2015年新課標(biāo)1卷文科數(shù)學(xué)高考真題及答案

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2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1卷）文 一、選擇題：每小題5分,共60分 1、已知集合，則集合中的元素個數(shù)為 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 2、已知點(diǎn)，向量，則向量 （A） （B） （C） （D） 3、已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D） 4、如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 5、已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則 （A） （B） （C） （D） 6、《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ） （A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛 7、已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ） （A） （B） （C） （D） 8、函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ） （A） （B）（C）（D） 9、執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ） （A） （B） （C）7 （D）8 10、已知函數(shù) ， 且，則 （A） （B）（C）（D） 11、圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （A） （B） （C） （D） 12、設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且 ，則( )（A） （B） （C） （D） 二、填空題：本大題共4小題,每小題5分 13、數(shù)列中為的前n項和，若，則 . 14.的圖像在點(diǎn)的處的切線過點(diǎn)，則 . 15. 若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 ． 16.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為 ． 三、解答題 17. （本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，. （I）若，求 （II）若，且 求的面積. 18. （本小題滿分12分）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，， （I）證明：平面平面； （II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積. 19. （本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值. （I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為 ，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題： （i）當(dāng)年宣傳費(fèi)=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？ （ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？ 20. （本小題滿分12分）已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點(diǎn).（I）求k的取值范圍；（II）若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求. 21. （本小題滿分12分）設(shè)函數(shù). （I）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；（II）證明：當(dāng)時. 請考生在22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號 22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖AB是O直徑，AC是O切線，BC交O與點(diǎn)E. （I）若D為AC中點(diǎn)，證明：DE是O切線； （II）若 ，求的大小. 23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 中，直線，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （I）求的極坐標(biāo)方程. （II）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點(diǎn)為求 的面積. 24. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知函數(shù) . （I）當(dāng) 時求不等式 的解集； （II）若的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍. 一、 D A C C B B B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、 填空題（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、 17、解：（I）由題設(shè)及正弦定理可得=2ac. 又a=b，可得cosB== ……6分 （II）由（I）知=2ac. 因為B=，由勾股定理得. 故，的c=a=. 所以△ABC的面積為1. ……12分 18、解：（I）因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD. 因為BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）設(shè)AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得 AG=GC=，GB=GD=. 因為AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=. 由BE⊥平面ABCD,知△EBG為直角三角形，可得BE=. 由已知得，三棱錐E-ACD的體積=ACGDBE= 故=2 ……9分 從而可得AE=EC=ED=.所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與 △ECD的面積均為. 故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3+2. ……12分 19、解：（I）由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程式類型.（II）令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程式.由于 ,， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為,因此y關(guān)于的回歸方程為 （Ⅲ）（i）由（II）知，當(dāng)=49時，年銷售量y的預(yù)報值， 年利潤z的預(yù)報值 ……9分 （ii）根據(jù)（II）的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值 . 所以當(dāng)，即=46.24時，取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大. ……12分 20、解：（I）由題設(shè)，可知直線的方程為.因為與C交于兩點(diǎn)，所以. 解得 . 所以k的取值范圍為. ……5分 （II）設(shè).將代入方程，整理得 . 所以. . 由題設(shè)可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1. 故圓心C在上，所以. ……12分 21、解：（I）的定義域為. 當(dāng)≤0時，沒有零點(diǎn)； 當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，又， 當(dāng)b滿足0＜b＜且b＜時，，故當(dāng)＜0時存在唯一零點(diǎn).……6分 （II）由（I），可設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時，＜0； 當(dāng)時，＞0. 故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時， 取得最小值，最小值為. 由于，所以. 故當(dāng)時，. ……12分 23、解：（I）因為，所以的極坐標(biāo)方程為， 的極坐標(biāo)方程為. ……5分 （II）將代入，得，解得 .故，即 由于的半徑為1，所以的面積為. ……10分 24、解：（I）當(dāng)時，化為. 當(dāng)時，不等式化為，無解； 當(dāng)時，不等式化為，解得； 當(dāng)，不等式化為-+2＞0，解得1≤＜2. 所以的解集為. ……5分 （II）由題設(shè)可得， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個丁點(diǎn)分別為 ,△ABC的面積為. 由題設(shè)得＞6，故＞2. 所以的取值范圍為. ……10分