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第3講 圓周運動
一、勻速圓周運動、角速度、線速度、向心加速度
1．勻速圓周運動
(1)定義：做圓周運動的物體，若在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長相等，就是勻速圓周運動．
(2)特點：加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變加速運動．
(3)條件：合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
2．描述勻速圓周運動的物理量
定義、意義
公式、單位
線速度
描述做圓周運動的物體運動快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)單位：m/s
角速度
描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)單位：rad/s
周期
物體沿圓周運動一圈的時間(T)
(1)T＝＝，單位：s
(2)f＝，單位：Hz
向心加
速度
(1)描述速度方向變化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圓心
(1)an＝＝rω2
(2)單位：m/s2
[深度思考] 如圖1所示為一輛自行車傳動裝置的結(jié)構(gòu)圖．
圖1
(1)同一齒輪上到轉(zhuǎn)軸距離不同的各點的線速度、角速度是否相同？
(2)兩個齒輪相比較，其邊緣的線速度是否相同？角速度是否相同，轉(zhuǎn)速是否相同？
答案 (1)線速度不同，角速度相同．(2)線速度相同，角速度、轉(zhuǎn)速不同．
二、勻速圓周運動的向心力
1．作用效果
向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．
4．來源
向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．
三、離心現(xiàn)象
1．定義：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運動．
2．本質(zhì)：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢．
3．受力特點(如圖2)
當(dāng)F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；
當(dāng)F＝0時，物體沿切線方向飛出；
當(dāng)F
時，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
例3 (2016全國Ⅱ16)小球P和Q用不可伸長的輕繩懸掛在天花板上，P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量，懸掛P球的繩比懸掛Q球的繩短．將兩球拉起，使兩繩均被水平拉直，如圖11所示．將兩球由靜止釋放．在各自軌跡的最低點( )
圖11
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的動能一定小于Q球的動能
C．P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
①P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量；②由靜止釋放；③在各自軌跡的最低點．
答案 C
解析 小球從水平位置擺動至最低點，由動能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LPmQ，LP時，小球一定能通過最高點P
D．當(dāng)v0<時，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)
答案 CD
解析 小球運動到最低點Q時，由于加速度向上，故處于超重狀態(tài)，選項A錯誤；小球在最低點時：FT1－mg＝m；在最高點時：FT2＋mg＝m，其中mv02－mg2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q兩點繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān)，選項B錯誤；當(dāng)v0＝時，得v＝，因為小球能經(jīng)過最高點的最小速度為，則當(dāng)v0>時小球一定能通過最高點P，選項C正確；當(dāng)v0＝時，由mv02＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越過與懸點等高的位置，故當(dāng)v0<時，小球?qū)⒃谧畹忘c位置來回擺動，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)，選項D正確．
5．如圖14所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力．忽略空氣阻力．則球B在最高點時( )
圖14
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg
答案 C
解析 球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，故C正確，D錯誤．
斜面上圓周運動的臨界問題
在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同．下面列舉三類實例：
1．靜摩擦力控制下的圓周運動
典例1 (2014安徽19)如圖15所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30，g取10m/s2.則ω的最大值是( )
圖15
A.rad/s B.rad/s
C．1.0rad/s D．0.5 rad/s
答案 C
解析 當(dāng)小物體轉(zhuǎn)動到最低點時為臨界點，由牛頓第二定律知，
μmgcos30－mgsin30＝mω2r
解得ω＝1.0rad/s，
故選項C正確．
2．輕繩控制下的圓周運動
典例2 如圖16所示，一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上，能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角．板上一根長為l＝0.60m的輕細(xì)繩，它的一端系住一質(zhì)量為m的小球P，另一端固定在板上的O點．當(dāng)平板的傾角固定為α?xí)r，先將輕繩平行于水平軸MN拉直，然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0＝3.0m/s.若小球能保持在板面內(nèi)做圓周
運動，傾角α的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(取重力加速度g＝10 m/s2)
圖16
答案 0≤α≤30
解析 小球在傾斜平板上運動時受到繩子拉力、平板彈力、重力．在垂直平板方向上合力為0，重力在沿平板方向的分量為mgsinα
小球在最高點時，由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有
FT＋mgsinα＝ ①
研究小球從釋放到最高點的過程，根據(jù)動能定理有
－mglsinα＝mv12－mv02 ②
若恰好能通過最高點，則繩子拉力
FT＝0 ③
聯(lián)立①②③解得
sinα＝，則α＝30
故α的范圍為0≤α≤30.
