中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一部分 教材梳理 第二章 方程與不等式 第3節(jié) 一元二次方程課件.ppt

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第一部分教材梳理 第3節(jié)一元二次方程 第二章方程與不等式 知識(shí)梳理 概念定理 1 一元二次方程 1 定義 只含有一個(gè)未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 ax2 bx c 0 a 0 它的特征是 等式左邊為一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式 等式右邊是零 其中ax2叫做二次項(xiàng) a叫做二次項(xiàng)系數(shù) bx叫做一次項(xiàng) b叫做一次項(xiàng)系數(shù) c叫做常數(shù)項(xiàng) 2 一元二次方程的解法 1 直接開(kāi)平方法利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法 叫做直接開(kāi)平方法 直接開(kāi)平方法適用于解形如 x a 2 b的一元二次方程 根據(jù)平方根的定義可知 x a是b的平方根 當(dāng)b 0時(shí) x a b x a b 當(dāng)b 0時(shí) 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 2 配方法配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 把公式中的a看作未知數(shù)x 并用x代替 則有x2 2bx b2 x b 2 配方法的步驟 先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊 再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1 再同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方 最后配成完全平方公式 3 公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法 它是解一元二次方程的一般方法 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式為 公式法的步驟 把一元二次方程的各系數(shù)分別代入求根公式 然后計(jì)算得出結(jié)果即可 這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a 一次項(xiàng)的系數(shù)為b 常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c 4 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的思想 使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式 再使這兩個(gè)一次式分別等于0 從而求出方程的解的方法 它是解一元二次方程最常用的方法 主要公式 1 根的判別式 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式 通常用 來(lái)表示 即 b2 4ac I 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 II 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 III 當(dāng) 0時(shí) 一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式 方法規(guī)律 公式法和因式分解法的運(yùn)用技巧 1 在解一元二次方程時(shí) 最常用到的方法是公式法和因式分解法 公式法適用于任何一元二次方程 有人稱之為萬(wàn)能法 在使用公式法時(shí) 一定要把原方程化成一般形式 以便確定系數(shù) 而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值 以便判斷方程是否有解 2 在運(yùn)用因式分解法時(shí) 一般要先將方程寫(xiě)成一般形式 同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù) 中考考點(diǎn)精講精練 考點(diǎn)1解一元二次方程 考點(diǎn)精講 例1 2015廣東 解方程 x2 3x 2 0 思路點(diǎn)撥 利用公式法來(lái)求解即可 解 用公式法 已知a 1 b 3 c 2 b2 4ac 3 2 4 1 2 1 解得x1 1 x2 2 考題再現(xiàn)1 2016天津 方程x2 x 12 0的兩個(gè)根為 A x1 2 x2 6B x1 6 x2 2C x1 3 x2 4D x1 4 x2 32 2014珠海 填空 x2 4x 3 x 2 1 3 2016山西 解方程 2 x 3 2 x2 9 D 2 解 方程變形 得2 x 3 2 x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 2x 6 x 3 0 解得x1 3 x2 9 考點(diǎn)演練4 已知關(guān)于x的一元二次方程x2 x c 0有一個(gè)解為x 1 則c的值為 A 2B 0C 1D 25 方程4x2 kx 6 0的一個(gè)根是2 那么k的值和方程的另一個(gè)根分別是 A 5 34B 11 34C 11 34D 5 34 A B 6 解下列方程 1 x x 3 x 3 2 2x2 3x 4 0 解 1 原方程變形 得x x 3 x 3 0 分解因式 得 x 3 x 1 0 解得x1 3 x2 1 2 用公式法 已知a 2 b 3 c 4 b2 4ac 3 2 4 2 4 41 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn) 題型一般為選擇題和解答題 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于掌握解一元二次方程的方法和步驟 注意以下要點(diǎn) 1 解一元二次方程的基本思路是降次 解法包括直接開(kāi)平方法 配方法 公式法和因式分解法四種 2 公式法和因式分解法是最常用的兩種方法 重點(diǎn)在于掌握求根公式和因式分解的方法 考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式與根的情況 考點(diǎn)精講 例2 2016北京 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 1 求m的取值范圍 2 寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的m的值 并求此時(shí)方程的根 思路點(diǎn)撥 1 由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可得出 