2019高考數(shù)學二輪復習 第17講 坐標系與參數(shù)方程練習 理

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1、第17講　坐標系與參數(shù)方程 1.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+12t,y=3+3t(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的方程為sin θ-3ρcos2θ=0. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)寫出直線l與曲線C交點的一個極坐標. 2.(2018安徽聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C1的極坐標方程為ρ2-22ρsinθ-π4-2=0,曲線C2的極坐標方程為θ=π4,C1與C2相交于A,B兩點. (1)把C1和C2的極坐標方程化為直角坐

2、標方程,并求點A,B的直角坐標; (2)若P為C1上的動點,求|PA|2+|PB|2的取值范圍. 3.(2018沈陽質(zhì)量檢測(一))設(shè)過平面直角坐標系的原點O的直線與圓(x-4)2+y2=16的一個交點為P,M為線段OP的中點,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求點M的軌跡C的極坐標方程; (2)設(shè)點A的極坐標為3,π3,點B在曲線C上,求△OAB面積的最大值. 4.(2018福州質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ

3、cosθ-π6=2.已知點Q為曲線C1上的動點,點P在線段OQ上,且滿足|OQ|·|OP|=4,動點P的軌跡為C2. (1)求C2的直角坐標方程; (2)設(shè)點A的極坐標為2,π3,點B在曲線C2上,求△AOB面積的最大值. 5.(2018鄭州第二次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,點A的極坐標為2,π4,直線l的極坐標方程為ρcosθ-π4=a,且l過點A,曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosα,y=3sinα(α為參數(shù)). (1)求曲線C1上的點到直線l的距離

4、的最大值; (2)過點B(-1,1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M,N兩點,求|BM|·|BN|的值. 6.(2018課標全國Ⅰ,22,10分)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 7.(2018武漢調(diào)研測試)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=4cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),直線l

5、的參數(shù)方程為x=t+3,y=2t-23(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于A,B兩點. (1)求|AB|; (2)若F為曲線C的左焦點,求FA·FB的值. 8.(2018濰坊統(tǒng)一考試)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosα,y=2+2sinα(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sin θ(ρ≥0,0≤θ<π). (1)寫出曲線C1的極坐標方程,并求C1與C2交點的極坐標; (2)射線θ=βπ6≤β≤π3與曲線C1,C2分別交于點A,B(A,B異于原點

6、),求|OA||OB|的取值范圍. 答案全解全析 1.解析　(1)∵sin θ-3ρcos2θ=0, ∴ρsin θ-3ρ2cos2θ=0, 即y-3x2=0. ∴曲線C的直角坐標方程為y-3x2=0. (2)將x=1+12t,y=3+3t代入y-3x2=0,得3+3t-31+12t2=0,即t1=t2=0, 從而,交點坐標為(1,3), ∴交點的一個極坐標為2,π3. 2.解析　(1)由ρ2-22ρsinθ-π4-2=0得ρ2-22ρsin θcosπ4+22ρcos θsinπ4-2=0,即x2+y2-2y+2x=0,即(x+1)2+(y-1)2=4,

7、即C1的直角坐標方程為(x+1)2+(y-1)2=4,由C2:θ=π4得C2的直角坐標方程為x-y=0. 聯(lián)立,得(x+1)2+(y-1)2=4,x-y=0,解得x=1,y=1或x=-1,y=-1. 所以A(-1,-1),B(1,1)或A(1,1),B(-1,-1). (2)設(shè)P(-1+2cos α,1+2sin α),不妨設(shè)A(-1,-1),B(1,1), 則|PA|2+|PB|2=(2cos α)2+(2sin α+2)2+(2cos α-2)2+(2sin α)2=16+8sin α-8cos α=16+82sinα-π4, 所以|PA|2+|PB|2的取值范圍為[16-82,