3．輕桿控制下的圓周運動
典例3 如圖17所示，在傾角為α＝30的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運動，取g＝10m/s2，若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是( )
圖17
A．4m/s B．2m/s C．2m/s D．2m/s
答案 A
解析 小球受輕桿控制，在A點的最小速度為零，由2mgLsinα＝mvB2可得vB＝4m/s，A正確．
題組1 勻速圓周運動的分析
1．水平放置的三個不同材料制成的圓輪A、B、C，用不打滑皮帶相連，如圖1所示(俯視圖)，三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC＝3∶2∶1，當(dāng)主動輪C勻速轉(zhuǎn)動時，在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點)，小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上，設(shè)小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，小物塊與輪A、B、C接觸面間的動摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC，A、B、C三輪轉(zhuǎn)動的角速度分別為ωA、ωB、ωC，則( )
圖1
A．μA∶μB∶μC＝2∶3∶6
B．μA∶μB∶μC＝6∶3∶2
C．ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶3
D．ωA∶ωB∶ωC＝6∶3∶2
答案 A
解析 小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝，A、B、C三圓輪邊緣的線速度大小相同，所以μ∝，所以μA∶μB∶μC＝2∶3∶6，由v＝Rω可知，ω∝，所以ωA∶ωB∶ωC＝2∶3∶6，故只有A正確．
2．如圖2為學(xué)員駕駛汽車在水平面上繞O點做勻速圓周運動的俯視示意圖．已知質(zhì)量為60kg的學(xué)員在A點位置，質(zhì)量為70kg的教練員在B點位置，A點的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m，B點的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m，學(xué)員和教練員(均可視為質(zhì)點)( )
圖2
A．運動周期之比為5∶4
B．運動線速度大小之比為1∶1
C．向心加速度大小之比為4∶5
D．受到的合力大小之比為15∶14
答案 D
解析 A、B兩點做圓周運動的角速度相等，根據(jù)T＝知，周期相等，故A錯誤．根據(jù)v＝rω知，半徑之比為5∶4，則線速度大小之比為5∶4，故B錯誤．根據(jù)a＝rω2知，半徑之比為5∶4，則向心加速度大小之比為5∶4，故C錯誤．根據(jù)F＝ma知，向心加速度大小之比為5∶4，質(zhì)量之比為6∶7，則合力大小之比為15∶14，故D正確．
3．(2014天津9(1))半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，A為圓盤邊緣上一點．在O的正上方有一個可視為質(zhì)點的小球以初速度v水平拋出時，半徑OA方向恰好與v的方向相同，如圖3所示．若小球與圓盤只碰一次，且落在A點，重力加速度為g，則小球拋出時距O的高度h＝________，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度大小ω＝________.
