《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案.docx

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《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題解答 一、填空題 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向?yàn)? [-47,-50]T。 2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長。 3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高－低－高 趨勢。 5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。 6、函數(shù) 的梯度為B。 7、設(shè)G為nn對(duì)稱正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。 8、 設(shè)計(jì)變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。 9、對(duì)于無約束二元函數(shù)，若在點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 ?f(x10,x20)=0 ，充分條件是 ?2f(x10,x20)=0正定 。 10、 K-T 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數(shù)的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [-2.36 10] 。 12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件。 13、牛頓法的搜索方向dk= ，其計(jì)算量大 ，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近 位置。 14、將函數(shù)f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成的形式 12x1x22-1-12x1x2+-10-4x1x2+60 。 15、存在矩陣H，向量 d1，向量 d2，當(dāng)滿足d1THd2=0，向量 d1和向量 d2是關(guān)于H共軛。 16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。 17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長。 二、選擇題 1、下面C方法需要求海賽矩陣。 A、最速下降法 B、共軛梯度法 C、牛頓型法 D、DFP法 2、對(duì)于約束問題 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為 ，為 。D A．內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) B. 外點(diǎn)；外點(diǎn) C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn) D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) 3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。 A 無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1，a1ε, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。 第一迭代步完成。 2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[2,1]T。 解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。） 牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0) 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣 ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 ?f（x(0)）=00 ?2f＝4-4-48 ?2f-1 = 142111 S(k)=-?2f-1?f=00 不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。 解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算 牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣 梯度函數(shù)： ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 初始點(diǎn)梯度向量： ?f（x(0)）=-812 海色矩陣： ?2f＝4-4-48 海色矩陣逆矩陣： ?2f-1 = 142111 當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋? S(k)=-?2f-1?(f)＝- 142111-812＝-11 新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ： X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0） ＝12＋α-11＝1-α2＋α 把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量α的函數(shù)F(α) fXk+1=f1-α2＋α=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α) 令 dF(α)dα=20α+ 20＝0，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長 α＝-1 新的迭代點(diǎn)為 X(1)=X（0）+αS（0）＝ 12 –-11＝ 21 當(dāng)前梯度向量的長度?f=12x12+8x8=14.4222>ε, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。 第二迭代步： ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 ?f（x(1)）=00 ?f=0<ε 因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。 這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。 3、設(shè)有函數(shù) f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。 解：首先利用極值必要條件 ?f=00找出可能的極值點(diǎn)： 令 ?f＝2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1＝00 求得x1x2=42,是可能的極值點(diǎn)。 再利用充分條件?2f正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。 ?2f＝2-2-24 2＝2>0 2-2-24＝8-4＝4>0 因此?2f正定, X*=x1x2=42是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-8 4、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。 解法同上 5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值。 解： 必要條件： ?f＝ 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3 將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得 ?f＝ 000 充分條件 ?2f＝4020102222 4＝4>0 40010＝40>0 4020102222＝80-40-16＝24>0 ?2f正定。 因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值 6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0 　g2(X)=－x1－2x2＋4≥0 g3(X)= x1≥0 g4(X)=x2≥0 驗(yàn)證在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立。 解：首先，找出在點(diǎn)起作用約束： g1(X) ＝0 g2(X) ＝0 g3(X) ＝2 g4(X) ＝1 因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。 然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。 ?f＝2*x1 - 6 2*x2 - 4＝-2-2 ?g1＝ -2*x1 -2*x2＝-4-2, ?g2＝-1 -2 求解線性組合系數(shù) ?f=λ1?g1+λ2?g2 -2-2=λ1-4-2+λ2-1 -2 得到 λ1＝13, λ2=23, 均大于0 因此在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立 7、設(shè)非線性規(guī)劃問題 用K-T條件驗(yàn)證為其約束最優(yōu)點(diǎn)。 解法同上 8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于： g1(X)=-x12+x2≥0 g2(X)=x1≥0 寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。 解： 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為 其中： r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列 r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1 因此 罰函數(shù)為： ?X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1) 9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2 受約束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0 g2(X)=2-x1-x2≥0 g3(X)=x1≥0 g4(X)=x2≥0 試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。 解法同上 10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。 15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。 16、某電線電纜車間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料9kg，3個(gè)工時(shí)，消耗電能4kWh，可得利潤60元；話纜每米需用材料4kg，10個(gè)工時(shí)，消耗電能5kWh，可得利潤120元。若每天材料可供應(yīng)360kg，有300個(gè)工時(shí)消耗電能200kWh可利用。如要獲得最大利潤，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。