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課題：函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)
---導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
教材：普通高中課程標準實驗教科書人教版A版選修2-2
一．【教學目標】
1．知識目標
（1）理解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系。
（2）掌握用導數(shù)法求函數(shù)的最大值與最小值的方法和步驟。
2．能力目標
（1）通過在教師引導下學生自主探索新知的過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的自學能力，為學生學習的可持續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。
（2）培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達和數(shù)學符號表示能力。
3．情感和價值目標
（1）讓
2、學生感受數(shù)學問題探索的樂趣和成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和信心。
（2）提高學生的數(shù)學能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和理性精神。
二．【教學重點、難點】
1.教學重點：利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值。
2.教學難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別和聯(lián)系。
三．【教學方法與手段】
1.教學方法：啟發(fā)探究式教學法
2.教學手段：多媒體、實物投影
四．【教學過程】
【復習引入】
復習：函數(shù)極大值、極小值是怎樣定義的？
函數(shù)最大值、最小值又是怎樣定義的？
【設(shè)計意圖】通過復習前面所學的極值的概念，也通過展現(xiàn)學生作業(yè)中出現(xiàn)的書寫形式：把寫成，從而回顧函
3、數(shù)最值的概念。為后面探索最值與極值的關(guān)系作了鋪墊。
【探究新知】
觀察圖中定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象。
圖中哪些是極大值，哪些是極小值
你能找出所給函數(shù)的最大值和最小值嗎？
答：是極大值，與是極小值。
是最大值，是最小值
觀察所給的4個圖像，探究：函數(shù)的最值與極值有什么關(guān)系？
【設(shè)計意圖】讓學生觀察所給出的函數(shù)圖像，討論函數(shù)最值與極值的聯(lián)系與區(qū)別，同時讓學生發(fā)表各自的見解。在學生討論的過程中可以作適當?shù)奶崾尽?
比如：
1）閉區(qū)間上的函數(shù)的最值一定存在嗎？個數(shù)是多少？那極值？
2）函數(shù)最值可以在哪里取得？函數(shù)極值可以在哪里取得？
3）函數(shù)的極值與最值之間有沒有必然的聯(lián)系？
4、
小結(jié)1：函數(shù)的最值與極值之間的聯(lián)系與區(qū)別：
（1）整體與局部的關(guān)系
函數(shù)的最值是一個整體性概念，是比較整個定義域內(nèi)的所有函數(shù)值得出，具有絕對性；
函數(shù)的極值是一個局部性概念，是比較極值點左右的函數(shù)值得出的，具有相對性。
（2）存在性及個數(shù)：
在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最大值與最小值，且各有一個；
區(qū)間上的函數(shù)的極值不一定存在，如果存在，可能不止一個。
（3）取值位置：函數(shù)的最值可以在端點取得；
極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在端點取得。
（4）有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必為極值。
【設(shè)計意圖】正是學生的探究總結(jié)，尤其是（4）中提到的最值與極值關(guān)系
5、，才可以引出小結(jié)2。
小結(jié)2：只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出閉區(qū)間上的函數(shù)的最值。
【設(shè)計意圖】這給出了求最值的一種思路：比較區(qū)間上的所有極值和區(qū)間端點處的函數(shù)值，可得出最后的結(jié)論。（既然提到了極值，為后面引出函數(shù)極值的求解步驟作了提示）
復習：求可導函數(shù)的極值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)；
（2）求方程的根；
（3）列表；
（4）結(jié)論：說明極大（?。┲?。
【設(shè)計意圖】結(jié)合小結(jié)2，對求極值的求解步驟，改成求最值的步驟，應作如何的修改，從而引出了對求最值步驟的思考。
小結(jié)3：導數(shù)法求閉區(qū)間函數(shù)的最值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定
6、義區(qū)間，求導數(shù)；
（2）求方程的根；
（3）列表（注意端點的函數(shù)值）；
（4）結(jié)論：說明最大（?。┲?。
【設(shè)計意圖】為學生求最值提供了又一方法和步驟。
【內(nèi)化新知】
學生練習：
練習1：函數(shù)的最小值（）
(A)0；(B)；(C)；(D)；
【設(shè)計意圖】主要是讓學生熟悉導數(shù)法求最值的思想方法。
練習2：求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值。
解：因為
令，得或
列表：
-2
-1
2
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
