2022年高二數(shù)學 8.4雙曲線的幾何性質(第一課時)大綱人教版必修

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1、2022年高二數(shù)學 8.4雙曲線的幾何性質(第一課時)大綱人教版必修 課時安排 4課時 從容說課 本節(jié)通過類比橢圓的幾何性質，結合雙曲線的標準方程討論雙曲線的幾何性質，讓學生再一次體會用曲線的方程研究曲線性質的方法. 學生通過自學，可以掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點等性質，對于雙曲線的漸近線的證明是學生學習的難點.教學中應強調“漸近”兩個字的含義：當雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無限的，或當雙曲線上的動點P沿著雙曲線無限遠離雙曲線的中心時，點P到這條直線的距離逐漸變小而無限接近于0. 本節(jié)例2的設計，旨在讓學生利用雙曲線的幾何性質數(shù)學地解決實

2、際問題，例3則給出了雙曲線的第二定義（比值定義）及雙曲線準線的方程，為解決問題提供了方便. 對直線與雙曲線的位置關系的掌握,仍是從直線與雙曲線的公共點展開的,通過直線與雙曲線的方程將其轉化為求方程解的個數(shù)問題,教學中應指出:所得的方程不一定是一元二次方程,需要對其二次項系數(shù)進行討論.使學生認識到,脫離了二次方程而去談論△和根與系數(shù)的關系是毫無意義的. ●課 題 §8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質（一） ●教學目標 （一）教學知識點 雙曲線的范圍、對稱性（對稱軸、對稱中心）、頂點（截距）、實軸、虛軸的概念及雙曲線的漸近線與離心率. （二）能力訓練要求 1.使學生理解并掌握

3、雙曲線的范圍. 2.使學生理解并掌握雙曲線的對稱性，明確標準方程所表示的雙曲線的對稱軸、對稱中心. 3.使學生理解雙曲線的漸近線的定義，掌握雙曲線漸近線的方程，并能利用雙曲線的漸近線較準確地畫出雙曲線的草圖. 4.使學生掌握離心率的定義及其幾何意義. （三）德育滲透目標 使學生充分認識數(shù)與形的有機聯(lián)系，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一. ●教學重點 雙曲線的簡單幾何性質及其性質的討論方法. ●教學難點 雙曲線的漸近線 ●教學方法 指導學生自學法 雙曲線的幾何性質討論的內容，除漸近線外，與橢圓的幾何性質類同，對橢圓的幾何性質及其研究方法，學生已經初步掌握，在教師的指導下，自學雙曲線的幾何

4、性質不會有什么問題，同時通過學生的自學，學生的親身實踐與體驗，對于學生掌握雙曲線的幾何特征及問題的研究方法，能起到加深印象與理解的作用，達到突破難點、鞏固所學知識的目的. ●教具準備 投影片一張 本課時教案后面的預習內容及預習提綱（記作§8.4.1 A） 多媒體課件一個： 先作出中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線，其次，隨著內容的討論至頂點時，標出A1、A2、B1、B2點，第三，討論到實軸、虛軸概念時，讓線段A1A2、B1B2閃動，第四，到漸近線時，按要求作出矩形，作出對角線，并隨著x的增大（縮?。┭娱L漸近線、雙曲線，讓學生觀察曲線逐步接近直線. ●教學過程 Ⅰ.課題導入 ［師］

5、前面我們學習了橢圓的簡單性質：范圍、對稱性、頂點、離心率，請同學們回憶一下，對于橢圓(a＞b＞0)其幾何性質的具體內容及其研究方法. ［生］橢圓的范圍是|x|≤a,|y|≤b（教師板書） ［師］討論方法是什么？ ［生］因兩個非負數(shù)的和等于1，那么由方程可知，每一個大于1，即小于或等于1，據(jù)此得到橢圓的范圍. ［師］請接著談一下其他性質. ［生］對稱性：橢圓關于x 軸、y軸、原點都對稱，原點是橢圓的中心. 頂點：橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點，其頂點坐標是（±a,0）,(0,±b) 離心率：e=(e∈(0,1)) （學生回答，教師板書） ［師］在橢圓頂點的研究中，我們給出

