全國中學生物理競賽分類匯編

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全國中學生物理競賽分類匯編 光學 1 1 第 21 屆預賽 一 15分 填空 1 d 一個可見光光子的能量的數(shù)量級為 J 2 已知某個平面鏡反射的光能量為入射光能量的80 試判斷下列說法是否正確 并簡 述理由 a 反射光子數(shù)為入射光子數(shù)的80 b 每個反射光子的能量是入射光子能量的80 2 六 15分 有一種高腳酒杯 如圖所示 杯內(nèi)底面為一凸起的球面 球心在頂點O下方玻璃中的 C點 球面的半徑R 1 50cm O到杯口平面的距離 為8 0cm 在杯腳底中心處P 點緊貼一張畫片 P點距O點6 3cm 這種酒杯未 斟酒時 若在杯口處向杯底方向觀看 看不出畫片上的景物 但如果斟了酒 再在杯口處向杯底方向觀看 將看到畫片上的景物 已知玻璃的折射率 n1 1 56 酒的折射率n 2 1 34 試通過分析計算與論證解釋這一現(xiàn)象 3 第 21 屆復賽 四 20 分 目前 大功率半導體激光器的主要結構形式是由許多發(fā)光區(qū)等距離地排列在一 條直線上的長條狀 通常稱為激光二極管條 但這樣的半導體激光器發(fā)出的是很多束發(fā)散 光束 光能分布很不集中 不利于傳輸和應用 為了解決這個問題 需要根據(jù)具體應用的 要求 對光束進行必需的變換 或稱整形 如果能把一個半導體激光二極管條發(fā)出的光變 換成一束很細的平行光束 對半導體激光的傳輸和應用將是非常有意義的 為此 有人提 出了先把多束發(fā)散光會聚到一點 再變換為平行光的方案 其基本原理可通過如下所述的 簡化了的情況來說明 如圖 S 1 S 2 S3 是等距離 h 地排列在一直線上的三個點光源 各自向垂直于它們 的連線的同一方向發(fā)出半頂角為 arctan 的圓錐形光束 請使用三個 4 完全相同的 焦距為 f 1 50h 半徑為 r 0 75 h 的圓形薄凸透鏡 經(jīng)加工 組裝 成一個三者在同一平面內(nèi)的組合透鏡 使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上 且經(jīng)透鏡折射后的光線能全部會聚于 z 軸 以 S2 為起點 垂直于三個點光源連線 與光束中心線方向相同的射線 上距離 S2 為 L 12 0 h 處的 P 點 加工時可對透鏡進行外形的改變 但不能改變透鏡焦距 1 求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置 2 說明對三個透鏡應如何加工和組裝 并求出有關數(shù)據(jù) L S1 S3 P S2 h h z 4 第 20 屆預賽 一 20 分 兩個薄透鏡 L1 和 L2 共軸放置 如圖所示 已知 L1 的焦距 f1 f L2 的焦距 f2 f 兩透鏡間距離也是 f 小物體位于物 面 P 上 物距 u1 3f 1 小物體經(jīng)這兩個透鏡所成的像在 L2 的 邊 到 L2 的距離為 是 倍 虛或?qū)?像 正或倒 放大率為 2 現(xiàn)在把兩透鏡位置調(diào)換 若還要給定的 原物體在原像處成像 兩透鏡作為整體應沿 光軸向 邊移動距離 這個新的像是 像 虛或?qū)?像 正或倒 放大率為 5 第 20 屆復賽 四 20 分 如圖所示 一半徑為 折射率為 的玻璃半球 放在空氣中 平表面中央半Rn 徑為 的區(qū)域被涂黑 一平行光束垂直入射到此平面上 正好覆蓋整個表面 為以球0h Ox 心 為原點 與平而垂直的坐標軸 通過計算 求出坐標軸 上玻璃半球右邊有光線通O x 過的各點 有光線段 和無光線通過的各點 無光線段 的分界點的坐標 6 第 19 屆預賽 五 20 分 圖預 19 5 中 三棱鏡的頂角 為 60 在三棱鏡兩側(cè)對稱位置上放置焦距均 為 的兩個完全相同的凸透鏡 L1 和 L2 若在 L1 的前焦面上距主光軸下方30 cmf 處放一單色點14 y 光源 已知其像 與SS 對該光學系統(tǒng)是左右對稱 的 試求該三棱鏡的折射 率 7 第 19 屆復賽 五 20 分 薄凸透鏡放在空氣中時 兩側(cè)焦點與透鏡中心的距離相等 如果此薄透鏡兩 側(cè)的介質(zhì)不同 其折射率分別為 和 則透鏡兩側(cè)各有一個焦點 設為 和 但 1n2 1F21 