2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量第四章平面向量 [考情展望] 1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識(shí)載體,考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點(diǎn)線關(guān)系或求參數(shù)的值. 一、向量的有關(guān)概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模). 2.零向量:長(zhǎng)度為0的向量,其方向是任意的. 3.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行. 5.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:長(zhǎng)度相等且方向相反的向量. 二、向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 b+a法則 (1)交換律:a+b=a+(b+c). (2)結(jié)合律: (a+b)+c=平行四邊形 減法 求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a-b=a+(-b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|=|λ||a|; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0. λ(μa)=λμa;(λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 向量加減法運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn): 加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接,指向終點(diǎn)”,并可推廣為多個(gè)向量相加的“多邊形法則”;減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合,指向被減向量”. 三、平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 巧用系數(shù)判共線 =λ+μ(λ,μ∈R),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ+μ=1;反之,也成立. 1.化簡(jiǎn)-++的結(jié)果為( ) A. B. C. D. 【答案】 D 2.下列給出的命題正確的是( ) A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量 B.平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè) C.a(chǎn)與b是共線向量,b與c是平行向量,則a與c是方向相同的向量 D.相等的向量必是共線向量 【答案】 D 3.設(shè)a,b為不共線向量,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則下列關(guān)系式中正確的是( ) A.= B.=2 C.=- D.=-2 【答案】 B 4.(xx福建高考)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則+++等于( ) A. B.2 C.3 D.4 【答案】 D 5.設(shè)a、b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,使=成立的充分條件是( ) A.a(chǎn)=-b B.a(chǎn)∥b C.a(chǎn)=2b D.a(chǎn)∥b且|a|=|b| 【答案】 C 6.(xx四川高考)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,+=λ,則λ= . 【答案】 2 考向一 [071] 平面向量的有關(guān)概念 給出下列四個(gè)命題: ①若|a|=|b|,則a=b或a=-b; ②若=,則四邊形ABCD為平行四邊形; ③若a與b同向,且|a|>|b|,則a>b; ④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中假命題的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 規(guī)律方法1 1.(1)易忽視零向量這一特殊向量,誤認(rèn)為④是正確的;(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對(duì)向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法. 2.準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵:(1)相等向量具有傳遞性,非零向量平行也具有傳遞性;(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān). 3.“向量”和“有向線段”是兩個(gè)不同的概念,向量只有兩個(gè)要素:大小、方向;而有向線段有三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 給出下列四個(gè)命題: ①兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同; ②若a=b,b=c,則a=c; ③若a∥b,b∥c,則a∥c; ④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b. 其中假命題的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C 考向二 [072] 平面向量的線性運(yùn)算 (1)在△ABC中,若D是AB邊上一點(diǎn),且=2,=+λ,則λ=( ) A. B. C.- D.- (2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn),且2++=0,那么( ) A.= B.=2 C.=3 D.2= 【答案】 (1)A (2)A 規(guī)律方法2 1.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來(lái).解答本例(2)的關(guān)鍵是+=2. 2.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí),要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量,運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+=( ) A. B. C. D. (2)(xx南京質(zhì)檢)已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P滿足++=0,=λ,則實(shí)數(shù)λ的值為 . 【答案】 (1)C (2)-2 考向三 [073] 共線向量定理的應(yīng)用 設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線. (1)如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求證:A、C、D三點(diǎn)共線. (2)如果=e1+e2,=2e1-3e2,=3e1-ke2,且A、C、F三點(diǎn)共線,求k的值. 【嘗試解答】 (1)=e1-e2,=3e1+2e2, ∴=+=4e1+e2, 又=-8e1-2e2, 所以=-2,∴與共線, 又∵與有公共點(diǎn)C, ∴A、C、D三點(diǎn)共線. (2)∵=e1+e2,=2e1-3e2, ∴=+=3e1-2e2. ∵A、C、F三點(diǎn)共線, ∴∥,從而存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ. ∴3e1-2e2=3λe1-λke2, 又e1,e2是不共線的非零向量, ∴因此k=2. 