《概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三章第三章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布在實際問題中，常常會遇到這樣一些隨機(jī)變量，在實際問題中，常常會遇到這樣一些隨機(jī)變量，它們的值域是一個區(qū)間它們的值域是一個區(qū)間(或若干個區(qū)間的并或若干個區(qū)間的并)，稱這類，稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。對于取值在區(qū)間上的隨機(jī)變量，我們不可能把對于取值在區(qū)間上的隨機(jī)變量，我們不可能把它的取值一一列出，因而不能簡單地用表格形式它的取值一一列出，因而不能簡單地用表格形式(即即概率函數(shù)概率函數(shù))來研究它的統(tǒng)計規(guī)律性。如何描述這一類來研究它的統(tǒng)計規(guī)律性。如何描述這一類隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，是本章討論的主題。隨機(jī)變量取值
2、的統(tǒng)計規(guī)律性，是本章討論的主題。3.1分布函數(shù)分布函數(shù)在研究一個隨機(jī)變量時，我們常常關(guān)心的不是在研究一個隨機(jī)變量時，我們常常關(guān)心的不是它取某個值的概率，而是它落在某個區(qū)間內(nèi)的概率。它取某個值的概率，而是它落在某個區(qū)間內(nèi)的概率。一般地，對于一個隨機(jī)變量一般地，對于一個隨機(jī)變量X，如果我們需要，如果我們需要知道知道其中其中的值，則由的值，則由推得推得因此，對實數(shù)軸上任意一個因此，對實數(shù)軸上任意一個，若已知，若已知的值時，由上式便能算得的值時，由上式便能算得的值。的值。定義定義3.1給定一個隨機(jī)變量給定一個隨機(jī)變量X，稱定義域為，稱定義域為的實值函數(shù)的實值函數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，有時也
3、記作的分布函數(shù)，有時也記作。要注意的是，分布函數(shù)對任意一個隨機(jī)變量都是要注意的是，分布函數(shù)對任意一個隨機(jī)變量都是按定義按定義3.1規(guī)定的，且對任意的規(guī)定的，且對任意的，總，總有有例例1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量，求它的分布函，求它的分布函數(shù)。數(shù)。解解由隨機(jī)變量的概率函數(shù)可知，由隨機(jī)變量的概率函數(shù)可知，（1）當(dāng)）當(dāng)時，時，（2）當(dāng)）當(dāng)時，時，所以分布函數(shù)為所以分布函數(shù)為定理定理3.1(分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)設(shè)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，則的分布函數(shù)，則有下列性質(zhì)：有下列性質(zhì)：（1）；（2）是單調(diào)不減的，即當(dāng)是單調(diào)不減的，即當(dāng)時，時，有有；（3）；（4）對任意一個）對任意一個右連續(xù)。
4、右連續(xù)。設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為那么，那么，X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為這個分布函數(shù)這個分布函數(shù)在每一個在每一個處間斷，且間斷處間斷，且間斷點處的跳躍度為點處的跳躍度為一般地，對任意一個隨機(jī)變量一般地，對任意一個隨機(jī)變量X與任意一個實與任意一個實數(shù)數(shù)，我們有下列結(jié)論：，我們有下列結(jié)論：定理定理3.2對任意一個隨機(jī)變量對任意一個隨機(jī)變量X，X的分布的分布函數(shù)函數(shù)在在處連續(xù)的充分必要條件是：處連續(xù)的充分必要條件是：定義定義3.2給定一個隨機(jī)變量給定一個隨機(jī)變量，稱定義域，稱定義域為整個平面的二元實值函數(shù)為整個平面的二元實值函數(shù)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱它為
5、的分布函數(shù)，或稱它為X與與Y的聯(lián)的聯(lián)合分布函數(shù)。合分布函數(shù)。按照分布函數(shù)的定義：按照分布函數(shù)的定義：其中，區(qū)域其中，區(qū)域如圖所示。如圖所示。一般地，對任意的一般地，對任意的按照分布函數(shù)的幾何解釋，讀者可以自行證明這按照分布函數(shù)的幾何解釋，讀者可以自行證明這個結(jié)果。個結(jié)果。定理定理3.3(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)設(shè)是是隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則有下列結(jié)論：的分布函數(shù)，則有下列結(jié)論：(1)；(2)固定一個自變量的值時，固定一個自變量的值時，作為一作為一元函數(shù)關(guān)于另一個自變量是單調(diào)不減的；元函數(shù)關(guān)于另一個自變量是單調(diào)不減的；(3)對任意一個對任意一個y，有，有；對任；對任意一個意
