《機械優(yōu)化設計》復習題答案.docx

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《機械優(yōu)化設計》復習題解答 一、填空題 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最優(yōu)解時，設X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向為 [-47,-50]T。 2、機械優(yōu)化設計采用數學規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計算最優(yōu)步長。 3、當優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。 4、應用進退法來確定搜索區(qū)間時，最后得到的三點，即為搜索區(qū)間的始點、中間點和終點，它們的函數值形成 高－低－高 趨勢。 5、包含n個設計變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。 6、函數 的梯度為B。 7、設G為nn對稱正定矩陣，若n維空間中有兩個非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在共軛關系。 8、 設計變量 、 目標函數 、 約束條件 是優(yōu)化設計問題數學模型的基本要素。 9、對于無約束二元函數，若在點處取得極小值，其必要條件是 ?f(x10,x20)=0 ，充分條件是 ?2f(x10,x20)=0正定 。 10、 K-T 條件可以敘述為在極值點處目標函數的梯度為起作用的各約束函數梯度的非負線性組合。 11、用黃金分割法求一元函數的極小點，初始搜索區(qū)間，經第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 [-2.36 10] 。 12、優(yōu)化設計問題的數學模型的基本要素有設計變量、 目標函數 、 約束條件。 13、牛頓法的搜索方向dk= ，其計算量大 ，且要求初始點在極小點 附近 位置。 14、將函數f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成的形式 12x1x22-1-12x1x2+-10-4x1x2+60 。 15、存在矩陣H，向量 d1，向量 d2，當滿足d1THd2=0，向量 d1和向量 d2是關于H共軛。 16、采用外點法求解約束優(yōu)化問題時，將約束優(yōu)化問題轉化為外點形式時引入的懲罰因子r數列，具有單調遞增特點。 17、采用數學規(guī)劃法求解多元函數極值點時，根據迭代公式需要進行一維搜索，即求最優(yōu)步長。 二、選擇題 1、下面C方法需要求海賽矩陣。 A、最速下降法 B、共軛梯度法 C、牛頓型法 D、DFP法 2、對于約束問題 根據目標函數等值線和約束曲線，判斷為 ，為 。D A．內點；內點 B. 外點；外點 C. 內點；外點 D. 外點；內點 3、內點懲罰函數法可用于求解B優(yōu)化問題。 A 無約束優(yōu)化問題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問題 C 只含有等式的優(yōu)化問題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題 4、對于一維搜索，搜索區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個點a1、b1，a1ε, 因此繼續(xù)進行迭代。 第一迭代步完成。 2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設初始點x(0)=[2,1]T。 解1：（注：題目出題不當，初始點已經是最優(yōu)點，解2是修改題目后解法。） 牛頓法的搜索方向為S(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當前迭代點x(0) 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣 ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 ?f（x(0)）=00 ?2f＝4-4-48 ?2f-1 = 142111 S(k)=-?2f-1?f=00 不用搜索，當前點就是最優(yōu)點。 解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點選擇不當。以下修改求解題目的初始點，以體現牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點x(0)=[1,2]T作為初始點，重新采用牛頓法計算 牛頓法的搜索方向為S(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當前迭代點x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣 梯度函數： ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 初始點梯度向量： ?f（x(0)）=-812 海色矩陣： ?2f＝4-4-48 海色矩陣逆矩陣： ?2f-1 = 142111 當前步的搜索方向為： S(k)=-?2f-1?(f)＝- 142111-812＝-11 新的迭代點位于當前的搜索方向上 ： X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0） ＝12＋α-11＝1-α2＋α 把新的迭代點帶入目標函數，目標函數將成為一個關于單變量α的函數F(α) fXk+1=f1-α2＋α=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α) 令 dF(α)dα=20α+ 20＝0，可以求出當前搜索方向上的最優(yōu)步長 α＝-1 新的迭代點為 X(1)=X（0）+αS（0）＝ 12 –-11＝ 21 當前梯度向量的長度?f=12x12+8x8=14.4222>ε, 因此繼續(xù)進行迭代。 第二迭代步： ?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 ?f（x(1)）=00 ?f=0<ε 因此不用繼續(xù)計算，第一步迭代已經到達最優(yōu)點。 這正是牛頓法的二次收斂性。對正定二次函數，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點。 3、設有函數 f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試利用極值條件求其極值點和極值。 解：首先利用極值必要條件 ?f=00找出可能的極值點： 令 ?f＝2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1＝00 求得x1x2=42,是可能的極值點。 再利用充分條件?2f正定（或負定）確認極值點。 ?2f＝2-2-24 2＝2>0 2-2-24＝8-4＝4>0 因此?2f正定, X*=x1x2=42是極小點，極值為f(X*)=-8 4、求目標函數f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點。 解法同上 5、試證明函數 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點[1，1，-2]T處具有極小值。 解： 必要條件： ?f＝ 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3 將點[1，1，-2]T帶入上式，可得 ?f＝ 000 充分條件 ?2f＝4020102222 4＝4>0 40010＝40>0 4020102222＝80-40-16＝24>0 ?2f正定。 因此函數在點[1，1，-2]T處具有極小值 6、給定約束優(yōu)化問題 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0 　g2(X)=－x1－2x2＋4≥0 g3(X)= x1≥0 g4(X)=x2≥0 驗證在點Kuhn-Tucker條件成立。 解：首先，找出在點起作用約束： g1(X) ＝0 g2(X) ＝0 g3(X) ＝2 g4(X) ＝1 因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。 然后，計算目標函數、起作用約束函數的梯度，檢查目標函數梯度是否可以表示為起作用約束函數梯度的非負線性組合。 ?f＝2*x1 - 6 2*x2 - 4＝-2-2 ?g1＝ -2*x1 -2*x2＝-4-2, ?g2＝-1 -2 求解線性組合系數 ?f=λ1?g1+λ2?g2 -2-2=λ1-4-2+λ2-1 -2 得到 λ1＝13, λ2=23, 均大于0 因此在點Kuhn-Tucker條件成立 7、設非線性規(guī)劃問題 用K-T條件驗證為其約束最優(yōu)點。 解法同上 8、已知目標函數為f(X)= x1+x2，受約束于： g1(X)=-x12+x2≥0 g2(X)=x1≥0 寫出內點罰函數。 解： 內點罰函數的一般公式為 其中： r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一個遞減的正值數列 r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1 因此 罰函數為： ?X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1) 9、已知目標函數為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2 受約束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0 g2(X)=2-x1-x2≥0 g3(X)=x1≥0 g4(X)=x2≥0 試寫出內點罰函數。 解法同上 10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉，造一個無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 11、某廠生產一個容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設計此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應以怎樣的比例截斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設計問題的數學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設計問題的數學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。 14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側邊多長及底角多大，才會使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設計問題的數學模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。 15、已知梯形截面管道的參數是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道內液體的流速與管道截面的周長s的倒數成比例關系（s只包括底邊和兩側邊，不計頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數。寫出這一優(yōu)化設計問題的數學模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。 16、某電線電纜車間生產力纜和話纜兩種產品。力纜每米需用材料9kg，3個工時，消耗電能4kWh，可得利潤60元；話纜每米需用材料4kg，10個工時，消耗電能5kWh，可得利潤120元。若每天材料可供應360kg，有300個工時消耗電能200kWh可利用。如要獲得最大利潤，每天應生產力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數學模型以及用MATLAB軟件求解的程序。