所以實(shí)數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法3 1.向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ,使b=λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用. 2.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知向量a,b不共線,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( ) A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向 C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向 (2)對(duì)于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】 (1)D (2)A 易錯(cuò)易誤之八 忽視零向量的特殊性致誤 —————————— [1個(gè)示范例] —————— 下列命題正確的是( ) A.向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa B.在△ABC中,++=0 C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立 D.向量a、b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線 【解析】 A不正確,當(dāng)a=b=0時(shí),有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)λ滿足b=λa. 此處在求解時(shí),常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤. B不正確,在△ABC中,++=0. 此處在求解時(shí),常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤,0是向量,其模為0,而0是數(shù)量,沒(méi)有方向. C不正確,當(dāng)b=0時(shí),不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立. 此處在求解時(shí),常受代數(shù)不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的影響,而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯(cuò)誤. D正確.∵向量a與b不共線,∴a,b,a+b與a-b均不為零向量. 若a+b與a-b平行,則存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(a-b), 即(λ-1)a=(1+λ)b, ∴λ無(wú)解,故假設(shè)不成立, 即a+b與a-b不平行,故選D. 【防范措施】 (1)共線向量定理中,b=λa要求a≠0,否則λ值可能不存在. (2)向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果,仍然是一個(gè)向量,而不是一個(gè)數(shù). (3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|等號(hào)成立的條件. ———————— [1個(gè)防錯(cuò)練] ——————— 下列說(shuō)法不正確的有 . ①若a∥b,則a與b的方向相同或相反; ②若λa=0,則λ=0; ③相反向量必不相等; ④若a=e1+λe2,b=2e1,λ∈R,且λ≠0,則a∥b 的充要條件是e2=0. 【解析】 ①不正確,如a=0. ②不正確,λa=0,則λ=0或a=0. ③不正確,0=-0. ④不正確,當(dāng)e1∥e2時(shí)該命題也成立. 【答案】?、佗冖邰? 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十五) 平面向量的基本概念及線性運(yùn)算 (時(shí)間:60分鐘 滿分:80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.若a+c與b都是非零向量,則“a+b+c=0”是“b∥(a+c)”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】 A 2.已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是( ) A.a(chǎn)∥b B.a(chǎn)⊥b C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b 【答案】 B 3.如圖4-1-1,正六邊形ABCDEF中,++=( ) 圖4-1-1 A.0 B. C. D. 【答案】 D 4.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,一定能使+=0成立的是 ( ) A.a(chǎn)=-b B.a(chǎn)∥b C.a(chǎn)=2b D.a(chǎn)⊥b 【答案】 A 5.設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,則a⊥b B.若a⊥b,則|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa D.若存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,則|a+b|=|a|-|b| 【答案】 C 6.已知△ABC和點(diǎn)M滿足++=0.若存在實(shí)數(shù)m使得+=m成立,則m=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 B 二、填空題(每小題5分,共15分) 7.如圖4-1-2所示,向量a-b= (用e1,e2表示). 圖4-1-2 【答案】 e1-3e2 8.若||=8,||=5,則||的取值范圍是 . 【答案】 [3,13] 9.已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,則在下列四個(gè)條件中,能使a、b共線的條件是 (將正確的序號(hào)填在橫線上). ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e; ②存在相異實(shí)數(shù)λ、μ,使λa+μb=0; ③xa+yb=0(實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0). 【答案】 ①② 三、解答題(本大題共3小題,共35分) 10.(10分)設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)非零向量. (1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求證:A、B、C三點(diǎn)共線. (2)若8a+kb與ka+2b共線,求實(shí)數(shù)k的值. (3)若=a+b,=2a-3b,=2a-kb,且A、C、D三點(diǎn)共線,求k的值. 【解】 (1)證明?。剑絘+2b, =-=-a-2b. 所以=-,又因?yàn)锳為公共點(diǎn), 所以A、B、C三點(diǎn)共線. (2)設(shè)8a+kb=λ(ka+2b), 則?或 所以實(shí)數(shù)k的值為4. (3)=+=(a+b)+(2a-3b)=3a-2b, 因?yàn)锳、C、D三點(diǎn)共線,所以與共線. 