8、16+82]. 3.解析　(1)設(shè)M(ρ,θ),則P(2ρ,θ), 則點P的直角坐標為(2ρcos θ,2ρsin θ),代入(x-4)2+y2=16得ρ=4cos θ, ∴點M的軌跡C的極坐標方程為ρ=4cos θ. (2)由題意得點A的直角坐標為32,332, 則直線OA的直角坐標方程為y=3x,|OA|=3, 由(1)易得軌跡C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4, 則圓心(2,0)到直線OA的距離d=3, ∴點B到直線OA的距離的最大值為3+2, ∴△OAB面積的最大值為12×(3+2)×|OA|=3+22×3=3+332. 4.解析　(1)設(shè)點P的極坐標為(ρ,

9、θ)(ρ>0),Q的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0), 由題設(shè),知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=2cosθ-π6, 由|OQ|·|OP|=4,得C2的極坐標方程為ρ=2cosθ-π6(ρ>0), 因此C2的直角坐標方程為x-322+y-122=1,但不包括點(0,0). (2)設(shè)點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0), 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=2cosα-π6, 于是△AOB的面積S=12|OA|·ρB·sin∠AOB =2cosα-π6·sinα-π3 =2sin2α-34≤32, 當α=0時,S可取得最大值32, 所以△AOB面積的最大值為32. 5.解析　(1)

10、由直線l過點A可得2·cosπ4-π4=a,故a=2, 則易得直線l的直角坐標方程為x+y-2=0. 根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點到直線l的距離d=|2cosα+3sinα-2|2=|7(sinα+φ)-2|2,其中sin φ=277,cos φ=217,∴dmax=7+22=14+222. 即曲線C1上的點到直線l的距離的最大值為14+222. (2)由(1)知直線l的傾斜角為3π4, 則直線l1的參數(shù)方程為x=-1+tcos3π4,y=1+tsin3π4(t為參數(shù)). 易知曲線C1的普通方程為x24+y23=1. 把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得72

11、t2+72t-5=0, 設(shè)M,N對應的參數(shù)分別為t1,t2, ∴t1t2=-107,根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|=|t1t2|=107. 6.解析　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l

12、1與C2只有一個公共點時,點A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0. 經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點; 當k=-43時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點. 當l2與C2只有一個公共點時,點A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43. 經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點; 當k=43時,l2與C2沒有公共點. 綜上,所求C1的方程為y=-43|x|+2. 7.解析　(1)由x=4cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),消去參數(shù)θ得x216+y24=1. 由x=t+3,y=2t-2

13、3消去參數(shù)t得y=2x-43. 將y=2x-43代入x2+4y2=16中,得17x2-643x+176=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=64317,x1x2=17617. 所以|AB|=1+22|x1-x2|=1+417×(643)2-4×17×176=4017. (2)由(1)易知F(-23,0).FA·FB=(x1+23,y1)·(x2+23,y2) =(x1+23)(x2+23)+(2x1-43)(2x2-43) =x1x2+23(x1+x2)+12+4[x1x2-23(x1+x2)+12] =5x1x2-63(x1+x2)+60 =5×1761

14、7-63×64317+60 =44. 所以FA·FB的值為44. 8.解析　(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2+(y-2)2=4, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得曲線C1的極坐標方程為ρ=4sin θ, 由ρ=4sinθ,ρcos2θ=sinθ,得4sin θcos2θ=sin θ,因為0≤θ<π, 所以①當sin θ=0時,θ=0,ρ=0,得交點的極坐標為(0,0); ②當sin θ≠0時,cos2θ=14,當cos θ=12時,θ=π3,ρ=23,得交點的極坐標為23,π3, 當cos θ=-12時,θ=2π3,ρ=23,得交點的極坐標為23,2π3, ∴C1與C2交點的極坐標為(0,0),23,π3,23,2π3. (2)將θ=β代入C1的極坐標方程中,得ρ1=4sin β, 代入C2的極坐標方程中,得ρ2=sinβcos2β, ∴|OA||OB|=4sinβsinβcos2β=4cos2 β, ∵π6≤β≤π3, ∴1≤4cos2 β≤3, ∴|OA||OB|的取值范圍為[1,3]. 9