和透鏡中心的距離不相等 其值分別為 和 2f 現(xiàn)有一個薄凸透鏡 已知此凸透鏡2F1 L 對平行光束起會聚作用 在其左右兩側(cè)介質(zhì)的折射率及焦點的位置如圖復 19 5 所示 1 試求出此時物距 像距 焦距 2f四者之間的關系式 uv1 2 若有一傍軸光線射向透鏡中心 已知它與透鏡主軸的夾角為 則與之相應的出1 射線與主軸的夾角 多大 2 3 四者之間有何關系 1f1n 8 六 20 分 在相對于實驗室靜止的平面直角坐標系 中 有一個光子 沿 軸正方向Sx 射向一個靜止于坐標原點 的電子 在 軸方向探測到一個散射光子 已知電子的靜止質(zhì)Oy 量為 光速為 入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的 1 10 0mc 1 試求電子運動速度的大小 電子運動的方向與 軸的夾角 電子運動到離原點距vx 離為 作為已知量 的 點所經(jīng)歷的時間 0LAt 2 在電子以 1 中的速度 開始運動時 一觀察者 相對于坐標系 也以速度 沿 中vS SvS 電子運動的方向運動 即 相對于電子靜止 試求 測出的 的長度 S OA 全國中學生物理競賽分類匯編 光學 2 1 第 18 屆預賽 三 18 分 一束平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射 經(jīng)透鏡折射后 會聚于透鏡 處 透鏡的折射率 若將此透鏡的凸面鍍銀 物置于平面前 12 處 48cmf 1 5n cm 求最后所成象的位置 2 第 18 屆復賽 一 22 分 有一放在空氣中的玻璃棒 折射率 中心軸線長 一端是半1 5n 45cmL 徑為 的凸球面 10cmR 1 要使玻璃棒的作用相當于一架理想的天文望遠鏡 使主光軸上無限遠處物成像于主 光軸上無限遠處的望遠系統(tǒng) 取中心軸線為主光軸 玻璃棒另一端應磨成什么樣的球面 2 對于這個玻璃棒 由無限遠物點射來的平行入射光柬與玻璃棒的主光軸成小角度 時 從棒射出的平行光束與主光軸成小角度 求 此比值等于此玻璃棒望遠系統(tǒng)1 21 的視角放大率 3 第 17 屆預賽 三 15 分 有一水平放置的平行平面玻璃板 厚 3 0 cm 折射率 在其下表面H1 5n 下 2 0 cm 處有一小物 在玻璃扳上方有一薄凸透鏡 其焦距 透鏡的主軸SL30cmf 與玻璃板面垂直 位于透鏡的主軸上 如圖預 17 3 所示 若透鏡上方的觀察者順著主軸 方向觀察到 的像就在 處 問透鏡與玻璃板上表面的距離為多少 4 第 17 屆復賽 二 20 分 如圖復 17 2 所示 在真空中有一個折射率為 為真空的折射率 n0 n 半徑為 的質(zhì)地均勻的小球 頻率為 的細激光束在真空中沿直線 傳播 直線 與小r BC 球球心 的距離為 光束于小球體表面的點 點經(jīng)折射進入小球 小球成為光Olr 傳播的介質(zhì) 并于小球表面的點 點又經(jīng)折射進入真空 設激光束的頻率在上述兩次折D 射后保持不變 求在兩次折射過程中激光束中一個光子對小球作用的平均力的大小 5 六 25 分 普通光纖是一種可傳輸 光的圓柱形細絲 由具有圓形截面的纖芯 和包層 組成 的折射率小于 的折射率 光纖的端面和圓柱體的軸垂直 由一端面ABA 射入的光在很長的光纖中傳播時 在纖芯 和包層 的分界面上發(fā)生多次全反射 現(xiàn)在利B 用普通光纖測量流體 的折射率 實驗方法如下 讓光纖的一端 出射端 浸在流體F 中 令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會聚光纖入射端面的中心 經(jīng)端F O 面折射進入光纖 在光纖中傳播 由點 出發(fā)的光束為圓錐形 已知其邊緣光線和軸的夾O 角為 如圖復 17 6 1 所示 最后光從另一端面出射進入流體 在距出射端面 處放0 F1h 置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏 在 上出現(xiàn)一圓形光斑 測出其直徑為 然后移動Dd 光屏 至距光纖出射端面 處 再測出圓形光斑的直徑 如圖復 17 6 2 所示 D2h2d 1 若已知 和 的折射率分別為 與 求被測流體 的折射率 的表達式 ABAnBFFn 2 若 和 均為未知量 如何通過進一步的實驗以測出 的值 n0 6 第 16 屆預賽 五 15 