從而存在實(shí)數(shù)λ使=λ,即3a-2b=λ(2a-kb), 得解得λ=,k=, 所以k=. 11.(12分)如圖4-1-3所示,在△ABC中,=,P是BN上的一點(diǎn),若=m+,求實(shí)數(shù)m的值. 圖4-1-3 【解】 如題圖所示,=+, ∵P為BN上一點(diǎn),則=k, ∴=+k=+k(-) 又=,即=, 因此=(1-k)+, 所以1-k=m,且=, 解得k=,則m=1-k=. 12.(13分)設(shè)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ(+),λ∈[0,+∞).求點(diǎn)P的軌跡,并判斷點(diǎn)P的軌跡通過(guò)下述哪一個(gè)定點(diǎn): ①△ABC的外心;②△ABC的內(nèi)心;③△ABC的重心; ④△ABC的垂心. 【解】 如圖,記=,=,則,都是單位向量, ∴||=||,=+,則四邊形AMQN是菱形,∴AQ平分∠BAC,∵=+,由條件知=+λ, ∴=λ(λ∈[0,+∞)),∴點(diǎn)P的軌跡是射線AQ,且AQ通過(guò)△ABC的內(nèi)心. 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [考情展望] 1.考查用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.3.以向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量定理為載體,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 一、平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示 1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),則ab=(x1x2,y1y2). (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1), ||=. (3)若a=(x,y),λ∈R,則λa=(λx,λy). 2.向量平行的坐標(biāo)表示 (1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件為x1y2-x2y1=0. (2)三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. 共線向量的坐標(biāo)表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0. 1.下列各組向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5),e2=(6,10);③e1=(2,-3),e2=(,-),能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是( ) A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】 A 2.若a=(3,2),b=(0,-1),則2b-a的坐標(biāo)是( ) A.(3,-4) B.(-3,4) C.(3,4) D.(-3,-4) 【答案】 D 3.已知a=(4,5),b=(8,y)且a∥b,則y等于( ) A.5 B.10 C. D.15 【答案】 B 4.(xx福建高考)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來(lái)的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【答案】 B 5.(xx廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解,有如下四個(gè)命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μ c; ③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μ c; ④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μ c. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 6.(xx北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖4-2-1所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則= . 圖4-2-1 【答案】 4 考向一 [074] 平面向量基本定理及其應(yīng)用 (1)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ= . 圖4-2-2 (2)如圖4-2-2,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,設(shè)=a,=b,若=2,則= (用向量a和b表示). 【答案】 (1) (2)a+b 規(guī)律方法1 1.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ,μ的方程組. 2.(1)利用平面向量基本定理表示向量時(shí),要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈?lái)表示其他向量,即用特殊向量表示一般向量.常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問(wèn)題. (2)利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算,在解題時(shí),注意方程思想的運(yùn)用. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (xx江蘇高考)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為 . 【答案】 考向二 [075] 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 已知O(0,0),A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). 設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b, (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 【嘗試解答】 a==(3-(-2),-1-4)=(5,-5), b==(-3-3,-4-(-1))=(-6,-3), c==(-2-(-3),4-(-4))=(1,8). (1)3a+b-3c=(15,-15)+(-6,-3)-(3,24) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)由a=mb+nc,得(5,-5)=(-6m,-3m)+(n,8n) =(-6m+n,-3m+8n). ∴ 解得 (3)∵=-=3c, ∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). 又∵=-=-2b, ∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2). ∴=(9,-18). 規(guī)律方法2 1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo),注意方程思想的應(yīng)用. 