圖3
答案 (n＝1,2,3，…)
解析 小球做平拋運動，在豎直方向：h＝gt2 ①
在水平方向R＝vt ②
由①②兩式可得h＝ ③
小球落在A點的過程中，OA轉(zhuǎn)過的角度θ＝2nπ＝ωt (n＝1,2,3，…)④
由②④兩式得ω＝(n＝1,2,3，…)
題組2 水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題
4．(多選)摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖4所示的兩個水平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中O、O′分別為兩輪盤的軸心．已知兩個輪盤的半徑比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作時兩輪盤不打滑．今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的滑塊A、B，兩滑塊與輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA＝2RB.若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來，且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是( )
圖4
A．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，角速度之比為ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑塊A和B在與輪盤相對靜止時，向心加速度的比值為aA∶aB＝2∶9
C．轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動
D．轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動
答案 ABC
解析 假設(shè)輪盤乙的半徑為R，由題意可知兩輪盤邊緣的線速度大小相等，有ω甲(3R)＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑塊相對輪盤滑動前，A、B的角速度之比為1∶3，A正確；滑塊相對輪盤滑動前，根據(jù)a＝ω2r得A、B的向心加速度之比為aA∶aB＝2∶9，B正確；據(jù)題意可得滑塊A、B的最大靜摩擦力分別為FfA＝μmAg，F(xiàn)fB＝μmBg，最大靜摩擦力之比為FfA∶FfB＝mA∶mB，滑塊相對輪盤滑動前所受的靜摩擦力之比為FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，綜上分析可得滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力，先開始滑動，C正確，D錯誤．
5．(多選)如圖5所示，在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點的三個物體A、B、C，圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動．三個物體與圓盤間的動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．三個物體與軸O共線且OA＝OB＝BC＝r，現(xiàn)將三個物體用輕質(zhì)細(xì)線相連，保持細(xì)線伸直且恰無張力．當(dāng)圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動，角速度極其緩慢地增大，則對于這個過程，下列說法正確的是( )
圖5
A．A、B兩個物體同時達(dá)到最大靜摩擦力
B．B、C兩個物體的靜摩擦力先增大后不變，A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大
C．當(dāng)ω2>時整體會發(fā)生滑動
D．當(dāng)<ω<時，在ω增大的過程中B、C間的拉力不斷增大
答案 BCD
解析 當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時，靜摩擦力提供向心力，三個物體的角速度相等，由F0＝mω2r，由于C的半徑最大，質(zhì)量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先達(dá)到最大靜摩擦力，此時μ(2m)g＝2m2rω12，解得ω1＝，當(dāng)C的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力之后，細(xì)線BC開始提供拉力，B的摩擦力增大，達(dá)到最大靜摩擦力后，A、B之間細(xì)線開始有力的作用，隨著角速度增大，A的摩擦力將減小到零然后反向增大，當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大，且細(xì)線BC的拉力大于A、B整體的摩擦力時物體將會出現(xiàn)相對滑動，此時A與B還受到細(xì)線的拉力，對C有FT＋μ(2m)g＝2m2rω22，對A、B整體有FT＝2μmg，解得ω2＝，當(dāng)ω2>時整體會發(fā)生滑動，故A錯誤，B、C正確；當(dāng)<ω<時，C所受摩擦力沿著半徑向里，且沒有出現(xiàn)滑動，故在ω增大的過程中，由于向心力F＝FT＋Ff不斷增大，故B、C間的拉力不斷增大，故D正確．
6.如圖6所示，水平桿固定在豎直桿上，兩者互相垂直，水平桿上O、A兩點連接有兩輕繩，兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上，OA＝OB＝AB，現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動豎直桿，使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，三角形OAB始終在豎直平面內(nèi)，若轉(zhuǎn)動過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài)，則下列說法正確的是( )
圖6
A．OB繩的拉力范圍為0～mg
B．OB繩的拉力范圍為mg～mg
C．AB繩的拉力范圍為mg～mg
D．AB繩的拉力范圍為0～mg
答案 B
解析 當(dāng)轉(zhuǎn)動的角速度為零時，OB繩的拉力最小，AB繩的拉力最大，這時兩者的值相同，設(shè)為F1，則2F1cos30＝mg，F(xiàn)1＝mg，增大轉(zhuǎn)動的角速度，當(dāng)AB繩的拉力剛好等于零時，OB繩的拉力最大，設(shè)這時OB繩的拉力為F2，則F2cos30＝mg，F(xiàn)2＝mg，因此OB繩的拉力范圍為mg～mg，AB繩的拉力范圍為0～mg，B項正確．
7．如圖7所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60，重力加速度大小為g.