分 一平凸透鏡焦距為 其平面上鍍了銀 現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它 處 垂直于f 2f 主軸放置一高為 的物 其下端在透鏡的主軸上 如圖預 16 5 H 1 用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像 并標明該像是虛 是實 2 用計算法求出此像的位置和大小 7 第 16 屆復賽 二 25 分 兩個焦距分別是 和 的薄透鏡 和 相距為 被共軸地安置在光具1f21L2d 座上 1 若要求入射光線和與之對應的出射光線相互平行 問該入射光線應滿足什么條件 2 根據(jù)所得結果 分別畫出各種可能條件下的光路示意圖 全國中學生物理競賽分類匯編 光學 1 參考答案 1 第 21 屆預賽 2004 9 5 一 1 d 10 19 2 a正確 b 不正確 理由 反射時光頻率 不變 這表明每個光子能量h 不變 評分標準 本題15分 第1 問10分 每一空2分 第二問5分 其中結論占2分 理由占3 分 2 六 把酒杯放平 分析成像問題 1 未斟酒時 杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n 1和 n0 1 在圖1中 P為畫片 中心 由P發(fā)出經(jīng)過球心 C的光線PO 經(jīng)過頂點不變方向進入空氣中 由 P發(fā)出的與PO成 角 的另一光線PA在A 處折射 設A處入射角為i 折射角為r 半徑CA與PO的夾角為 由折射 定律和幾何關系可得 n1sini n 0sinr 1 i 2 在 PAC中 由正弦定理 有 3 siniRPC 考慮近軸光線成像 i r 都是小角度 則有 4 10rin 5 RiPC 由 2 4 5 式 n 0 n l R的數(shù)值及 cm可得4 8PCO 圖 1 1 31i 6 r 1 56i 7 由 6 7 式有 r 8 由上式及圖1可知 折射線將與 PO延長線相交于P P 即為P點的實像 畫面將成實像于P 處 在 CAP 中 由正弦定理有 9 siniRCPr 又有 r 10 考慮到是近軸光線 由 9 l0 式可得 11 CPRr 又有 12 O 由以上各式并代入數(shù)據(jù) 可得 cm 13 7 9P 由此可見 未斟酒時 畫片上景物所成實像在杯口距O點7 9 cm處 已知O到杯口平面 的距離為8 0cm 當人眼在杯口處向杯底方向觀看時 該實像離人眼太近 所以看不出畫片 上的景物 2 斟酒后 杯底凸球面兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和酒 折射率分別為n 1和n 2 如圖2所示 考慮到近軸光線有 14 12nri 圖 2 代入n 1和n 2的值 可得 r 1 16i 15 與 6 式比較 可知 r 16 由上式及圖2可知 折射線將與 OP延長線相交于P P 即為 P點的虛像 畫面將成虛像于P 處 計算可得 17 rCPR 又有 18 O 由以上各式并代入數(shù)據(jù)得 cm 19 13P 由此可見 斟酒后畫片上景物成虛像于P 處 距O點13cm 即距杯口21 cm 雖然該虛 像還要因酒液平表面的折射而向杯口處拉近一定距離 但仍然離杯口處足夠遠 所以人眼 在杯口處向杯底方向觀看時 可以看到畫片上景物的虛像 評分標準 本題15 分 求得 13 式給5分 說明 看不出 再給2分 求出 l9 式 給5分 說 明 看到 再給3分 3 第 21 屆復賽 四 1 考慮到使 3 個點光源的 3 束光分別通過 3 個透 鏡都成實像于 P 點的要求 組合透鏡所在的平面應垂 直于 z 軸 三個光心 O1 O 2 O3 的連線平行于 3 個光 源的連線 O 2 位于 z 軸上 如圖 1 所示 圖中 表示組合透鏡的平面 為三個光束M S 23 中心光線與該平面的交點 u 就是物 距 根據(jù)透鏡成像公式 1 fuL1 z L S1 P S2 h h 1S S3 O1 O2 S2 O3 圖 1 M M u 可解得 4 212fLu 因為要保證經(jīng)透鏡折射后的光線都能全部會聚于 P 點 來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能 交叉 必須有 2utan h 即 u 2h 在上式中取 號 代入 f 和 L 的值 算得 1 