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1、第七章 狀態(tài)變量分析,前面幾章討論的是輸入輸出之間關(guān)系為輸入、輸出為一個(gè)的情況。,數(shù)學(xué)表示：連續(xù)系統(tǒng) 高階微分方程,離散系統(tǒng) 高階差分方程,缺點(diǎn)： 1. 當(dāng)輸出改變后，還需重新建立方程，然后求解。建立方程前，方程的階數(shù)不清楚； 2. 輸入、輸出多個(gè)的情況，列方程困難；,這個(gè)“最少個(gè)數(shù)”稱為：網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度。,3. 不適宜編寫程序； 4. 不能推廣到時(shí)變和非線性系統(tǒng)的分析。,隨著系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度的增加，六十年代中期提出了狀態(tài)變量分析法。其實(shí)質(zhì)：,將網(wǎng)絡(luò)方程列寫成關(guān)于“狀態(tài)變量”的一組一階微分(差分)方程組。也就是說，描述系統(tǒng)最少需要列寫多少個(gè)一階方程來表征它。,顯然，全電阻網(wǎng)絡(luò)不需要
2、用微分方程來描述它，故，網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度為零。,如果 系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量的變化規(guī)律已經(jīng)求出，那么，系統(tǒng)中的任何變量(電壓或電流)只需要用狀態(tài)變量的代數(shù)方程來描述。,7-1 狀態(tài)與狀態(tài)空間,一、系統(tǒng)的狀態(tài) 本質(zhì)是指系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài)。,描述這種狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。常用,來表示；,。一組狀態(tài)變量可以用一個(gè)矢量來表示：,狀態(tài)矢量所描述的空間稱為狀態(tài)空間。,狀態(tài)矢量所包含的狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱為狀態(tài)空間的維數(shù)，或系統(tǒng)的階數(shù)。也就是網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度。,x(t),用狀態(tài)變量來描述和分析系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)變量分析法。,狀態(tài)變量分析法步驟：,1. 選定狀態(tài)變量；,2. 建立狀態(tài)方程(一組一階微分或差分方程)；,即，建立狀態(tài)
3、變量與輸入之間的關(guān)系。,3. 建立輸出響應(yīng)與輸入激勵(lì)關(guān)系的輸出方程 (一組代數(shù)方程)；,4. 求解這些方程。,它們直接與儲(chǔ)能狀態(tài)相聯(lián)系，且使用方便。,在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，在電路已知時(shí)，狀態(tài)變量常選電感電流和電容電壓。原因：,當(dāng)然，也可以選取電荷和磁鏈作為狀態(tài)變量；還可以選取其它的一些變量。,但下列情況必須注意到：一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)是確定的；但哪幾個(gè)變量并不唯一。,當(dāng)已知電路時(shí)：,首先， 和 與儲(chǔ)能情況相聯(lián)系：但,當(dāng) 存在CC或vS-C回路時(shí) (常稱為全電容回路)時(shí)，其中一個(gè)電容的電壓受KVL限制，此電壓并不獨(dú)立；,當(dāng) 存在LL或iS-L割集時(shí) (常稱為全電感割集)時(shí)，其中一個(gè)電感的
4、電流受KCL限制，此電流并不獨(dú)立。,設(shè)： 為獨(dú)立的狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)(網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度)；,為電路電容和電感的總數(shù)；,為獨(dú)立的全電容回路的總數(shù)；,為獨(dú)立的全電感割集的總數(shù)。有,顯然，獨(dú)立源并不影響 n 的個(gè)數(shù)。,電壓源短路；電流源開路。,所以，在判定 n 的大小時(shí)：,方法：,7-2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,1. 直接法：直觀編寫法(已知電路),系統(tǒng)編寫法,2. 間接法：由輸入輸出方程編寫法,(一)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立,由系統(tǒng)模擬圖編寫法,1.直觀編寫法,(編寫依據(jù)：KCL、KVL、VCR),vC,由KVL：,整理一下：,由VCR：,這就是狀態(tài)方程。,寫成矩陣的形式：,至于輸出響應(yīng)，可以與狀態(tài)變量相