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語(yǔ)言——“坐標(biāo)語(yǔ)言”,實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx廣東高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) (2)(xx北京高考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【答案】 (1)B (2)A 考向三 [076] 平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,b=(2,1),且a與b的方向相反,則a的坐標(biāo)為 . (2)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,則cos 2α=( ) A.- B. C.- D. 【答案】 (1)(-4,-2) (2)D 規(guī)律方法3 1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(a≠0),則b=λa. 2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ=( ) A. B. C.1 D.2 (2)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m滿足的條件是 . 【答案】 (1)B (2)m≠ 思想方法之十二 待定系數(shù)法在向量運(yùn)算中的應(yīng)用 根據(jù)向量之間的關(guān)系,利用待定系數(shù)法列出一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式,然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù),找出原來(lái)那些系數(shù)之間的關(guān)系,從而使問(wèn)題得到解決. —————————— [1個(gè)示范例] —————— 如圖4-2-3所示,在△OAB中,=, 圖4-2-3 =,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b,利用a和b表示向量. 【解】 設(shè)=ma+nb, 則=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb. =-=-=b-a.因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,即(m-1)a+nb=-λa+b. 所以消去λ,得m+2n=1,① 同理=-=ma+nb-a=a+nb, =-=b-a,因?yàn)镃、M、B三點(diǎn)共線, 所以存在實(shí)數(shù)t,使=t,即a+nb=t. 所以消去t,得4m+n=1,② 聯(lián)立①②,得m=,n=,所以=a+b., ———————— [1個(gè)對(duì)點(diǎn)練] ——————— 如圖4-2-4所示,M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足條件+2+3=0,延長(zhǎng)CM交AB于N,令=a,試用a表示. 圖4-2-4 【解】 因?yàn)椋剑?,=+? 所以由+2+3=0,得 (+)+2(+)+3=0, 所以+3+2+3=0. 又因?yàn)锳,N,B三點(diǎn)共線,C,M,N三點(diǎn)共線, 由平面向量基本定理,設(shè)=λ,=μ, 所以λ+3+2+3μ=0. 所以(λ+2)+(3+3μ)=0. 由于和不共線,由平面向量基本定理, 得所以 所以=-=,=+=2=2a. 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十六) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (時(shí)間:60分鐘 滿分:80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.若向量=(2,3),=(4,7),則=( ) A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10) 【答案】 A 2.(xx陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則實(shí)數(shù)m等于( ) A.- B. C.-或 D.0 【答案】 C 3.已知向量m=(2,0),n=.在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D是BC邊的中點(diǎn),則||等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】 A 4.在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,且=,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1-x),則x的取值范圍( ) A.(0,1) B. C.(-1,0) D. 【答案】 C 5.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a、c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形,則向量c為( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 【答案】 D 6.△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為( ) A. B. C. D. 【答案】 B 二、填空題(每小題5分,共15分) 7.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共線,則+的值為 . 【答案】 8.在△ABC中,若點(diǎn)D是邊AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),若=a,=b,則等于 . 【答案】 a+b 9.已知A(-3,0),B(0,),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C在第二象限,且∠AOC=30,=λ+,則實(shí)數(shù)λ的值為 . 【答案】 1 三、解答題(本大題共3小題,共35分) 10.(10分)設(shè)坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A,B,C,i,j分別是坐標(biāo)平面上x(chóng)軸、y軸正方向上的單位向量,若向量=i-2j,=i+mj,那么是否存在實(shí)數(shù)m,使A,B,C三點(diǎn)共線. 【解】 法一 假設(shè)滿足條件的m存在,由A,B,C三點(diǎn)共線,得∥, ∴存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,即i-2j=λ(i+mj), ∴∴m=-2. ∴當(dāng)m=-2時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線. 法二 假設(shè)滿足條件的m存在,根據(jù)題意可知i=(1,0),j=(0,1). ∴=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),=(1,0)+m(0,1)=(1,m),由A,B,C三點(diǎn)共線,得∥, 故1m-1(-2)=0, 解得m=-2. ∴當(dāng)m=-2時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線. 11.(12分)已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t(t∈R),問(wèn): (1)t為何值時(shí),點(diǎn)P在x軸上?點(diǎn)P在二、四象限角平分線上? (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解】 (1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5), ∴=(1,2),=(3,3), =+t=(1+3t,2+3t). 