概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)旦大學(xué)出版社第一章課后答案.doc
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案
第一章
1.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.
2.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件:
(1) A發(fā)生,B,C都不發(fā)生;
(2) A,B,C都發(fā)生;
(3) A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生;
(4) A,B,C都不發(fā)生;
(5) A,B,C不都發(fā)生;
(6) A,B,C至多有1個(gè)不發(fā)生;
【解】(1) (2)
(3) (4) = (5)
(6) ∪∪∪ =
3.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案
4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().
【解】 P()=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-[0.7-0.3]=0.6
5.設(shè)A,B是兩事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:
(1) 在什么條件下P(AB)取到最大值?
(2) 在什么條件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 當(dāng)AB=A時(shí),,取到最大值為0.6.
(2) 當(dāng)A∪B=Ω時(shí),,取到最小值為0.3.
6.設(shè)A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.
【解】 因?yàn)镻(AB)=P(BC)=0,所以P(ABC)=0,
由加法公式可得
=++-=
7.從52張撲克牌中任意取出13張,問(wèn)有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花的概率是多少?
【解】 設(shè)表示“取出的13張牌中有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花”,
則樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 , 中所含樣本點(diǎn) ,所求概率為
8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題:
(1) 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率; (2) 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 設(shè)A1={五個(gè)人的生日都在星期日},基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè),故
P(A1)==()5 (亦可用獨(dú)立性求解,下同)
(2) 設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日},有利事件數(shù)為65,故
P(A2)==()5
(3) 設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日}
P(A3)=1-P(A1)=1-()5
9.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.
10.一批產(chǎn)品共N件,其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件(n0.試證明:不論ε>0如何小,只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn),則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.
【證】在n重獨(dú)立試驗(yàn)中,事件都不發(fā)生概率為:
由于為隨機(jī)事件發(fā)生的概率,而題目給定>0,因此其定義域?yàn)?
假設(shè)n足夠大,即,在 上,由極限定義可得
即假設(shè)n足夠大,n次獨(dú)立試驗(yàn)中都不發(fā)生的概率為時(shí),
因而在n足夠大時(shí), 至少發(fā)生一次的概率為 。 證畢。
46.袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽).在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國(guó)徽.試問(wèn)這只硬幣是正品的概率是多少?
【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}
B={這只硬幣為正品}
由題知
則由貝葉斯公式知
47.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.
【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由
.................①
.....................②
①—②,得所求概率為
若要計(jì)算在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率,則只要將兩式相加,即得
.
48.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊每次射擊命中目標(biāo)的概率為,求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。
【解】 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn),前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為,再加上第4次射擊命中目標(biāo),其概率為,根據(jù)獨(dú)立性,所求概率為
.
49. 設(shè)是隨機(jī)事件, 互不相容,,,求.
【解】因?yàn)榛ゲ幌嗳?,所?當(dāng)然,于是
.
50.設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件,求P{(+B)(A+B)(+)(A+)}的值.
【解】因?yàn)椋ˋ∪B)∩(∪)=A∪B
(∪B)∩(A∪)=AB∪
所求
故所求值為0.
51.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件,A,B和C滿足條件:
ABC=F,P(A)=P(B)=P(C)< 1/2,且P(A∪B∪C)=9/16,求P(A).
【解】由
故或,按題設(shè)P(A)<,故P(A)=.
52.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,求P(A).
【解】 ①
②
故
故 ③
由A,B的獨(dú)立性,及①、③式有
故
故 或(舍去)
即P(A)=.
53.隨機(jī)地向半圓00,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考)
解:因?yàn)?
所以 .
57.設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立,且求.
【解】 因?yàn)?相互獨(dú)立,所以 、相互獨(dú)立.
而 所以
因此 。
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概率論
數(shù)理統(tǒng)計(jì)
復(fù)旦
大學(xué)出版社
第一章
課后
答案
- 資源描述:
-
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案
第一章
1.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.