5、同，也可以不同。設(shè)輸出為 ，則輸出方程為,注意，這個(gè)方程是代數(shù)方程。寫成矩陣形式，為,例：,解：第一步，選取狀態(tài)變量：,分別記為,第二步，列寫基本方程：,KCL方程,兩個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程：,第三步，消除中間變量(本例無“非狀態(tài)變量”),第四步，整理，寫成矩陣方程的形式。,狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：,,,,設(shè) R2 上的電壓為輸出 y 。有,輸出方程的矩陣形式為,輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為,,,,D： 矩陣,必須指出：,1. 第四步消除中間變量(非狀態(tài)變量)，一般情況下不太容易；,2. 當(dāng)電路存在C-C回路，L-L割集時(shí)，有可能得不到標(biāo)準(zhǔn)的(范式的)狀態(tài)方程。它會(huì)是,但只要假設(shè)新的狀態(tài)變量,,,,,
6、,,,,，得,,,,,,，代入上式，得,,,,,,,,有,,,,,,3. R、L、C組成的電路一定存在標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程；但當(dāng)含有受控源時(shí)，就不一定了(當(dāng)然這是極少數(shù)情況)。,當(dāng)不存在C-C回路L-L割集時(shí)，下面的方法顯得比較簡(jiǎn)單：,v2,(1) 選取v2、v3、i6為狀態(tài)變量，并注意動(dòng)態(tài)元件的v-i參考方向關(guān)聯(lián)；,(2) 畫替代圖：C 用電壓源替代，L 用電流源替代；,(3)列替代圖的方程。,用,代入，,整理，得,得,寫成矩陣形式：,若設(shè) 為輸出，有,2. 從輸入輸出方程導(dǎo)出狀態(tài)方程,已知微分方程時(shí)的情況。 略,3. 從系統(tǒng)函數(shù)建立狀態(tài)方程,已知微分方程 模擬圖建立狀態(tài)方程,例：,得
7、,取狀態(tài)變量:,則狀態(tài)方程為：,輸出方程為：,矩陣形式為：,有時(shí)稱為直接模擬。,上述方法的優(yōu)點(diǎn)是無需求得特征方程的根。除此之外，還有許多方法。常見的有下面兩種。,1. 并聯(lián)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn),并聯(lián)系統(tǒng)模擬圖為,由,即,,,,,,,,,,,,,設(shè)狀態(tài)變量如圖,得,2. 串聯(lián)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn),串聯(lián)系統(tǒng)模擬圖為,,,,,,,,選取狀態(tài)變量 如圖,狀態(tài)方程為,矩陣形式為,(二)離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立 (7-4),相當(dāng)于狀態(tài)變量 改為 ，,輸入變量,改為,輸出變量,改為,改為,模擬圖中的積分器改為延遲器,方程形式：,,,,,,,例：,模擬圖：,寫成矩陣形式：,或,并聯(lián)模擬圖：,顯然，有,狀態(tài)方程寫成矩陣形式
8、：,串聯(lián)型狀態(tài)方程 略,7-3 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,先討論用拉氏變換求解，然后討論時(shí)域求解。,一、拉氏變換法,拉氏變換的微分性質(zhì)能使微分方程的求解問題 轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程的求解問題。對(duì)照一階標(biāo)量微分方程,即,狀態(tài)方程,方程兩邊進(jìn)行拉氏變換,,,,,得：,,,,,式中 I 為單位矩陣。,定義：分解矩陣,它的拉氏反變換為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,狀態(tài)方程的拉氏變換解為,(零輸入),(零狀態(tài)),,,,,,,,狀態(tài)方程的時(shí)域解為,(零輸入),(零狀態(tài)),,,,,,,例：,2.,解：1. 先求分解矩陣,,,3.,,,,,,,,,,,反變換，得,,如果，狀態(tài)變量不是輸出，還需代入輸出方程：,當(dāng)然，也可以直接用公式
9、來表示：,零輸入,零狀態(tài),最后反變換求得時(shí)域表達(dá)。,,,,,,,,,,,,,,,如果定義系統(tǒng)函數(shù)矩陣,,,,,,上式中，A、B、C、D是常數(shù)矩陣；只有,,中才有變量 s ，所以 與 共同的分母。或者說，有相同的極點(diǎn)。由 均為,,,,的根。定義 特征方程、特征根。,討論：當(dāng)V(s)=0時(shí)，,標(biāo)量方程 狀態(tài)方程,,,,可以推斷：,即：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與分解矩陣是一對(duì)拉氏變換對(duì),,,,且狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為矩陣指數(shù)函數(shù)：,它具有相應(yīng)標(biāo)量指數(shù)函數(shù)的一切性質(zhì)。如,同樣地：,同樣有,等等。這些有助于時(shí)域求解狀態(tài)方程。由,同樣道理，有,(零輸入),(零狀態(tài)),解決的方法有兩種：,1. 用拉氏變換；,2. 用凱來-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)定理。略,作業(yè)：7-2 7-6(1) 7-8 (1)用三種方法 7-9,,
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