若P在x軸上, 只需2+3t=0,t=-; 若P在第二、四象限角平分線上,則 1+3t=-(2+3t),t=-. (2)=(1,2),=(3-3t,3-3t), 若OABP是平行四邊形, 則=, 即此方程組無(wú)解. 所以四邊形OABP不可能為平行四邊形. 12.(13分)如圖4-2-5,G是△OAB的重心,P,Q分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),且P,G,Q三點(diǎn)共線. 圖4-2-5 (1)設(shè)=λ,將用λ,,表示; (2)設(shè)=x,=y(tǒng),證明:+是定值. 【解】 (1)=+=+λ =+λ(-)=(1-λ)+λ. (2)證明 一方面,由(1),得 =(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy;① 另一方面,∵G是△OAB的重心, ∴==(+)=+.② 而,不共線, ∴由①②,得 解得 ∴+=3(定值). 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積 [考情展望] 1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算,向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具,與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題,主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想. 一、平面向量的數(shù)量積 1.?dāng)?shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cos θ,記作ab,即ab=|a||b|cos θ.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2.向量的投影:設(shè)θ為a與b的夾角,則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ;向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3.?dāng)?shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積. 二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1.交換律:ab=ba; 2.?dāng)?shù)乘結(jié)合律:(λa)b=λ(ab)=a(λb); 3.分配律:a(b+c)=ab+ac. 三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|= |a|= 數(shù)量積 ab=|a||b|cos θ ab=x1x2+y1y2 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b的 充要條件 ab=0 x1x2+y1y2=0 |ab|與|a||b|的 關(guān)系 |ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅 當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2+y1y2|≤ 1.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),則(bc)a等于 ( ) A.(26,-78) B.(-28,-42) C.-52 D.-78 【答案】 A 2.已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=4,且ab=2,則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 C 3.已知向量a,b和實(shí)數(shù)λ,下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是( ) A.|a|= B.|ab|=|a||b| C.λ(ab)=λab D.|ab|≤|a||b| 【答案】 B 4.已知向量a,b滿足ab=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|=( ) A.0 B.2 C.4 D.8 【答案】 B 5.(xx湖北高考)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為( ) A. B. C.- D.- 【答案】 A 6.(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t= . 【答案】 2 考向一 [077] 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 (1)(xx浙江高考)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則= . (2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則的值為 ;的最大值為 . 【答案】 (1)-16 (2)1 1 規(guī)律方法1 1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式,一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角,二是利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算. 2.要有“基底”意識(shí),關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量,如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的大小,以及夾角θ=0,90,180三種特殊情形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx江西高考)設(shè)e1,e2為單位向量, 且e1,e2的夾角為,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的投影為 . (2)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè)=2,=3,則= . 【答案】 (1) (2)- 考向二 [078] 平面向量的夾角與垂直 (1)(xx安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b夾角的余弦值為 . (2)(xx山東高考)已知向量與的夾角為120,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值為 . 【答案】 (1)- (2) 規(guī)律方法2 1.當(dāng)a,b以非坐標(biāo)形式給出時(shí),求〈a,b〉的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與ab的關(guān)系. 2.(1)非零向量垂直的充要條件:a⊥b?ab=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0.(2)本例(2)中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成-,導(dǎo)致求解受阻. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx重慶高考)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,則實(shí)數(shù)k=( ) A.- B.0 C.3 D. (2)(xx青島質(zhì)檢)已知向量與的夾角為120,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值是 . 