2019屆高考數學 專題五 導數的應用精準培優(yōu)專練 理.doc

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培優(yōu)點五 導數的應用 1．利用導數判斷單調性 例1：求函數的單調區(qū)間 【答案】見解析 【解析】第一步：先確定定義域，定義域為， 第二步：求導： ， 第三步：令，即， 第四步：處理恒正恒負的因式，可得， 第五步：求解，列出表格 2．函數的極值 例2：求函數的極值． 【答案】的極大值為，無極小值 【解析】 令解得：，的單調區(qū)間為： 的極大值為，無極小值． 3．利用導數判斷函數的最值 例3：已知函數在區(qū)間上取得最小值4，則___________． 【答案】 【解析】思路一：函數的定義域為，． 當時，， 當時，，為增函數，所以，，矛盾舍去； 當時，若，，為減函數，若，，為增函數， 所以為極小值，也是最小值； ①當，即時，在上單調遞增，所以， 所以（矛盾）； ②當，即時，在上單調遞減，， 所以； ③當，即時，在上的最小值為， 此時（矛盾）． 綜上． 思路二：，令導數，考慮最小值點只有可能在邊界點與極值點處取得，因此可假設，，分別為函數的最小值點，求出后再檢驗即可． 對點增分集訓 一、單選題 1．函數的單調遞減區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函數的導數為，令，得， ∴結合函數的定義域，得當時，函數為單調減函數． 因此，函數的單調遞減區(qū)間是．故選A． 2．若是函數的極值點，則（ ） A．有極大值 B．有極小值 C．有極大值0 D．有極小值0 【答案】A 【解析】因為是函數的極值點，所以，，，．當時，；當時，，因此有極大值，故選A． 3．已知函數在上單調遞減，且在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為函數在上單調遞減， 所以對于一切恒成立，得，， 又因為在區(qū)間上既有最大值，又有最小值， 所以，可知在上有零點， 也就是極值點，即有解，在上解得， 可得，，故選C． 4．函數是上的單調函數，則的范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若函數是上的單調函數，只需恒成立， 即，．故選C． 5．遇見你的那一刻，我的心電圖就如函數的圖象大致為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，其定義域為，即，， 則函數為奇函數，故排除C、D， ，則函數在定義域內單調遞減，排除B，故選A． 6．函數在內存在極值點，則（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】若函數在無極值點，則或在恒成立． ①當在恒成立時，時，，得；時，，得； ②當在恒成立時，則且，得； 綜上，無極值時或．∴在在存在極值．故選A． 7．已知，，若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】因為，函數在區(qū)間上單調遞減， 所以在區(qū)間上恒成立， 只需，即解得或，故選D． 8．函數在定義域內可導，其圖像如圖所示．記的導函數為，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圖象知和上遞減，因此的解集為． 故選A． 9．設函數，則（ ） A．在區(qū)間，內均有零點 B．在區(qū)間，內均無零點 C．在區(qū)間內有零點，在區(qū)間內無零點 D．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間內有零點 【答案】D 【解析】的定義域為，在單調遞減，單調遞增，， 當在區(qū)間上時，在其上單調，，，故在區(qū)間上無零點， 當在區(qū)間上時，在其上單調，，，故在區(qū)間上有零點． 故選D． 10．若函數既有極大值又有極小值，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】，， 函數既有極大值又有極小值， 有兩個不等的實數根， ，，則或，故選D． 11．已知函數的兩個極值點分別在與內，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函數，求導， 的兩個極值點分別在區(qū)間與內，由的兩個根分別在區(qū)間與內，， 令，轉化為在約束條件為時，求的取值范圍， 可行域如下陰影（不包括邊界）， 目標函數轉化為，由圖可知，在處取得最大值，在處取得最小值，可行域不包含邊界，的取值范圍．本題選擇A選項． 12．設函數在區(qū)間上的導函數為，在區(qū)間上的導函數為，若在區(qū)間 上，則稱函數在區(qū)間上為“凹函數”，已知在區(qū)間上為“凹函數”，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴， ∵函數在區(qū)間上為“凹函數”∴， ∴在上恒成立，即在上恒成立． ∵在上為單調增函數，∴，∴， 故選D． 二、填空題 13．函數在區(qū)間上的最大值是___________． 【答案】8 【解析】，已知， 當或時，，在該區(qū)間是增函數， 當時，，在該區(qū)間是減函數， 故函數在處取極大值，，又，故的最大值是8． 14．若函數在，上都是單調增函數，則實數的取值集合是______． 【答案】 【解析】，， 函數在，上都是單調增函數， 則，即，解得，，即，解得， 則實數的取值集合是，故答案為． 15．函數在內不存在極值點，則的取值范圍是___________． 【答案】或 【解析】函數在內不存在極值點在內單調函數或在內恒成立， 由在內恒成立，，即， 同理可得，故答案為或． 16．已知函數， ① 當時，有最大值； ② 對于任意的，函數是上的增函數； ③ 對于任意的，函數一定存在最小值； ④ 對于任意的，都有． 其中正確結論的序號是_________．（寫出所有正確結論的序號） 【答案】②③ 【解析】由函數的解析式可得：，當時，，，單調遞增，且， 據此可知當時，，單調遞增，函數沒有最大值，說法①錯誤； 當時，函數，均為單調遞增函數，則函數是上的增函數，說法②正確； 當時，單調遞增，且， 且當，據此可知存在， 在區(qū)間上，，單調遞減； 在區(qū)間上，，單調遞增； 函數在處取得最小值，說法③正確； 當時，， 由于，故，，說法④錯誤； 綜上可得：正確結論的序號是②③． 三、解答題 17．已知函數 （1）討論函數在上的單調性； （2）證明：恒成立． 【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增， 在上單調遞減；（2）見解析． 【解析】（1）， 當時，恒成立，所以，在上單調遞增； 當時，令，得到，所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減． 綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減． （2）證法一：由（1）可知，當時，， 特別地，取，有，即，所以（當且僅當時等號成立）， 因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可， 設 ，則， 當時，，單調遞減， 當時，，單調遞增． 所以，當時，，即在上恒成立． 因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立． 證法二：記函數，則， 可知在上單調遞增，又由，知，在上有唯一實根， 且，則，即（*）， 當時，，單調遞減；當時，，單調遞增， 所以，結合（*）式，知， 所以， 則，即，所以有恒成立． 18．已知函數，其導函數為． （1）當時，若函數在上有且只有一個零點，求實數的取值范圍； （2）設，點是曲線上的一個定點，是否存在實數使得成立？并證明你的結論． 【答案】（1）或；（2）不存在，見解析． 【解析】（1）當時，，，，， 由題意得，即， 令，則，解得， 當時，，單調遞減；當時，，單調遞增， ， 當時，，當時，， 則或時，在上有且只有一個零點． （2）由，得， 假設存在，則有， 即， ， ， ， 即，，， 令，則， 兩邊同時除以，得，即， 令，， 令在上單調遞增，且， 對于恒成立，即對于恒成立， 在上單調遞增，， 對于恒成立，不成立， 同理，時，也不成立， 不存在實數使得成立．