757h 2 36 此解滿足上面的條件 分別作 3 個點光源與 P 點的連線 為使 3 個點光源都能同時成像于 P 點 3 個透鏡的 光心 O1 O 2 O 3 應分別位于這 3 條連線上 如圖 1 由幾何關系知 有 3 hhLuO854 0 24 21 即光心 O1 的位置應在 之下與 的距離為S 4 hhS16 021 同理 O 3 的位置應在 之上與 的距離為 0 146h 處 由 3 式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡3S 3 中心之間距離必須等于 0 854h 才能使 S1 S 2 S 3 都能成像于 P 點 2 現(xiàn)在討論如何把三個透鏡 L1 L 2 L 3 加工組裝成組合透鏡 因為三個透鏡的半徑 r 0 75h 將它們的光心分別放置到 O1 O2 O3處時 由于 0 854h 2r 透鏡必然發(fā)生相互重疊 必須對透鏡進行加工 各切去一部分 21O3 然后再將它們粘起來 才能滿足 3 式的要求 由于對稱關系 我們只需討論上半部分的情 況 圖 2 畫出了 L1 L 2 放在 平面內(nèi)時相互M 交疊的情況 紙面為 平面 圖中 C1 C 2 表示 L1 L2 的邊緣 為光束中心光線與1S2 透鏡的交點 W 1 W 2 分別為 C1 C 2 與 O1O2 的 交點 為圓心的圓 1 和以 與 O2 重合 為圓心1S S 的圓 2 分別是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 時產(chǎn) 0 146h 0 854h 0 439h 0 439h h S1 O2 S2 O1 W1 W2Q Q N N T T C1 C2 圓 1 圓 2 圖 2 x2 x1 K 生的光斑的邊緣 其半徑均為 5 hu439 0tan 根據(jù)題意 圓 1 和圓 2 內(nèi)的光線必須能全部進入透鏡 首先 圓 1 的 K 點 見圖 2 是否 落在 L1 上 由幾何關系可知 6 hrhSOK75 058 146 039 1 故從 S1 發(fā)出的光束能全部進入 L1 為了保證全部光束能進入透鏡組合 對 L1 和 L2 進行加 工時必須保留圓 1 和圓 2 內(nèi)的透鏡部分 下面舉出一種對透鏡進行加工 組裝的方法 在 O1 和 O2 之間作垂直于 O1O2 且分別與 圓 1 和圓 2 相切的切線 和 若沿位于 和 之間且與它們平行的任意直線Q N Q N 對透鏡 L1 和 L2 進行切割 去掉兩透鏡的弓形部分 然后把它們沿此線粘合就得到符合T 所需組合透鏡的上半部 同理 對 L2 的下半部和 L3 進行切割 然后將 L2 的下半部和 L3 粘 合起來 就得到符合需要的整個組合透鏡 這個組合透鏡可以將 S1 S 2 S 3 發(fā)出的全部光 線都會聚到 P 點 現(xiàn)在計算 和 的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件 設透鏡 L1Q N 被切去部分沿 O1O2 方向的長度為 x1 透鏡 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的長度為 x2 如圖 2 所示 則對任意一條切割線 x1 x 2 之和為T 7 hrd64 021 由于 必須在 和 之間 從圖 2 可看出 沿 切割時 x 1 達最大值 x 1M x 2 達T Q N Q 最小值 x 2m 11OSrxM 代入 r 和 的值 得1OS 8 hx457 01 代入 7 式 得 9 xdMm89 12 由圖 2 可看出 沿 切割時 x2 達最大值 x 2M x 1 達最小值 x1m N rxM2 代入 r 和 的值 得 10 hxM31 02 11 dm5 1 由對稱性 對 L3 的加工與對 L1 相同 對 L2 下半部的加工與對上半部的加工相同 評分標準 本題 20 分 第 1 問 10 分 其中 2 式 5 分 3 式 5 分 第 2 問 10 分 其中 5 式 3 分 6 式 3 分 7 式 2 分 8 式 9 式共 1 分 10 式 11 式 共 1 分 如果學生解答中沒有 7 11 式 但說了 將圖 2 中三個圓錐光束照射到透鏡部分全 部保留 透鏡其它部分可根據(jù)需要磨去 或切割掉 給 3 分 再說明將加工后的透鏡組裝 成透鏡組合時必須保證 O1O2 O1O2 