2.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,試用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件:
(1) A發(fā)生,B,C都不發(fā)生;
(2) A,B,C都發(fā)生;
(3) A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生;
(4) A,B,C都不發(fā)生;
(5) A,B,C不都發(fā)生;
(6) A,B,C至多有1個(gè)不發(fā)生;
【解】(1) (2)
(3) (4) = (5)
(6) ∪∪∪ =
3.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案
4.設(shè)A,B為隨機(jī)事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P().
【解】 P()=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]
=1-[0.7-0.3]=0.6
5.設(shè)A,B是兩事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求:
(1) 在什么條件下P(AB)取到最大值?
(2) 在什么條件下P(AB)取到最小值?
【解】(1) 當(dāng)AB=A時(shí),,取到最大值為0.6.
(2) 當(dāng)A∪B=Ω時(shí),,取到最小值為0.3.
6.設(shè)A,B,C為三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.
【解】 因?yàn)镻(AB)=P(BC)=0,所以P(ABC)=0,
由加法公式可得
=++-=
7.從52張撲克牌中任意取出13張,問(wèn)有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花的概率是多少?
【解】 設(shè)表示“取出的13張牌中有5張黑桃,3張紅心,3張方塊,2張梅花”,
則樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為 , 中所含樣本點(diǎn) ,所求概率為
8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題:
(1) 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率; (2) 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 設(shè)A1={五個(gè)人的生日都在星期日},基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè),故
P(A1)==()5 (亦可用獨(dú)立性求解,下同)
(2) 設(shè)A2={五個(gè)人生日都不在星期日},有利事件數(shù)為65,故
P(A2)==()5
(3) 設(shè)A3={五個(gè)人的生日不都在星期日}
P(A3)=1-P(A1)=1-()5
9.略.見(jiàn)教材習(xí)題參考答案.
10.一批產(chǎn)品共N件,其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件(n0.試證明:不論ε>0如何小,只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn),則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.
【證】在n重獨(dú)立試驗(yàn)中,事件都不發(fā)生概率為:
由于為隨機(jī)事件發(fā)生的概率,而題目給定>0,因此其定義域?yàn)?
假設(shè)n足夠大,即,在 上,由極限定義可得
即假設(shè)n足夠大,n次獨(dú)立試驗(yàn)中都不發(fā)生的概率為時(shí),
因而在n足夠大時(shí), 至少發(fā)生一次的概率為 。 證畢。
46.袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽).在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國(guó)徽.試問(wèn)這只硬幣是正品的概率是多少?
【解】設(shè)A={投擲硬幣r次都得到國(guó)徽}
B={這只硬幣為正品}
由題知
則由貝葉斯公式知
47.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.
【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由
.................①
.....................②
①—②,得所求概率為
若要計(jì)算在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率,則只要將兩式相加,即得
.
48.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊每次射擊命中目標(biāo)的概率為,求此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率。
【解】 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn),前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為,再加上第4次射擊命中目標(biāo),其概率為,根據(jù)獨(dú)立性,所求概率為
.
49. 設(shè)是隨機(jī)事件, 互不相容,,,求.
【解】因?yàn)榛ゲ幌嗳荩?當(dāng)然,于是
.
50.設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件,求P{(+B)(A+B)(+)(A+)}的值.
【解】因?yàn)椋ˋ∪B)∩(∪)=A∪B
(∪B)∩(A∪)=AB∪
所求
故所求值為0.
51.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件,A,B和C滿足條件:
ABC=F,P(A)=P(B)=P(C)< 1/2,且P(A∪B∪C)=9/16,求P(A).
【解】由
故或,按題設(shè)P(A)<,故P(A)=.
52.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,求P(A).
【解】 ①
②
故
故 ③
由A,B的獨(dú)立性,及①、③式有
故
故 或(舍去)
即P(A)=.
53.隨機(jī)地向半圓00,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小. (2006研考)
解:因?yàn)?
所以 .
57.設(shè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立,且求.
【解】 因?yàn)?相互獨(dú)立,所以 、相互獨(dú)立.
而 所以
因此 。
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