【答案】 (1)C (2) 考向三 [079] 平面向量的模及其應(yīng)用 (1)設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|=( ) A. B. C.2 D.10 【答案】 B (2)已知=(cos θ,sin θ),=(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求||的取值范圍及||取得最大值時(shí)θ的值. 【嘗試解答】 ∵=-=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ), ∴|P|2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2 =4-4sin θcos θ=4-2sin 2θ. ∵0≤θ≤π,∴-1≤sin 2θ≤1, ∴||2∈[2,6],∴||∈[,]. 當(dāng)sin 2θ=-1,即θ=時(shí),||取得最大值. 規(guī)律方法3 1.x1y2-x2y1=0與x1x2+y1y2=0不同,前者是a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)共線的充要條件,而后者是它們垂直的充要條件. 2.求解向量的長(zhǎng)度問(wèn)題一般可以從兩個(gè)方面考慮: (1)利用向量的幾何意義,即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解; (2)利用公式|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2把長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題解決. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx江西高考)已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cos α=,若向量a=3e1-2e2,則|a|= . (2)(xx四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】 (1)3 (2)D 易錯(cuò)易誤之九 忽略向量共線條件致誤 —————————— [1個(gè)示范例] —————— (xx廣州模擬)已知a=(1,2),b=(1,1),且a與a+λb的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 . 【解析】 ∵a與a+λb均為非零向量,且?jiàn)A角為銳角, ∴a(a+λb)>0,即(1,2)(1+λ,2+λ)>0, ∴(1+λ)+2(2+λ)>0,∴λ>-, 當(dāng)a與 a+λb共線時(shí),存在實(shí)數(shù)m,使a+λb=ma, 此處在求解時(shí),常因忽略“a與a+λb共線”的情形致誤,出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為ab>0與〈a,b〉為銳角等價(jià). 即(1+λ,2+λ)=m(1,2), ∴,∴λ=0,即當(dāng)λ=0時(shí),a與a+λb共線. 綜上可知,λ的取值范圍為 【防范措施】 1.a,b的夾角為銳角并不等價(jià)于ab>0,ab>0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0. 2.依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí),要注意θ=0或180的情形.其中cos 0=1>0,cos 180=-1<0. ———————— [1個(gè)防錯(cuò)練] ——————— 已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是 . 【解析】 由ab<0,即2λ-3<0,解得λ<. 又當(dāng)a∥b時(shí),λ=-6,故所求λ的范圍為λ<且λ≠-6. 【答案】 課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(二十七) 平面向量的數(shù)量積 (時(shí)間:60分鐘 滿分:80分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(xx遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 2.(xx大綱全國(guó)卷)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】 B 3.若向量a, b,c滿足a∥b且a⊥c,則c(a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】 D 4.已知|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=60,則|2a-b|=( ) A.2 B.4 C.2 D.8 【答案】 A 5.已知△ABC為等邊三角形,AB=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足=λ,=(1-λ),λ∈R.若=-,則λ=( ) A. B. C. D. 【答案】 A 6.已知平面向量|a|=2,|b|=1,且(a+b)⊥,則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 A 二、填空題(每小題5分,共15分) 7.已知向量a=(1,0),b=(1,1),則向量b-3a與向量a夾角的余弦值為 . 【答案】 - 8.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則a+b在a方向上的投影為 . 【答案】 2 9.設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,且=-2i+j,=4i+3j,則△OAB的面積等于 . 【答案】 5 三、解答題(本大題共3小題,共35分) 10.(10分)已知a=(1,2),b=(x,1), (1)若(2a+b)∥(a-b),求x的值; (2)若2a+b與a-b的夾角是銳角,求x的取值范圍. 【解】 (1)∵a=(1,2),b=(x,1), ∴2a+b=(2+x,5), a-b=(1-x,1). 由(2a+b)∥(a-b)可知 2+x=5-5x. 解得x=. (2)由題意可知 (2a+b)(a-b)>0且2a+b與a-b不共線, ∴ ∴<x<且x≠. 即所求x的取值范圍是 ∪. 11.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,),點(diǎn)M滿足=,點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn)),如圖. 圖4-3-1 (1)求∠OCM的余弦值; (2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使(-λ)⊥,若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解】 (1)由題意可得=(6,0),=(1,),==(3,0),=(2,-),=(-1,-). ∴cos∠OCM=cos〈,〉==. (2)設(shè)P(t,),其中1≤t≤5,λ=(λt,λ), -λ=(6-λt,-λ),=(2,-), 若(-λ)⊥,則(-λ)=0, 即12-2λt+3λ=0?(2t-3)λ=12,若t=,則λ不存在, 若t≠,則λ=, ∵t∈∪,故λ∈(-∞,-12)∪. 12.(13分)已知點(diǎn)A(1,0),B(0,1), C(2sin θ,cos θ). (1)若||=||,求的值; (2)若(+2)=1,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求sin θcos θ的值. 