0 854h 再給 1 分 即給 7 11 式的全分 4 分 4 第 20 屆預賽 一 參考解答 1 右 f 實 倒 1 2 左 2f 實 倒 1 評分標準 本題 20 分 每空 2 分 5 第 20 屆復賽 四 參考解答 圖復解 20 4 1 中畫出的是進入玻璃半球的任一光線的光路 圖中陰影處是無光線進入 的區(qū)域 光線在球面上的入射角和折射角分別為 和 折射光線與坐標軸的交點在 i P 令軸上 的距離為 的距離為 根據(jù)折射定律 有OPxMPl 1 sin 在 中OMP 2 sinlxi 3 22coslRi 由式 1 和式 2 得 xnl 再由式 3 得 22 cos Rxi 設 點到 的距離為 有MOxh sin 222coRiRh 得 222xxn 4 21 0Rh 解式 4 可得 5 2221nnx 為排除上式中應舍棄的解 令 則 處應為玻璃半球在光軸 上的傍軸焦點 由上0h xOx 式 2 1 1nnxRR 或 由圖可知 應有 故式 5 中應排除 號中的負號 所以 應表示為R x 6 2221nhnhx 上式給出 隨 變化的關系 xh 因為半球平表面中心有涂黑的面積 所以進入玻璃半球的光線都有 其中折射0h 光線與 軸交點最遠處的坐標為Ox 7 2220001nRhnhx 在軸上 處 無光線通過 0 x 隨 增大 球面上入射角 增大 當 大于臨界角 時 即會發(fā)生全反射 沒有折射光hiiCi 線 與臨界角 相應的光線有Ci C1sinhR 這光線的折射線與軸線的交點處于 8 22C1nnRx 在軸 上 處沒有折射光線通過 OxR 由以上分析可知 在軸 上玻璃半球以右Ox 9 C0 的一段為有光線段 其它各點屬于無光線段 與 就是所要求的分界點 如圖復解 20 0 xC 4 2 所示 評分標準 本題 20 分 求得式 7 并指出在 軸上 處無光線通過 給 10 分 求得式 8 并指出在 軸Ox0 Ox 上 處無光線通過 給 6 分 得到式 9 并指出 上有光線段的位置 給 4 分 0 x Ox 6 第 19 屆預賽 五 參考解答 由于光學系統(tǒng)是左右對稱的 物 像又是左右對稱的 光路一定是左右對稱的 該光 線在棱鏡中的部分與光軸平行 由 射向 光心的光線的光路圖如圖預解 19 5 所示 由對S1L 稱性可知 12ir 由幾何關系得 1260ri 由圖可見 1ir 又從 的邊角關系得1FSO tan yf 代入數(shù)值得 arct 14 3 0 25 49 由 與 式得 1 i 根據(jù)折射定律 求得 1sin 65r 評分標準 本題 20 分 1 圖預解 19 5 的光路圖 4 分 未說明這是兩個左右對稱性的結果只給 2 分 2 式各給 2 分 式給 3 分 式給 1 分 式給 4 分 7 第 19 屆復賽 五 參考解答 利用焦點的性質(zhì) 用作圖法可求得小物 的像 如下圖所示 PQ 1 用 和 分別表示物和像的大小 則由圖中的幾何關系可得y 1 12ufvf 121 f 簡化后即得物像距公式 即 之間的關系式uvf2 2 12fuv 2 薄透鏡中心附近可視為籌薄平行板 入射光線經(jīng)過兩次折射后射出 放大后的光 路如圖復解19 5 2所示 圖中 為入射角 2 為與之相應的出射角 為平行板中的光線1 與法線的夾角 設透鏡的折射率為 則由折射定律得n 3 12siisin 對傍軸光線 2 1 得 因而得1 2in 4 12n 3 由物點 射向中心 的入射線 經(jīng)QO 折射后 出L 射線應射向 如圖復解 19 5 3所示 Q Q P P F1 F2 u v n1 n2 y y f1 f2 圖復解 19 5 1 n1 n2 1 2 n 圖復解 19 5 2 Q Q P P F1 F2 L 2 u vu y 1 y n1 n2 圖復解 19 5 3 在傍軸的條件下 有 5 12tantanyyuv 二式相除并利用 4 式 得 6 12yvn 用 1 式的 代入 6 式 得1 fuf 12 nfv 即 7 21ufn 用 1 式的 代入 6 式 得2 yvf 21unf 即 8 21vfnu 從而得 之間關系式1f22 9 1nf 8六 參考解答 1 由能量與速度關系及題給條件可知運動電子的能量為 22001 1 mccv 1 由此可解得 0 21 470 2vc 2 圖復解 19 6 光子散射方向 光子入射方向 光子入射方向 電子 A 入射光子和散射光子的動量分別為 