點． (1)求曲線C2的直角坐標方程； (2)設定點P(2,0)，求＋的值． 解　(1)曲線C的直角坐標方程為y2＝x，將曲線C上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，得到曲線y2＝2x，然后再向右平移一個單位得到曲線C2：y2＝2(x－1)． (2)將曲線C1的參數方程(t是參數)代入曲線C2的方程得t2＋2t－4＝0. 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－2，t1t2＝－4， ＋＝＝ ＝＝＝. 2．(2017全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0. 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝. 當a≥－4時，d的最大值為 . 由題設得＝，所以a＝8； 當a＜－4時，d的最大值為. 由題設得＝，所以a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 3．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是 (t是參數)．在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ＝4cosθ. (1)當m＝－1，α＝30時，判斷直線l與曲線C的位置關系； (2)當m＝1時，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，設P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直線l的傾斜角． 解　(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以曲線C的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4， 所以曲線C是以點M(2,0)為圓心，2為半徑的圓． 由直線l的參數方程為(t為參數)， 得直線l的直角坐標方程為x－y＋1＝0. 由圓心M到直線l的距離d＝＝<2， 可知直線l與曲線C相交． (2)由題意可得直線l是經過點P(1,0)，傾斜角為α的直線， 將代入(x－2)2＋y2＝4， 整理得t2－2tcosα－3＝0，Δ＝(－2cosα)2＋12>0. 設A，B對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2異號， 則||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cosα|＝1， 所以cosα＝. 又α∈[0，π)，所以直線l的傾斜角為或. 4．(2018全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數方程為(θ為參數)，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數方程． 解　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－. l與⊙O交于兩點當且僅當<1， 解得k<－1或k>1， 即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數方程為. 設A，B，P對應的參數分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數方程是 .