6、了長軸、短軸的概念，明確了長軸長、短軸長，以及a、b、c的幾何意義，誰來補充一下？ ［生］橢圓在同一條對稱軸上的兩個頂點間的線段，較長的是橢圓的長軸，較短的是橢圓的短軸，長軸長是2a,短軸長是2b，a是長半軸的長，b是短半軸的長，c是半焦距. ［師］很好！離心率對橢圓的扁圓情況有怎樣的影響呢？ ［生］0＜e＜1，當e越接近1時，c越接近于a,b=越小，橢圓就越扁；當e越接近于0時，c越小，b=越接近于a，橢圓就越接近于圓. ［師］好！橢圓的對稱性、離心率、頂點三種性質的討論方法是什么呢？ ［生］討論橢圓的對稱性時，用-y代y，方程不變，則橢圓關于x軸對稱；用-x代x，方程不變，則橢圓

7、關于y軸對稱；同時用-y代y，-x代x，方程不變，則橢圓關于原點對稱. 討論離心率時，由離心率的定義，得到了離心率的范圍. 討論頂點時，由頂點的定義及橢圓的對稱軸是坐標軸，令x=0，得頂點的縱坐標，令y=0得頂點的橫坐標，據(jù)此可寫出頂點的坐標. ［師］很好！同學們對橢圓的簡單幾何性質，掌握得基本熟練.下面，我們用類比的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質.（板書課題） Ⅱ.講授新課 ［師］上節(jié)課下課時，老師請同學們依照研究橢圓的簡單幾何性質的方法和步驟去試推雙曲線的簡單幾何性質，完成了這個作業(yè)的同學請舉手. ［生］舉手 ［師］好！請放下，哪位同學對照橢圓的簡單幾何性質的順序，來談一下雙

8、曲線(a＞0,b＞0）的幾何性質，并談談這個性質的討論方法. ［生甲］范圍，|x|≥a, 即x≥a,x≤-a 討論方法是由標準方程可知與一個非負數(shù)的差等于1，所以≥1，由此推得x的范圍.y除受到式子本身的制約外，沒有任何限制，說明雙曲線位于x≥a與x≤-a的區(qū)域內. ［師］好，請另一位同學接著說. ［生乙］對稱性，雙曲線關于坐標軸、原點都是對稱的，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，即雙曲線的中心. 討論方法是以-y代y，方程不變，所以雙曲線關于x軸對稱；以-x代x，方程不變，所以雙曲線關于y軸對稱；同時以-y代y，以-x代x，方程不變，所以雙曲線關于原點對稱.

9、 ［生丙］頂點，只有兩個，即（±a,0）. 討論方法是令y=0,得x=±a,因此雙曲線和它的一條對稱軸——x軸有兩個交點 A1（-a,0）,A2(a,0),所以雙曲線的頂點是（±a,0）. 令x=0時，解得y2=-b2,無實數(shù)解，說明雙曲線與它的另一條對稱軸——y軸沒有交點，故雙曲線頂點只有兩個. ［師］請注意：雙曲線(a＞0,b＞0)與y軸沒有交點，但我們也把B1（0，-b),B2（0，b）畫在y軸上.（打出多媒體課件） 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，實軸的長為2a,虛軸的長為2b，a是實半軸的長，b是虛半軸的長，焦點始終在實軸上.下面，請一

10、位同學來談一下離心率. ［生丁］雙曲線的焦距與實軸長的比e=叫做雙曲線的離心率.e=且e∈(1,+∞)，這是因為c＞a＞0. ［師］離心率對雙曲線張口的大小有什么影響？為搞清這個問題，我們先來看雙曲線特有的另外一個性質——漸近線. 經過A2、A1作y軸的平行線x=±a,經過B2、B1作x軸的平行線y=±b，這四條直線圍成一個矩形（打出多媒體課件），矩形的兩條對角線所在的直線的方程是——（教師可拉長語氣，等待學生作答）y=±x，從圖中可以看出，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近.我們觀察到的這個結論可靠不可靠呢？下面，我們來進行證明. 先取雙曲線在第一象限的部分進行證明，這一部

11、分的方程可寫成 y=(x＞a) 設M（x,y）是它上面的點，N（x,y）是直線y=x上與M有相同橫坐標的點，則y=x ∵y== ∴|MN|=Y-y= ∴|MN|= ∴|MN|= 設|MQ|是點M到直線y=x的距離，則|MQ|＜|MN|，當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是說，雙曲線在第一象限部分從射線ON的下方逐漸接近于ON. 在其他象限內，也可以證明類似的情況. 我們把兩條直線y=±x叫做雙曲線的漸近線. 在方程中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實軸和虛軸的長都等于2a,這時四條直線x=±a,y=