6、一個x，有，有；且有；且有(4)固定一個自變量的值時，固定一個自變量的值時，作為一元函作為一元函數(shù)關(guān)于另一個自變量右連續(xù)；數(shù)關(guān)于另一個自變量右連續(xù)；(5)對任意的對任意的有有定理定理3.3的證明從略。的證明從略。對分布函數(shù)的三個說明：對分布函數(shù)的三個說明：(1)對于離散型隨機(jī)變量，雖然從原則上說可以對于離散型隨機(jī)變量，雖然從原則上說可以利用分布函數(shù)來計算事件的概率，但實際上這并不利用分布函數(shù)來計算事件的概率，但實際上這并不方便，一般應(yīng)盡可能利用概率函數(shù)來計算事件的概方便，一般應(yīng)盡可能利用概率函數(shù)來計算事件的概率。率。(2)分布函數(shù)的性質(zhì)（定理分布函數(shù)的性質(zhì)（定理3.1）刻劃了分布函）刻劃了分布
7、函數(shù)的特征，這就是說，如果某個函數(shù)數(shù)的特征，這就是說，如果某個函數(shù)具有定理具有定理3.1給出的四條性質(zhì)，那么它必定是某個隨機(jī)變量的給出的四條性質(zhì)，那么它必定是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。同樣，定理分布函數(shù)。同樣，定理3.3也給出了聯(lián)合分布函數(shù)的也給出了聯(lián)合分布函數(shù)的特征性質(zhì)。特征性質(zhì)。(3)對于對于n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)類似地定，它的分布函數(shù)類似地定義為義為例例2設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求常數(shù)求常數(shù)A、B、C的值。的值。解解由分布函數(shù)的性質(zhì)可知由分布函數(shù)的性質(zhì)可知由此解得由此解得3.2概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)我們給出隨機(jī)變量我們給出隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分
8、布函數(shù)從中我們看到，這個連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函從中我們看到，這個連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)處處連續(xù)，且除了個別點外處處可導(dǎo)。注意到：數(shù)處處連續(xù)，且除了個別點外處處可導(dǎo)。注意到：從高等數(shù)學(xué)得知，可以把從高等數(shù)學(xué)得知，可以把表達(dá)成表達(dá)成其中取非負(fù)值的函數(shù)其中取非負(fù)值的函數(shù)或或則則恰是恰是在區(qū)間在區(qū)間上的定積分。上的定積分。定義定義3.3給定一個連續(xù)性隨機(jī)變量給定一個連續(xù)性隨機(jī)變量X，如果存在，如果存在一個定義域為一個定義域為的非負(fù)實值函數(shù)的非負(fù)實值函數(shù)，使得，使得X的分布函數(shù)的分布函數(shù)可以表達(dá)成可以表達(dá)成那么，稱那么，稱為連續(xù)性隨機(jī)變量為連續(xù)性隨機(jī)變量X的（概率）密度的（概率）密度函數(shù)。函數(shù)。密度函
9、數(shù)密度函數(shù)與分布函數(shù)與分布函數(shù)之間的關(guān)系之間的關(guān)系如圖所示。如圖所示。從圖形中可知，從圖形中可知，恰是恰是在區(qū)間在區(qū)間上上的定積分。的定積分。按照分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，密度函數(shù)必須滿按照分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，密度函數(shù)必須滿足下列兩個條件：足下列兩個條件：(1)(2)這兩個條件刻劃了密度函數(shù)的特征，這就是說，如這兩個條件刻劃了密度函數(shù)的特征，這就是說，如果某個實值函數(shù)果某個實值函數(shù)具有這兩個性質(zhì)，那么它必定具有這兩個性質(zhì)，那么它必定是某個連續(xù)性隨機(jī)變量的密度。是某個連續(xù)性隨機(jī)變量的密度。定理定理3.4(連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì))設(shè)設(shè)X是任一是任一連續(xù)型隨機(jī)變量，連續(xù)型隨機(jī)變量，與
10、與分別是它的分布函數(shù)分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)。與密度函數(shù)。(1)是連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)是連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)在在處連處連續(xù)時，續(xù)時，；(2)對任意一個常數(shù)對任意一個常數(shù)；(3)對任意兩個常數(shù)對任意兩個常數(shù)有有根據(jù)微分中值定理和定理根據(jù)微分中值定理和定理3.4，密度函數(shù)的取值，密度函數(shù)的取值與概率存在如下關(guān)系：與概率存在如下關(guān)系：即即取值于取值于鄰近的概率與鄰近的概率與的大小成正比。的大小成正比。此處需強(qiáng)調(diào)，密度函數(shù)取值本身不是概率，由此處需強(qiáng)調(diào)，密度函數(shù)取值本身不是概率，由可以看出，密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系猶如物理學(xué)可以看出，密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系猶如物理學(xué)中線密度與質(zhì)量之間的關(guān)系中線密度與質(zhì)量之間
