必修四數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容.doc

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新課程高中數(shù)學(xué)必修4基礎(chǔ)知識(shí)匯整 第一部分 三角函數(shù)與三角恒等變換 1．任意角和弧度制 ⑴ 1弧度角：等于半徑的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角為1弧度角 ⑵ 弧度數(shù)公式： ⑶ 角度制與弧度制的互化： 弧度，弧度，弧度. ⑷ 弧長(zhǎng)公式：； 扇形面積公式：. 2．三角函數(shù)定義： ⑴ 設(shè)α是一個(gè)任意角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)， 那么y叫作α的正弦，記作sinα； x叫作α的余弦，記作cosα； 叫作α的正切，記作tanα. ⑵ 角中邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)，則： . 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函數(shù)線： 正弦線：MP； 余弦線：OM； 正切線： AT. 4．誘導(dǎo)公式： 角 函數(shù) 正弦 余弦 正切 / / 六組誘導(dǎo)公式統(tǒng)一為“”， 記憶口訣一：奇變偶不變，符號(hào)看象限. 記憶口訣二：縱變橫不變，符號(hào)看象限. 5．同角三角函數(shù)基本關(guān)系： （平方和關(guān)系）； （商數(shù)關(guān)系）. 6．兩角和與差的正弦、余弦、正切： ① ； ② ； ③ . 兩角和與差的正弦、余弦、正切的變形運(yùn)用： 7．輔助角公式：=. 8．二倍角公式： ① ； ② ； ③ . 變形：升冪公式： ; 降冪公式：； . 9.物理意義： 物理簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中. 振幅為A，表示物體離開平衡位置的最大距離； 周期為，表示物體往返運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間； 頻率為，表示物體在單位時(shí)間內(nèi)往返運(yùn)動(dòng)的次數(shù)； 為相位； 為初相. 10．三角函數(shù)圖象與性質(zhì)： 函 數(shù) 圖象 作圖：五點(diǎn)法 作圖：五點(diǎn)法 作圖：三點(diǎn)二線 定義域 （－∞，＋∞） （－∞，＋∞） 值域 ［－1，1］ ［－1，1］ （－∞，＋∞） 極值 當(dāng)x＝2kπ＋,ymax=1 極大 ； 當(dāng)x＝2 kπ＋ymin=-1 當(dāng)x＝2kπ,ymax＝1； 當(dāng)x＝2kπ＋π, ymin＝－1 無(wú) 奇偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) T 2π 2π π 單調(diào)性 遞增 遞減 遞增 遞減 遞增 （注：表中k均為整數(shù)） 11. 正弦型函數(shù)的性質(zhì)及研究思路： ① 最小正周期，值域?yàn)? ② 五點(diǎn)法圖：把“”看成一個(gè)整體，取時(shí)的五個(gè) 自變量值，相應(yīng)的函數(shù)值為，描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到 一個(gè)周期內(nèi)的圖象. ③ 三角函數(shù)圖象變換路線： . 或： . ④ 單調(diào)性： 的增區(qū)間， 把“”代入到增區(qū)間， 即求解. ⑤ 整體思想： 把“”看成一個(gè)整體，代入與的性質(zhì)中進(jìn)行求解. 這種整體思想的運(yùn)用，主要體現(xiàn)在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，或取最大值與最小值時(shí)的自變量取值. 第二部分 平面向量 1. 向量與數(shù)量： 在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量. 向量常用有向線段來(lái)表示，記為或（起點(diǎn)A，終點(diǎn)B）. 向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模），記為或. 規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量稱為單位向量. 2. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作，并規(guī)定零向量平行于任意一個(gè)向量. 平行向量都可以移到同一直線上，因而也叫共線向量. 方向相同且長(zhǎng)度相等的向量稱為相等向量，記作. 與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為，規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加減法： 向量加減法運(yùn)算遵循三角形法則與平行四邊形法則. 如圖所示，已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O， 作，則向量. 若作，則向量. 向量的加減法滿足：交換律；結(jié)合律. 向量不等式：對(duì)于任意兩個(gè)向量，有. 向量加法多邊形法則：向量首尾相接，結(jié)果首尾連. 4. 向量數(shù)乘運(yùn)算： 實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，這種運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘，記作， 并規(guī)定：① ； ②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同； 當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反； 當(dāng)時(shí)，. 數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律： 分配律、； 結(jié)合律. 對(duì)于任意向量，以及任意實(shí)數(shù)，恒有. 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算. 5. 平面向量基本定理： 如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使. 把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 向量夾角： 對(duì)兩個(gè)非零向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則叫做向量與夾角. 當(dāng)與夾角是90時(shí)，與垂直，記作. 正交分解： 依據(jù)平面向量的基本定理，對(duì)平面上的任意向量，均可分解為不共線的兩個(gè)向量與，使. 若把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 坐標(biāo)表示： 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，則對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得. 即平面內(nèi)的任意向量都可由x、y唯一確定，把有序數(shù)對(duì)（x,y）叫做向量的坐標(biāo)，記作，式子叫做向量的坐標(biāo)表示. 6. 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算： ，其中是與的夾角，叫做向量在方向上的投影. 的幾何意義：數(shù)量等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積. 把記作，有性質(zhì)，從而. 數(shù)量積運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律： 交換律：； 數(shù)乘結(jié)合律：； 分配律：. 力作功： 一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所作的功，其中是與的夾角，從而. 7. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，，則 加減法：，； 數(shù)乘：； 向量數(shù)量積：； 模：； 距離：； 夾角： . 8. 向量共線： 設(shè)，，其中，若共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使， 即. 由此可證明平行問題、三點(diǎn)共線等. 9. 向量垂直： 對(duì)于平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量， . 設(shè)，，則. 10. 線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)： 已知點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)分點(diǎn)，且， 則有，即， 由此得到 . 若，得到線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 11.向量知識(shí)與平面幾何的聯(lián)系： 平面幾何問題 向 量 方 法 求線段AB的長(zhǎng)度 轉(zhuǎn)化為求向量的長(zhǎng)度：. 求兩條線段的夾角 由數(shù)量積求夾角或. 證明兩條直線垂直 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，即. 證明兩條直線平行 轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)非零向量共線，即 12. 向量法解決平面幾何問題三步曲： （1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素， 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； （2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等； （3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.