和hpc 方向如圖復解19 6所示 電子的動量為 為運動電子的相對論質(zhì)量 hpc mv 由動量守恒定律可得 3 02cos1 mvh 4 02sin cvc 已知 5 20 1hm 由 2 3 4 5 式可解得 6 20 37 ch 7 m 8 127tanrcta 36 1 電子從 點運動到 所需時間為OA 9 02 4 Ltcv 2 當觀察者相對于 沿 方向以速度 運動時 由狹義相對論的長度收縮效應得SOv 10 201 c 11 9L 全國中學生物理競賽分類匯編 光學 2 參考答案 1 第 18 屆預賽 三 參考解答 1 先求凸球面的曲率半徑 平行于主光軸的光線與平面垂直 不發(fā)生折射 它在R 球面上發(fā)生折射 交主光軸于 點 如圖預解 18 3 1 所示 點為球面的球心 FC 由正弦定理 可得COR 1 sin fr 由折射定律知 2 sin1r 當 很小時 由以上兩式得isir sin ri sni 3 11fRi 所以 4 nf 2 凸面鍍銀后將成為半徑為 的凹面鏡 如圖預解 18 3 2 所示 令 表示物所在位置 點經(jīng)平PP 面折射成像 根據(jù)折射定律可推 出 5 POn 由于這是一個薄透鏡 與凹面鏡P 的距離可認為等于 設反射后成 像于 則由球面鏡成像公式可得P 6 12RPO 由此可解得 可知 位于平面的左方 對平面折射來說 是一個虛物 3cm P P 經(jīng)平面折射后 成實像于 點 7 1OnP 所以 8 24cm 最后所成實像在透鏡左方 24 cm 處 評分標準 本題 18 分 1 2 式各 2 分 3 或 4 式 2 分 5 式 2 分 6 式 3 分 7 式 4 分 8 式 3 分 2 第 18 屆復賽 一 參考解答 1 對于一個望遠系統(tǒng)來說 從主光軸上無限遠處的物點發(fā)出的入射光為平行于主光軸 的光線 它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應與主光軸平行 即像點也在主光軸上無限遠處 如 圖復解 18 1 1 所示 圖中 為左端球面的球心 1C 由正弦定理 折射定律和小角度近似得 1 111sin AFRririn 即 2 1n 光線 射到另一端面時 其折射光線為平行于主光軸的光線 由此可知該端面的球1PF 心 一定在端面頂點 的左方 等于球面的半徑 如圖復解 18 1 1 2CB2C2R 仿照上面對左端球面上折射的關系可得 3 12FRn 又有 4 11BLA 由 2 3 4 式并代入數(shù)值可得 5 25cmR 即右端為半徑等于 5 的向外凸的球面 2 設從無限遠處物點射入的平行光線用 表示 令 過 過 如圖復1CA 解 18 1 2 所示 則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點 即為左端球面對此無限遠M 物點成的像點 現(xiàn)在求 點的位置 在 中M1AC 6 11sin siin RAMC 又 7 1sin 已知 均為小角度 則有 8 11 RAMn 與 2 式比較可知 即 位于過 垂直于主光軸的平面上 上面已知 玻1AF 1F 璃棒為天文望遠系統(tǒng) 則凡是過 點的傍軸光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光M 線 容易看出 從 射出 的光線將沿原方向射出 這也就是過 點的任意光線 包括2CM 光線 從玻璃棒射出的平行光線的方向 此方向與主光軸的夾角即為 由圖復2 18 1 2 可得 9 1122CFARB 由 2 3 式可得 112RF 則 10 21R 3 第 17 屆預賽 三 參考解答 物體 通過平行玻璃板及透鏡成三次像才能被觀察到 S 設透鏡的主軸與玻璃板下表面和上表面的交點分別為 和A 作為物 通過玻璃板 的下表面折射成像于點 處 BH1S 由圖預解17 3 根據(jù)折射定律 有 sinir 式中 是空氣的折射率 對傍軸光線 很小 1 0n ir 則sitai star 1ADnS 式中 為物距 為像距 有S1 1 SAn 將 作為物 再通過玻璃板 的上表面折射成像于點 處 這時物距1SH2S 為 同樣根據(jù)折射定律可得像距B 2 12SBn 將 作為物 通過透鏡 成像 設透鏡與 上表面的距離為 則物距 根2SLHxuxSB 據(jù)題意知最后所成像的像距 