11、的關(guān)系由定理由定理3.4的（的（2）可知）可知更一般地，對于實數(shù)軸上任意一個集合更一般地，對于實數(shù)軸上任意一個集合S,這里這里S可以是若干個區(qū)間的和、交、并。這個公式表可以是若干個區(qū)間的和、交、并。這個公式表明，知道了一個隨機(jī)變量的密度函數(shù)，便能算出任意明，知道了一個隨機(jī)變量的密度函數(shù)，便能算出任意一個概率一個概率。正因為如此，密度函數(shù)也稱為連續(xù)型隨。正因為如此，密度函數(shù)也稱為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。機(jī)變量的分布。例例4假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為求求（1）常數(shù)）常數(shù)C的值；的值；（2）概率）概率；（3）分布函數(shù)）分布函數(shù)。解（解（1）由）由得得所以所以（2）概率）概率（3）
12、當(dāng)）當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)時，時，所以，分布函數(shù)為所以，分布函數(shù)為例例5已知已知的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為求常數(shù)求常數(shù)C的值。的值。解解由由得得所以，所以，3.3常用連續(xù)型隨機(jī)變量常用連續(xù)型隨機(jī)變量下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量。下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量。一、一、均勻分布均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為通常稱這個隨機(jī)變量通常稱這個隨機(jī)變量X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)上的上的(連續(xù)連續(xù)型型)均勻分布，記作均勻分布，記作。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。均勻分布的分布函數(shù)為：均勻分布的分布函數(shù)為：在隨
13、機(jī)模擬技術(shù)中，服從均勻分布在隨機(jī)模擬技術(shù)中，服從均勻分布R(0,1)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量是最基本的一類隨機(jī)變量。是最基本的一類隨機(jī)變量。二、指數(shù)分布二、指數(shù)分布一般地，如果隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱這個隨機(jī)變量那么稱這個隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，記作記作，其中，其中。指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩
14、次故障的時間間隔服從指數(shù)分布。數(shù)分布。指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量，則對于任意的，則對于任意的，有，有因此，因此，假如把假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于命長于年，則再活年，則再活年的概率與年齡年的概率與年齡無關(guān)，所以無關(guān)，所以有人風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是有人風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年青永遠(yuǎn)年青”的分布。的分布。例例1根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強(qiáng)地根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強(qiáng)地震之間相隔的年數(shù)震之間相隔的年數(shù)X是一個隨機(jī)變量，它服從參數(shù)是一個隨機(jī)變量，它服從參數(shù)為為的指數(shù)分
15、布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強(qiáng)地震。的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強(qiáng)地震。試求試求(1)今后今后3年內(nèi)再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率；年內(nèi)再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率；(2)今后今后3年至年至5年再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率。年再次發(fā)生強(qiáng)地震的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)所求概率為所求概率為例例2假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務(wù)的時間超過待服務(wù)的時間超過10分鐘他就離開，分鐘他就離開，（1）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離開的概率；開的概率；（2）假如他一個月要去銀