【解】 ∵A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ), ∴=(2sin θ-1,cos θ),=(2sin θ,cos θ-1). (1)||=||, ∴=, 化簡(jiǎn)得2sin θ=cos θ, 所以tan θ=,∴===-5. (2)=(1,0),=(0,1),=(2sin θ,cos θ), ∴+2=(1,2), ∵(+2)=1,∴2sin θ+2cos θ=1. ∴(sin θ+cos θ)2=, ∴1+2sin θcos θ=, ∴sin θcos θ=-. 第四節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例 [考情展望] 1.用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何證明問(wèn)題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題,體現(xiàn)向量運(yùn)算的工具性. 一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 1.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題. 2.用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧 問(wèn)題類型 所用知識(shí) 公式表示 線平行、點(diǎn)共線、相似等問(wèn)題 共線向量定理 a∥b?a=λb ?x1y2-x2y1=0(b≠0) 其中a=(x1,y1), b=(x2,y2) 垂直問(wèn)題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a,b 為非零向量 夾角問(wèn)題 數(shù)量積的定義 cos θ=(θ為向量a,b的夾角) 二、向量在物理中的應(yīng)用 1.向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用. 2.向量在速度的分解與合成中的應(yīng)用. 3.向量的數(shù)量積在合力做功問(wèn)題中的應(yīng)用:W=fs. 1.已知三個(gè)力f1,f2,f3作用于物體同一點(diǎn),使物體處于平衡狀態(tài),若f1=(2,2),f2=(-2,3),則|f3|為( ) A.2.5 B.4 C.2 D.5 【答案】 D 2.已知O是△ABC所在平面上一點(diǎn),若==,則O是△ABC的( ) A.內(nèi)心 B.重心 C.外心 D.垂心 【答案】 D 3.若+2=0,則△ABC為( ) A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【答案】 D 4.已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90,它們的合力F的大小為10 N,合力與F1的夾角為60,那么F1的大小為 . 【答案】 5 N 5.在△ABC中,AB=2,AC=3,=1,則BC=( ) A. B. C.2 D. 【答案】 A 6.(xx山東高考)在△ABC中,已知=tan A,當(dāng)A=時(shí),△ABC的面積為 . 【答案】 考向一 [080] 向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)在△ABC中,已知向量與滿足=0,且=,則△ABC為( ) A.等邊三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形 (2)設(shè)a,b,c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量,且a與b不共線,a⊥c,|a|=|c|,則|bc|的值一定等于( ) A.以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積 B.以b,c為兩邊的三角形面積 C.以a,b為兩邊的三角形面積 D.以b,c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC=3,BC=4,AB=5,P為AB邊上任意一點(diǎn),則(-)的最大值為 . 【答案】 (1)A (2)D (3)9 規(guī)律方法1 1.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用:一是借助運(yùn)算判斷圖形的形狀;二是借助模、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積;三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式,進(jìn)而求最值. 2.平面幾何問(wèn)題的向量解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo),這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算,從而使問(wèn)題得到解決. (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知點(diǎn)O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,==,則點(diǎn)O,N,P依次是△ABC的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心 (注:三角形的三條高線交于一點(diǎn),此點(diǎn)稱為三角形的垂心) (2)(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn),則= . 【答案】 (1)C (2)2 考向二 [081] 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 (xx蘇州模擬)已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動(dòng)點(diǎn),作PQ⊥l,垂足為Q,且=0. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程; (2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的任一條直徑,求的最大值. 【嘗試解答】 (1)設(shè)P(x,y),則Q(8,y). 由=0, 得||2-||2=0,即(x-2)2+y2-(x-8)2=0,化簡(jiǎn)得+=1. 所以點(diǎn)P在橢圓上,其方程為+=1. (2)因=(-)(-) =(--)(-) =(-)2-2=2-1, P是橢圓+=1上的任一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0), 則有+=1,即x=16-,又N(0,1), 所以2=x+(y0-1)2=-y-2y0+17 =-(y0+3)2+20. 因?yàn)閥0∈[-2,2], 所以當(dāng)y0=-3時(shí),2取得最大值20,故的最大值為19. 規(guī)律方法2 1.平面向量與解析幾何交匯的題目,向量多用于“包裝”,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題. 2.向量工具作用:利用a⊥b?ab=0(a,b為非零向量),a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問(wèn)題,特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較優(yōu)越的方法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,點(diǎn)Q滿足=(a+b).曲線C={P|=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},區(qū)域Ω={P|0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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