所以，所求的最大值是22，最小值是-5
【設(shè)計意圖】主要是讓學生熟悉導數(shù)法求最值的基本步驟和格式。
7、
通過練習1與練習2對比，讓學生領(lǐng)會到小題可以小做，大題大做：作為小題，把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出閉區(qū)間上的函數(shù)的最值；作為大題，必須要注意書寫格式，尤其要列表時要注意：比如區(qū)間端點的導數(shù)值不存在，區(qū)間端點的函數(shù)值要算出來等。
變式1：已知函數(shù)，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
變形：，，
【設(shè)計意圖】在練習2的基礎(chǔ)上，引出了變式1的問題。像這樣的不等式恒成立問題，學生以前已經(jīng)接觸過。只是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值而已。而前面的練習2也已經(jīng)求出了最大值，從而可以快速找出了的取值范圍。從而強化了新舊知識間的聯(lián)系。
“變式1中，像這樣的不等式，還可以作什么
8、樣的變化？”通過這樣的設(shè)問，引發(fā)學生對問題的思考，也再次掀起學生探究問題的熱情。同時也啟發(fā)學生一題多變，避免了題海戰(zhàn)術(shù)。
變式2：已知函數(shù)在區(qū)間的最大值為20。
1)求a的值；2）求函數(shù)在該區(qū)間上的最小值。
解：因為
令，得或
列表：
-2
-1
2
-
0
+
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
又，則
又函數(shù)在區(qū)間的最大值為20
所以，則
【設(shè)計意圖】變式2是在練習1的基礎(chǔ)上引入一個參數(shù)。通過比較變式2與練習1，啟發(fā)學生如何去修改原有的解答過程，從而使問題的解決水到渠成；同時也讓學生消除對含參問題的懼怕的心理陰影。
變式3：已
9、知函數(shù)，試問是否存在實數(shù)，使在區(qū)間上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
解：因為
令，得或
當時，列表得：
-1
（-1，0）
0
（0，2）
2
+
0
-
-7a+b
單調(diào)遞增
極大值b
單調(diào)遞減
-16a+b
則
則，所以
當時，列表得：
-1
（-1，0）
0
（0，2）
2
-
0
+
-7a+b
單調(diào)遞減
極大值b
單調(diào)遞增
-16a+b
則
則，所以
所以或
【設(shè)計意圖】有了變式2作基礎(chǔ)，含參的變式3也就有了解題的思路了。不同的是該函數(shù)
10、在區(qū)間上的增減性，以及函數(shù)的最大值和最小值的取得，必須由的正負來決定。從而引導學生學會分類處理問題，強化學生的分類思想意識。當然，通過變形3的練習，也讓學生體會到導數(shù)法求最值中表格的優(yōu)勢所在:從表格中可以快速找出函數(shù)的最大值和最小值，優(yōu)化了解題的過程。
【課堂小結(jié)】
1）函數(shù)的極值與最值的關(guān)系；
2）導數(shù)法求函數(shù)最值的步驟；
【設(shè)計意圖】
讓學生自己去總結(jié)，深化學生對知識理解，完善認識結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟思想方法；也強化了學生的情感體驗，提高認識能力。
【課后作業(yè)】
A組：求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。
B組：已知函數(shù)，當時，函數(shù)的最小值為4。（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在該區(qū)間上的
11、最大值。
【設(shè)計意圖】
A組題是必做題，是檢測所有學生特別是中下層學生的聽課效果；而B組題是選做題，在原有的基礎(chǔ)上作更深一層的研究，是檢測中上層學生分析處理問題的能力。當然，這課外作業(yè)也有利于教師發(fā)現(xiàn)教學中的不足，及時反饋調(diào)節(jié)。
教學設(shè)計說明
本節(jié)課旨在加強學生運用導數(shù)的基本思想去分析和解決問題的意識和能力，即利用導數(shù)知識求閉區(qū)間上可導的連續(xù)函數(shù)的最值，這是導數(shù)作為數(shù)學工具的一個具體體現(xiàn)，整堂課通過“比較函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，從而由求極值的求解步驟過渡到函數(shù)最值的求解步驟，到導數(shù)法求函數(shù)最值”為線索展開。
1．由于學生對極值的概念還談不上深入了解，因此教學中從直觀性和新舊
12、知識的矛盾沖突中激發(fā)學生的探究熱情，充分利用學生已有的知識體驗和生活經(jīng)驗，遵循學生認知的心理規(guī)律，努力實現(xiàn)課程改革中以“學生的發(fā)展為本”的基本理念。
2．關(guān)于教學過程，對于本節(jié)課的重點：求閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導的函數(shù)的最值的方法和一般步驟，必須讓學生在課堂上就能掌握。對于難點：函數(shù)的最值與極值的聯(lián)系與區(qū)別，主要是通過觀察所給圖像，探究出其聯(lián)系和區(qū)別的，從而探討出求最值問題的優(yōu)化方法。層層遞進逐步提出，讓學生帶著問題走進課堂，師生共同探究解決，知識的建構(gòu)過程充分調(diào)動學生的主觀能力性。
3．關(guān)于教學法，為充分調(diào)動學生的學習積極性，讓學生能夠主動愉快地學習，本節(jié)課始終貫徹“教師為主導、學生為主體、探究為主線、思維為核心”的數(shù)學教學思想，引導學生主動參與到課堂教學全過程中。
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A版高中選修2-2《函數(shù)的最大小值與導數(shù)》教案設(shè)計--劉冰