0 代入數(shù)據(jù)即可得出關(guān)于m的不等式 解不等式即可得出結(jié)論 2 結(jié)合 1 中結(jié)論 令m 1 將m 1代入原方程 利用因式分解法解方程即可得出結(jié)論 解 1 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m2 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2m 1 2 4 1 m2 1 4m 5 0 2 令m 1 此時(shí)原方程化為x2 3x 0 即x x 3 0 解得x1 0 x2 3 考題再現(xiàn)1 2015廣東 若關(guān)于x的方程x2 x a 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A a 2B a 2C a 2D a 22 2014廣東 關(guān)于x的一元二次方程x2 3x m 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 C B 3 2015珠海 一元二次方程x2 x 0的根的情況是 A 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C 無(wú)實(shí)數(shù)根D 無(wú)法確定根的情況4 2016梅州 關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有兩個(gè)不等實(shí)根x1 x2 求實(shí)數(shù)k的取值范圍 解 1 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2k 1 2 4 k2 1 0 解得k 即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k B 5 2015梅州 已知關(guān)于x的方程x2 2x a 2 0 1 若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí) 求a的值及方程的另一根 解 1 22 4 1 a 2 12 4a 0 解得a 3 a的取值范圍是a 3 2 將x 1代入原方程 得1 2 a 2 0 a 1 原方程化為x2 2x 3 0 解該方程 得x1 1 x2 3 方程的另一根為 3 考點(diǎn)演練6 已知關(guān)于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則m的取值范圍是 A m 1B m 1C m 1且m 0D m 1且m 07 若關(guān)于x的方程x2 2x a 0不存在實(shí)數(shù)根 則a的取值范圍是 A a 1B a 1C a 1D a 1 D B 8 已知關(guān)于x的方程x2 2x 3k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 9 若關(guān)于x的一元二次方程x2 2k 1 x k2 1 0有實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 A D 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn) 題型一般為選擇題 難度較低 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系 注意以下要點(diǎn) 1 判別式 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 判別式 0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 3 判別式 0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 考點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用 考點(diǎn)精講 例3 2016永州 某種商品的標(biāo)價(jià)為400元 件 經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為324元 件 并且兩次降價(jià)的百分率相同 1 求該種商品每次降價(jià)的百分率 2 若該種商品進(jìn)價(jià)為300元 件 兩次降價(jià)共售出此種商品100件 為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元 問(wèn)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件 思路點(diǎn)撥 1 設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x 根據(jù) 兩次降價(jià)后的售價(jià) 原價(jià) 1 降價(jià)百分比 2 即可得出關(guān)于x的一元二次方程 解方程即可得出結(jié)論 2 設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件 則第二次降價(jià)后售出該種商品 100 m 件 根據(jù) 總利潤(rùn) 第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn) 銷售數(shù)量 第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn) 銷售數(shù)量 即可得出關(guān)于m的一元一次不等式 解不等式即可得出結(jié)論 解 1 設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x 依題意 得400 1 x 2 324 解得x 0 1 10 或x 1 9 不合題意 舍去 答 該種商品每次降價(jià)的百分率為10 2 設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件 則第二次降價(jià)后售出該種商品 100 m 件 第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為 400 1 10 300 60 元 件 第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為 324 300 24 元 件 依題意 得60m 24 100 m 36m 2400 3210 解得m 22 5 m 23 答 為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元 第一次降價(jià)后至少要售出該種商品23件 考題再現(xiàn)1 2015佛山 如圖1 2 3 1 將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化 原空地一邊減少了2m 另一邊減少了3m 剩余一塊面積為20m2的矩形空地 則原正方形空地的邊長(zhǎng)是 A 7mB 8mC 9mD 10m2 2016梅州 