代入透鏡成像公式 有 vxSAB 3 211fxSB 由 1 2 3 式代入數(shù)據(jù)可求得 4 1 0cmx 即 應置于距玻璃板 上表面1 0 cm 處 LH 4 第 17 屆復賽 二 參考解答 在由直線 與小球球心 所確定的平面中 激光光束兩次折射的光路 如圖復BCOBCDE 解 17 2 所示 圖中入射光線 與出射光線 的延長線交于 按照光的折射定律有DEG 1 0sini 式中 與 分別是相應的入射角和折射角 由幾何關系還可知 2 sinlr 激光光束經(jīng)兩次折射 頻率 保持不變 故在 兩次折射前后 光束中一個光子的動量的大小 和 相等 即p hpc 3 式中 為真空中的光速 為普朗克常量 因c 射入小球的光束中光子的動量 沿 方向 pBC 射出小球的光束中光子的動量 沿 方向 DE 光子動量的方向由于光束的折射而偏轉(zhuǎn)了一個角度 由圖中幾何關系可知2 4 2 若取線段 的長度正比于光子動量 的長度正比于光子動量 則線段 的1GNp2GNp 12N 長度正比于光子動量的改變量 由幾何關系得 5 2sinsihpc 為等腰三角形 其底邊上的高 與 平行 故光子動量的改變量 的方12GNGHCDp 向沿垂直 的方向 且由 指向球心 CDO 光子與小球作用的時間可認為是光束在小球內(nèi)的傳播時間 即 6 02cos rtn 式中 是光在小球內(nèi)的傳播速率 0 cn 按照牛頓第二定律 光子所受小球的平均作用力的大小為 7 0sincohpftr 按照牛頓第三定律 光子對小球的平均作用力大小 即Ff 8 0sincohFr 力的方向由點 指向點 由 1 2 4 及 8 式 經(jīng)過三角函數(shù)關系運算 OG 最后可得 9 2020 nlhrlFrn 評分標準 本題 20 分 1 式 1 分 5 式 8 分 6 式 4 分 8 式 3 分 得到 9 式再給 4 分 5 六 參考解答 1 由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的 點出發(fā) 在光纖中傳播的光線都與軸相交 位O 于通過軸的縱剖面內(nèi) 圖復解 17 6 1 為縱剖面內(nèi)的光路圖 設由 點發(fā)出的與軸的夾角為O 的光線 射至 分界面的入射角為 反射角也為 該光線在光纖中多次反射時的 ABii 入射角均為 射至出射端面時的入射角為 若該光線折射后的折射角為 則由幾何i 關系和折射定律可得 1 90i 2 sniFA 當 大于全反射臨界角 時將發(fā)生全反射 沒有光能損失 相應的光線將以不變的光強射iCi 向出射端面 而 的光線則因 在發(fā)生反射時有部分光線通過折 射進入 反射光強隨著反射次B 數(shù)的增大而越來越弱 以致在未 到達出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了 因而能射向出射端面的光線的 的數(shù)值一定大于或i 等于 的值由下式?jīng)Q定Ci 3 sinACB 與 對應的 值為Ci 4 90Ci 當 時 即 時 或0 22sinicos1sin1 BCCAi n 時 由 發(fā)出的光束中 只有 的光線才滿足 的條件 才2sinABA O Ci 能射向端面 此時出射端面處 的最大值為 5 max90Ci 若 即 時 則由 發(fā)出的光線都能滿足 的條件 因而都0C 2sinABA OCi 能射向端面 此時出射端面處 的最大值為 6 max0 端面處入射角 最大時 折射角 也達最大值 設為 由 2 式可知 max 7 maxaxsinsiFA 由 6 7 式可得 當 時0C 8 maxsinAF 由 3 至 7 式可得 當 時0C 9 2maxaxcosiniAFBAn 的數(shù)值可由圖復解 17 6 2 上的幾何關系求得max 10 21max 21 sin dh 于是 的表達式應為Fn 11 222110 sinAdh 0Ca 12 222112 FBd 0 2 可將輸出端介質(zhì)改為空氣 光源保持不變 按同樣手續(xù)再做一次測量 可測得 1h 這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同 已知空氣的折射率等于 1 故2h 1d2 有 當 時 13 0Ca 222110 1sinAdh 當 時 14 0Ca 222112 1BAdhn 