16、行五次，求他五次）假如他一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。解解（1）所求概率為）所求概率為(2)用用Y表示他離開的次數(shù)，則表示他離開的次數(shù)，則，所，所求概率為求概率為三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布(高斯（高斯（Gauss）分布）分布)如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為那么稱這個隨機(jī)變量那么稱這個隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的正態(tài)分布的正態(tài)分布（或高斯分布），記作（或高斯分布），記作，其中，其中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機(jī)變量。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機(jī)變量。由高等數(shù)學(xué)的知識不難得到由高等數(shù)學(xué)的知識不
17、難得到具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：(1)關(guān)于關(guān)于對稱；對稱；(2)在在處有最大值處有最大值；(3)當(dāng)當(dāng)時，時，。正態(tài)分布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其正態(tài)分布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當(dāng)一個變量受到大量劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當(dāng)一個變量受到大量微小的、獨立的隨機(jī)因素影響時，這個變量一般微小的、獨立的隨機(jī)因素影響時，這個變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像見下圖：的密度函數(shù)的圖像見下圖：上圖還給出了參數(shù)上圖還給出了參數(shù)的一個幾何解
18、釋：當(dāng)?shù)囊粋€幾何解釋：當(dāng)較大時，函數(shù)曲線平坦；當(dāng)較大時，函數(shù)曲線平坦；當(dāng)較小時，曲線陡峭。較小時，曲線陡峭。四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布參數(shù)參數(shù)且且的正態(tài)分布的正態(tài)分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布,它的密度函數(shù)為它的密度函數(shù)為它的分布函數(shù)記作它的分布函數(shù)記作，即，即由于由于N(0,1)的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由推得：推得：當(dāng)當(dāng)時，時，的值可以查附表四得到。的值可以查附表四得到。由概率計算過程可得如下公式：當(dāng)由概率計算過程可得如下公式：當(dāng)時時,其中其中。當(dāng)當(dāng)時，由于時，由于X的分布函數(shù)的分布函數(shù)（令（令）因此因此通常稱這個公式為正態(tài)概率計
19、算公式。通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。例例2設(shè)設(shè)。查附表四可以得到。查附表四可以得到例例3設(shè)設(shè)，查附表四可以得到，查附表四可以得到例例4從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時間時間（單位：分鐘），另一條路線（單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間（單位：分鐘）。（單位：分鐘）。（1）假定有）假定有70分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？（2）假定有）假定有65分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？分
20、鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？解解（1）由于由于所以，應(yīng)選第二條路線。所以，應(yīng)選第二條路線。（2）由于）由于所以，應(yīng)選第一條路線。所以，應(yīng)選第一條路線。例例4某人上班所需的時間某人上班所需的時間(單單位：分位：分)，已知上班時間為早晨，已知上班時間為早晨8時，他每天時，他每天7時出時出門。試求，門。試求，(1)某天遲到的概率；某天遲到的概率；(2)某周某周(以五天計以五天計)最多遲到一次的概率。最多遲到一次的概率。解解(1)所求概率為所求概率為(2)設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，則，則Y為離散型隨機(jī)變量，且為離散型隨機(jī)變量，且，所求概率為，所求概率為當(dāng)當(dāng)時，附表四對每一個時，附表四對每一個，給出，給出了了的值。反過來，給定的值。反過來，給定也可以從也可以從附表四查得附表四查得，使得由，使得由，稱，稱為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量X的的p分位數(shù)分位數(shù)(見下圖見下圖)，即，即.當(dāng)當(dāng)時，時，可以直接查表得到。當(dāng)可以直接查表得到。當(dāng)時，由時，由的性質(zhì)知道的性質(zhì)知道。例如，當(dāng)例如，當(dāng)時，時，
概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1