用一條長(zhǎng)40cm的繩子圍成一個(gè)面積為64cm2的矩形 設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm 則可列方程為 A x 20 x 64 3 2015珠海 白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57 5公頃 該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積 2014年達(dá)到82 8公頃 1 求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率 2 若年增長(zhǎng)率保持不變 2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達(dá)到100公頃 解 1 設(shè)綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得57 5 1 x 2 82 8 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合題意 舍去 答 該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為20 2 由題意 得82 8 1 0 2 99 36 公頃 2015年不能達(dá)到100公頃 答 2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達(dá)到100公頃 4 2015廣州 某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元 2015年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬(wàn)元 1 求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率 2 根據(jù) 1 所得的年平均增長(zhǎng)率 預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元 解 1 設(shè)增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得2500 1 x 2 3025 解得x1 0 1 10 x2 2 1 不合題意 舍去 答 2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為10 2 3025 1 10 3327 5 萬(wàn)元 答 預(yù)計(jì)2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)3327 5萬(wàn)元 5 2016貴州 為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育 自2014年以來(lái) 某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入 2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元 2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元 假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同 1 求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率 2 若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率 請(qǐng)你預(yù)計(jì)2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元 解 1 設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得6000 1 x 2 8640 解得x1 0 2 20 x2 2 2 不合題意 舍去 答 該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20 2 因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640萬(wàn)元 且增長(zhǎng)率為20 所以2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為 y 8640 1 0 2 10368 萬(wàn)元 答 預(yù)計(jì)2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10368萬(wàn)元 考點(diǎn)演練6 如圖1 2 3 2 一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍 豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻 另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成 為方便進(jìn)出 在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門 所圍矩形豬舍的長(zhǎng) 寬分別為多少時(shí) 豬舍的面積為80平方米 解 設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm 可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為 25 2x 1 m 由題意 得x 25 2x 1 80 化簡(jiǎn) 得x2 13x 40 0 解得x1 5 x2 8 當(dāng)x 5時(shí) 26 2x 16 12 不合題意 舍去 當(dāng)x 8時(shí) 26 2x 10 12 x 8 26 2x 10 答 所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m 寬為8m 7 某地2014年為做好 精準(zhǔn)扶貧 授入資金1280萬(wàn)元用于異地安置 并規(guī)劃投入資金逐年增加 2016年在2014年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬(wàn)元 1 從2014年到2016年 該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少 2 在2016年異地安置的具體實(shí)施中 該地計(jì)劃投入資金不低于500萬(wàn)元用于優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 規(guī)定前1000戶 含第1000戶 每戶每天獎(jiǎng)勵(lì)8元 1000戶以后每戶每天補(bǔ)助5元 按租房400天計(jì)算 試求今年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 解 1 