圖7
(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；
(2)若ω＝(1k)ω0，且0＜k?1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．
答案 (1)
(2)當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向下，大小為
mg
當(dāng)ω＝(1－k)ω0時，F(xiàn)f沿罐壁切線向上，大小為
mg
解析 (1)對小物塊受力分析可知：
FNcos60＝mg ①
FNsin60＝mR′ω02 ②
R′＝Rsin60 ③
聯(lián)立①②③解得：ω0＝
(2)由于0＜k?1，
當(dāng)ω＝(1＋k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下．
由受力分析可知：
FN′cos60＝mg＋Ffcos30 ④
FN′sin60＋Ffsin30＝mR′ω2 ⑤
聯(lián)立③④⑤解得：Ff＝mg
當(dāng)ω＝(1－k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上．
由受力分析和幾何關(guān)系知：
FN″cos60＋Ff′sin60＝mg ⑥
FN″sin60－Ff′cos60＝mR′ω2 ⑦
聯(lián)立③⑥⑦解得Ff′＝mg.
題組3 豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題
8．如圖8所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點速率為2v時，每根繩的拉力大小為( )
圖8
A.mg B.mg
C．3mg D．2mg
答案 A
解析 設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運動的半徑為r，小球運動到最高點時輕繩與圓周運動軌道平面的夾角為θ＝30，則有r＝Lcosθ＝L.根據(jù)題述小球在最高點速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，有mg＝m；小球在最高點速率為2v時，設(shè)每根繩的拉力大小為F，則有2Fcosθ＋mg＝m，聯(lián)立解得F＝mg，選項A正確．
9.(多選)如圖9所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應(yīng)當(dāng)滿足(取g＝10m/s2)( )
圖9
A．v0≥0 B．v0≥4m/s
C．v0≥2m/s D．v0≤2m/s
答案 CD
解析 當(dāng)v0較大時，小球能夠通過最高點，這時小球在最高點處需要滿足的條件是mg≤，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2＋2mgr＝mv02，得v0≥2m/s，C正確．當(dāng)v0較小時，小球不能通過最高點，這時對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr＝mv02，得v0＝2m/s，D正確．
10．如圖10所示，兩個四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上，半徑R相同，左側(cè)軌道由金屬凹槽制成，右側(cè)軌道由金屬圓管制成，均可視為光滑軌道．在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放，小球距離地面的高度分別為hA、hB，下列說法正確的是( )
圖10
A．若使小球沿軌道運動并且到達(dá)軌道最高點，兩球釋放的最小高度hAhB，A錯誤；在軌道最低點，小球受到的支持力最小時，釋放高度是最小的，即對左側(cè)軌道來說，在最低點mghA＝mv12，由牛頓第二定律有FNA－mg＝m，聯(lián)立得FNA＝6mg，對右側(cè)軌道來說，在最低點有mghB＝mv22，根據(jù)牛頓第二定律有FNB－mg＝m，聯(lián)立得FNB＝5mg，故B正確，C錯誤；小球A從最高點飛出后進(jìn)行平拋運動，下落R高度時，水平位移的最小值為xA＝vA＝＝R>R，所以小球A落在軌道右端開口外側(cè)，而適當(dāng)調(diào)整hB，B可以落在軌道右端開口處，D錯誤．
11．小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．當(dāng)球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖11所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為d，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力．
圖11
(1)求繩斷時球的速度大小v1和球落地時的速度大小v2；
(2)求繩能承受的最大拉力；
(3)改變繩長，使球重復(fù)上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？
答案 (1) (2)mg
(3) d
解析 (1)設(shè)繩斷后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律得
豎直方向d＝gt2
水平方向d＝v1t
解得v1＝
在豎直方向上有v⊥2＝2g(1－)d，則
v22－v12＝2g(1－)d
解得v2＝
(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT，這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運動的半徑為R＝d
對小球在最低點由牛頓第二定律得
FT－mg＝
解得FT＝mg
(3)設(shè)繩長為l，繩斷時球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變．由牛頓第二定律得
FT－mg＝
解得v3＝
繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d－l，水平位移為x，時間為t1，則
豎直方向d－l＝gt12
水平方向x＝v3t1
解得x＝4
當(dāng)l＝時，x有極大值，xmax＝d.
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