將 11 12 兩式分別與 13 14 相除 均得 15 2221121 Fdhdn 這結果適用于 為任何值的情況 0 評分標準 本題 25 分 1 18 分 8 式 9 式各 6 分 求得 11 式 12 式再各給 3 分 2 7 分 13 式 14 式各 2 分 求得 15 式再給 3 分 如果利用已知其折射率的 液 體代替空氣 結果正確 照樣給分 6 第 16 屆預賽 五 參考解答 1 用作圖法求得物 的像 及所用各條光線的光路如圖預解16 5所示 AP 說明 平凸薄透鏡平面上鍍銀后構成一個由會聚透鏡 和與它密接的平面鏡 的組合LM 如圖預解16 5所示 圖中 為 的光心 為主軸 和 為 的兩個焦點 LMOL AF FL 為物 作圖時利用了下列三條特征光線 AP 1 由 射向 的入射光線 它通過 后方向不變 沿原方向射向平面鏡 然后POOM 被 反射 反射光線與主軸的夾角等于入射角 均為 反射線射入透鏡時通過光心 M O 故由透鏡射出時方向與上述反射線相同 即圖中的 P 2 由 發(fā)出已通過 左方焦點 的入射光線 它經(jīng)過 折射后的出射線與主LFRL 軸平行 垂直射向平面鏡 然后被 反射 反射光線平行于 的主軸 并向左射入 ML 經(jīng) 折射后的出射線通過焦點 即為圖中的 L 3 由 發(fā)出的平行于主軸的入射光線 它經(jīng)過 折射后的出射線將射向 的焦PPQL 點 即沿圖中的 方向射向平面鏡 然后被 反射 反射線指向與 對稱的 點 F QFM F 即沿 方向 此反射線經(jīng) 折射后的出射線可用下法畫出 通過 作平行于 的輔助LOQ 線 通過光心 其方向保持不變 與焦面相交于 點 由于入射平行光線經(jīng)透 SO T 鏡后相交于焦面上的同一點 故 經(jīng) 折射后的出射線也通過 點 圖中的 即為QFLQT 經(jīng) 折射后的出射光線 QFL 上列三條出射光線的交點 即為 組合所成的 點的像 對應的 即 的像 PMP A 點 由圖可判明 像 是倒立實像 只要采取此三條光線中任意兩條即可得 即 A P 為正確的解答 2 按陸續(xù)成像計算物 經(jīng) 組合所成像的伙置 大小 L 物 經(jīng)透鏡 成的像為第一像 取 由成像公式可得像距 即像在APL12uf 12vf 平向鏡后距離 處 像的大小 與原物相同 2f H H 第一像作為物經(jīng)反射鏡 成的像為第二像 第一像在反射鏡 后 處 對 來說MM2f 是虛物 成實像于 前 處 像的大小 也與原物相同 2f H 第二像作為物 而經(jīng)透鏡 而成的像為第三像 這時因為光線由 右方入射 且物LL 第二像 位于 左方 故為虛物 取物 由透鏡公式 可得像距32uf 31uvf 320fuvf 上述結果表明 第三像 即本題所求的像的位置在透鏡左方距離 處 像的大小23f 可由 求得 即H 31vu 3H 像高為物高的 13 7 第 16 屆復賽 二 參考解答 l 在所示的光路圖 圖復解16 2 1 中 人射光 經(jīng)透鏡 折射后沿 射向 AB1LBC2L 經(jīng) 折射后沿 出射 與透鏡主軸的交點分別為 和 如果2LCDABCDP 為物點 因由 沿主軸射向 的光線方向不變 由透鏡性質(zhì)可知 為 經(jīng)過 所成PP1O 1 的像 為 經(jīng) 所成的像 因而圖中所示的 之間有下列關系 P 2L1uv2 1 11uvf 2 22f 3 1duv 當入射光線 與出射光線平行時 圖中的 利用相似三角形關系可求得PB 21vhu 21v 從而求得 4 21v 聯(lián)立方程 1 2 3 4 消去 和 可得1v2u 5 112 fdu 由于 均已給定 所以 為一確定值 這表明 如果入射光線與出射光線d1f21u 平行 則此入射光線必須通過主軸上一確定的點 它在 的左方與 相距1L1 處 又由于 與 無關 凡是通過該點射向 的入射光線都和對應的出112 fdu 1u 射光線相互平行 2 由所得結果 5 式可以看出 當 時 此情況下的光路圖就是12df 10u 圖復解16 2 1 當 時 此時入射光線和出射光線均平行于主軸 光路如12df 1u 0 圖復解16 2 2 當 時 這表明 點在 的右方 對 來說 它是虛物 由 1 式12df 10u P1L 可知 此時 由 可知 又由 可知 所以此時v 21fv 20u 20uv 20v 的光路圖如圖復解16 2 3