12、±a圍成正方形.漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角，實軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線. 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖，具體做法：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內任意一點的位置，然后再過這兩個點并根據(jù)雙曲線在第一象限內從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線. 有了雙曲線的漸近線，我們再來討論離心率對雙曲線張口大小的影響，就方便了. 由等式c2-a2=b2可得 由上式可以看出，e越大，也越大，即漸近線y=±x的斜率的絕對值越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹

13、逐漸變得開闊，由此可知，雙曲線的離心率越大，它的張口就越大. Ⅲ.例題分析 ［例1］求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長是多少？虛半軸長呢？焦點坐標、離心率、漸近線方程各是什么？ ［師］要解決這個問題，首先需要怎樣做？ ［生］將所給的方程化成標準方程. ［師］好，下面請同學們完成此題. （學生在下面做，請一位同學在黑板上板書） （教師在巡視時可提出問題：化成標準方程后，可以看出焦點在哪個軸上呢？或者雙曲線的實軸在哪個坐標軸上？寫出焦點坐標、漸近線方程時一定要注意?。? （學生解答之后，教師講解，也許漸近線方程會出錯，要告訴學生怎樣正確地寫出漸近線方程） ［師］根據(jù)雙曲線的

14、標準方程寫出漸近線方程的方法有兩種： 1.畫出以實軸長、虛軸長為鄰邊的矩形，寫出其對角線方程，特別要注意對角線的斜率的確定. 2.將雙曲線標準方程等號右邊的1改為0，即得雙曲線的漸近線方程，再據(jù)此推出y=kx的形式. 另外需要注意的是：若已知雙曲線的標準方程則可以寫出其漸近線方程，但若已知雙曲線的漸近線方程，則不能僅據(jù)此確定a、b的值，只能確定a、b的關系，這點與離心率是類同的. Ⅳ.課堂練習 課本P113練習1、5 1.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點和焦點坐標、離心率、漸近線方程： （1）x2-8y2=32 (2)9x2-y2=81 (3)x2-y2=-4 (4)

15、答案：（1）2a=8,2b=4;頂點坐標為（4，0），（-4，0）；焦點坐標為(6,0),(-6,0);e=;漸近線方程為y=±x. （2）2a=6,2b=18;頂點坐標（3，0），（-3，0）；焦點坐標（3，0），（-3，0）；e=;漸近線方程為y=±3x. （3）2a=4,2b=4;頂點坐標是（0，2），（0，-2）；焦點坐標為（0，2），（0，-2）；離心率e=;漸近線方程為x=±y. (4)2a=10,2b=14;頂點坐標是（0，5），（0，-5）；焦點坐標為（0，），（0，-）；離心率e=;漸近線方程為y=±x. 5.當漸近線的方程為y=±x時，雙曲線的標準方程一定是嗎？如果

16、不一定，舉出一個反例. 答案：不一定是 反例：雙曲線的準線方程為： y=±x. Ⅴ.課時小結 本節(jié)課我們討論了雙曲線的簡單幾何性質、范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線.為了加深理解和掌握，大家可以與橢圓對照，比較異同點，準確把握，同時，請同學們寫出焦點在y軸上的標準方程表示的雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實半軸長、虛半軸長、離心率、漸近線方程. Ⅵ.課后作業(yè) （一）課本P113習題8.4 1、5、6 （二）1.預習內容：課本P111例2、例3 2.預習提綱： （1）解有實際意義的題目關鍵是什么？ （2）不清楚雙曲線焦點位置時，其標準方程有幾種形式？是怎樣的？ （3）雙曲線的比值定義是什么？ （4）怎樣的直線叫做雙曲線的準線？ （5）對于確定的雙曲線，它有幾條準線？ （6）中心在原點、焦點在y軸上的雙曲線，它的準線方程是怎樣的？ ●板書設計 §8.4.1 雙曲線的簡單幾何性質 橢圓的標準方程 (a＞b＞0) 范圍 對稱性 頂點 離心率 雙曲線的標準方程 (a＞0,b＞0) 范圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線 例1 練習 小結