設(shè)該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為x 根據(jù)題意 得1280 1 x 2 1280 1600 解得x 0 5或x 2 5 不合題意 舍去 答 從2014年到2016年 該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為50 2 設(shè)今年該地有a戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 根據(jù)題意 得1000 8 400 a 1000 5 400 5000000 解得a 1900 答 今年該地至少有1900戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎(jiǎng)勵(lì) 8 創(chuàng)衛(wèi)工作人人參與 環(huán)境衛(wèi)生人人受益 我區(qū)創(chuàng)衛(wèi)工作已進(jìn)入攻堅(jiān)階段 某校擬整修學(xué)校食堂 現(xiàn)需購(gòu)買A B兩種型號(hào)的防滑地磚共60塊 已知A型號(hào)地磚每塊80元 B型號(hào)地磚每塊40元 1 若采購(gòu)地磚的費(fèi)用不超過(guò)3200元 那么 最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚多少塊 2 某地磚供應(yīng)商為了支持創(chuàng)衛(wèi)工作 現(xiàn)將A B兩種型號(hào)的地磚單價(jià)都降低a 這樣 該校花費(fèi)了2560元就購(gòu)得所需地磚 其中A型號(hào)地磚a塊 求a的值 解 1 設(shè)購(gòu)買A型號(hào)地磚x塊 由題意 得80 x 40 60 x 3200 解得x 20 答 最多能購(gòu)買A型號(hào)地磚20塊 2 由題意 得80 1 a a 40 1 a 60 a 2560 解得a1 a2 20 經(jīng)檢驗(yàn) a 20符合題意 答 a的值為20 9 新興商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種兒童益智玩具 已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元 調(diào)查發(fā)現(xiàn) 銷售單價(jià)是30元時(shí) 月銷售量是230件 而銷售單價(jià)每上漲1元 月銷售量就減少10件 但每件玩具售價(jià)不能高于40元 每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí) 月銷售利潤(rùn)恰好為2520元 解 設(shè)每件玩具上漲x元 則售價(jià)為 30 x 元 根據(jù)題意 得 30 x 20 230 10 x 2520 整理方程 得x2 13x 22 0 解得x1 11 x2 2 當(dāng)x 11時(shí) 30 x 41 40 x 11 不合題意 舍去 x 2 每件玩具售價(jià)應(yīng)定為 30 2 32 元 答 每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí) 月銷售利潤(rùn)恰好為2520元 考點(diǎn)點(diǎn)撥 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn) 題型一般為解答題 難度中等 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目 關(guān)鍵是要讀懂題目的意思 根據(jù)題目給出的條件 找出合適的等量關(guān)系 列出方程并求解 注意一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題多為增長(zhǎng)率問(wèn)題 備考時(shí)應(yīng)多加練習(xí)掌握 課堂鞏固訓(xùn)練 1 方程x2 x 1 0的根是 2 2016麗水 下列一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是 A x2 2x 1 0B x2 x 2 0C x2 1 0D x2 2x 1 0 D B 3 2016邵陽(yáng) 一元二次方程2x2 3x 1 0的根的情況是 A 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D 沒(méi)有實(shí)數(shù)根4 2016河南 若關(guān)于x的一元二次方程x2 3x k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 則k的取值范圍是 5 2016十堰 某種藥品原來(lái)售價(jià)100元 連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為81元 若每次下降的百分率相同 則這個(gè)百分率是 B 10 6 2016岳陽(yáng) 已知關(guān)于x的方程x2 2m 1 x m m 1 0 1 求證 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 已知方程的一個(gè)根為x 0 求代數(shù)式 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5的值 要求先化簡(jiǎn)再求值 解 1 關(guān)于x的一元二次方程x2 2m 1 x m m 1 0 2m 1 2 4m m 1 1 0 方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 x 0是此方程的一個(gè)根 把x 0代入方程中 得m m 1 0 m 0或m 1 2m 1 2 3 m 3 m 7m 5 4m2 4m 1 9 m2 7m 5 3m2 3m 5 把m 0代入3m2 3m 5 得3m2 3m 5 5 把m 1代入3m2 3m 5 得3m2 3m 5 3 1 3 5 5 7 2016安徽 解方程 x2 2x 4 解 方程變形 得x2 2x 4 0 用公式法 這里a 1 b 2 c 4 b2 4ac 2 2 4 1 4 20 0 8 2016巴中 隨著國(guó)家 惠民政策 的陸續(xù)出臺(tái) 為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠 國(guó)家衛(wèi)計(jì)委嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為 某種藥品原價(jià)200元 瓶 經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后 現(xiàn)在僅賣98元 瓶 現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同 求該種藥品平均每次降價(jià)的百分率 解 設(shè)該種藥品平均每次降價(jià)的百分率是x 由題意 得200 1 x 2 98 解得x1 1 7 不合題意 舍去 x2 0 3 30 答 該種藥品平均每降價(jià)的百分率是30